Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. दोनों में अवयवों की संख्या समान है पर युग्म अलग हैं/both have same number of elements but different pairs
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times2=4\) युग्म होंगे, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times2=4\) pairs, but changing order changes the pairs. Cartesian product is not commutative.
((2,2)) दोनों \(A\times B\) और \(B\times A\) में है। प्रतिच्छेद के लिए युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / ((2,2)) is in both \(A\times B\) and \(B\times A\). For intersection, the pair must belong to both sets.
((4,1)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। क्रमित युग्म में स्थान की जांच जरूरी है। / In ((4,1)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Position checking is necessary in ordered pairs.
सबसे बड़ा पहला घटक (2) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है, इसलिए योग (7) अधिकतम है। ((5,2)) \(A\times B\) में नहीं है। / The greatest first component is (2) and the greatest second component is (5), so the maximum sum is (7). ((5,2)) is not in \(A\times B\).
समान घटकों वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। केवल \(A\cap B\) के अवयव ऐसे युग्म बनाते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). Only elements of \(A\cap B\) form such pairs.
शर्त \(x=2y\) के अनुसार \(B\) के प्रत्येक मान की जाँच करें: \(y=1\) के लिए \(x=2\), \(y=2\) के लिए \(x=4\), और \(y=3\) के लिए \(x=6\)। इसलिए सही क्रमित युग्म \((2,1),(4,2),(6,3)\) हैं और उनकी संख्या 3 है। विकल्प 2 में एक युग्म छूट जाता है। परीक्षा में याद रखें कि \(A\times B\) में पहला अवयव \(A\) से और दूसरा अवयव \(B\) से लिया जाता है। / Using \(x=2y\), check each value of \(y\) in \(B\): \(y=1\) gives \(x=2\), \(y=2\) gives \(x=4\), and \(y=3\) gives \(x=6\). Thus, the valid ordered pairs are \((2,1),(4,2),(6,3)\), so there are 3 pairs. Option 2 misses one valid pair. Exam tip: in \(A\times B\), the first element comes from \(A\) and the second from \(B\).
A. (x)-अक्ष पर \(1\le x\le3\) वाला रेखाखंड/line segment on (x)-axis with \(1\le x\le3\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), इसलिए यह (x)-अक्ष पर रेखाखंड है। अंतराल वाले प्रश्नों में निर्देशांक रूप लिखें। / \(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), so it is a line segment on the (x)-axis. In interval questions, write the coordinate form.
पहला घटक हमेशा (0) होगा और दूसरा ([-2,2]) से बदलता रहेगा। इसलिए यह (y)-अक्ष का रेखाखंड है। / The first component is always (0), and the second varies in ([-2,2]). So it is a segment on the (y)-axis.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},x\le2\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},y\le3\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
यहाँ \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=2\) तथा \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल में प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, अतः \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या बताता है, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) का सूत्र याद रखें। / Here, \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(A)=2\) and \(n(B)=3\). In a Cartesian product, every element of the first set is paired with every element of the second set; therefore, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 gives only the number of elements in \(B\), so it is incorrect. Exam tip: remember the formula \(n(A\times B)=n(A)n(B)\).
\(A\times B\) क्रमित युग्मों का समुच्चय है, इसलिए रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। योग या गुणन कार्तीय गुणन नहीं है। / \(A\times B\) is a set of ordered pairs, so its form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\). Sum or product of entries is not Cartesian product.
