Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक यूआरएल कोड में (3) छोटे अक्षर और (2) प्रतीक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाएँगे और प्रतीक (4) उपलब्ध प्रतीकों में से दो अलग-अलग स्थानों पर रखे जाएँगे। कुल कोड कितने होंगे?
तीन अक्षरों के लिए \(26 \times 25 \times 24\) विकल्प हैं। दो प्रतीक-स्थानों के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। / The three letters have \(26 \times 25 \times 24\) choices. The two symbol positions have \(4 \times 4\) choices.
एक भवन में भूतल से (5)वीं मंजिल तक जाने के लिए लिफ्ट या सीढ़ी चुनी जा सकती है। प्रत्येक मंजिल के बीच (2) विकल्प हैं, पर लगातार दो बार सीढ़ी नहीं चुनी जा सकती। कुल तरीकों की संख्या क्या है?
यह (5) स्थानों का द्वि-विकल्प अनुक्रम है जिसमें लगातार सीढ़ी नहीं है। छोटे अनुक्रम में पुनरावर्ती गिनती (13) देती है। / This is a (5)-position binary sequence with no consecutive stairs. A short recurrence count gives (13).
एक सर्वे में (4) प्रश्न हैं और हर प्रश्न के (3) उत्तर विकल्प हैं। यदि पहले दो प्रश्नों के उत्तर समान नहीं हो सकते और अंतिम दो प्रश्नों के उत्तर समान होने चाहिए, तो कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
पहले प्रश्न के (3), दूसरे के (2), तीसरे के (3) और चौथा तीसरे जैसा होगा। इसलिए \(3 \times 2 \times 3\) मिलता है। / The first question has (3) choices, the second has (2), the third has (3), and the fourth matches the third. Thus \(3 \times 2 \times 3\).
एक खेल टीम की जर्सी में (8) रंग और (5) नंबर-शैलियाँ हैं। यदि सुनहरा रंग केवल विषम नंबर-शैली के साथ और चाँदी रंग केवल सम नंबर-शैली के साथ चुना जा सकता है, तो कुल जर्सियाँ कितनी होंगी?
छह सामान्य रंगों के लिए \(6 \times 5\) विकल्प हैं। सुनहरे के लिए (3) और चाँदी के लिए (2) विकल्प जोड़ें। / The six ordinary colors give \(6 \times 5\) choices. Add (3) choices for gold and (2) choices for silver.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। अंतिम सम अंक के अनुसार सैकड़ों और दहाइयों के विकल्प गिनें। / The number must be even and the digit sum divisible by (3). Count choices for hundreds and tens according to the final even digit.
एक प्रवेश टिकट में (2) अक्षर, (1) रंग और (2) अंक हैं। अक्षर भिन्न हैं, अंक भिन्न हैं, और यदि रंग लाल है तो पहला अंक (0) नहीं हो सकता। (3) रंग उपलब्ध हैं। कुल टिकट कितने होंगे?
अक्षरों के \(26 \times 25\) विकल्प हैं। लाल के लिए \(9 \times 9\) और बाकी दो रंगों के लिए \(10 \times 9\) अंक-विकल्प हैं। / Letters have \(26 \times 25\) choices. Red gives \(9 \times 9\) digit choices, and the other two colors give \(10 \times 9\) choices each.
एक मोबाइल अनलॉक पैटर्न में (4) अलग बिंदु चुने जाते हैं। पहले बिंदु के लिए कोने के (4) बिंदु नहीं चुने जा सकते। कुल पैटर्न कितने होंगे यदि कुल (9) बिंदु हैं?
कुल 9 बिंदुओं में से 4 कोने के बिंदु पहले स्थान के लिए वर्जित हैं, इसलिए पहले बिंदु के लिए केवल 5 विकल्प हैं। इसके बाद 3 अलग बिंदु क्रम से चुनने के लिए 8, 7 और 6 विकल्प होंगे। अतः कुल पैटर्न \(5\times8\times7\times6=1680\) हैं। विकल्प 1920 तब मिलता यदि पहले बिंदु के लिए 5 के बजाय 8 विकल्प गलत रूप से लिए जाएँ। परीक्षा टिप: ऐसे पैटर्न प्रश्नों में क्रम महत्त्वपूर्ण होता है, इसलिए क्रमिक विकल्पों को गुणा करें। / Of the 9 points, the 4 corner points are not allowed in the first position, so there are only 5 choices for the first point. The next three distinct points can then be chosen in 8, 7, and 6 ways respectively. Hence, the total number of patterns is \(5\times8\times7\times6=1680\). The value 1920 would result from incorrectly taking 8 choices instead of 5 for the first point. Exam tip: In pattern questions, order matters, so multiply the successive choices.
दो अक्षर (6) में से चुनें और तीन स्थानों में दोनों का आना अनिवार्य रखें। प्रत्येक जोड़े के लिए \(2^3-2\) शब्द बनते हैं। / Choose (2) letters from (6) and ensure both appear in the three positions. Each pair gives \(2^3-2\) words.
पूरक विधि लगाएँ। पहले अंक के लिए 1 से 9 तक 9 विकल्प और शेष चार अंकों के लिए प्रत्येक स्थान पर 10 विकल्प हैं, इसलिए कुल पिन \(9 \times 10^4=90000\) हैं। जिन पिनों में 7 बिल्कुल नहीं है, उनमें पहले स्थान के लिए 8 विकल्प (1 से 9, पर 7 नहीं) तथा बाकी प्रत्येक स्थान के लिए 9 विकल्प हैं। ऐसे पिन \(8 \times 9^4=52488\) होंगे। अतः कम से कम एक 7 वाले पिन \(90000-52488=37512\) हैं। 52488 केवल उन पिनों की संख्या है जिनमें 7 नहीं आता। परीक्षा टिप: “कम से कम एक” वाले प्रश्नों में अक्सर “कुल − एक भी नहीं” सबसे तेज विधि होती है। / Use the complement method. There are 9 choices for the first digit (1 to 9) and 10 choices for each of the remaining four positions, so the total number of PINs is \(9 \times 10^4=90000\). For PINs with no 7 at all, the first digit has 8 choices (1 to 9 except 7), while each remaining position has 9 choices. Thus, there are \(8 \times 9^4=52488\) such PINs. Therefore, the number containing at least one 7 is \(90000-52488=37512\). Note that 52488 counts PINs containing no 7. Exam tip: for “at least one” counting questions, try total minus none first.
कुल रास्ते (10) हैं। पहले दो दाएँ होने पर बाकी (1) दाएँ और (2) ऊपर को (3) तरीकों से रखा जाता है। / Total paths are (10). If the first two are right, the remaining (1) right and (2) up moves can be arranged in (3) ways.
