Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होगी। वैध अंतिम-जोड़ों में पहले अंक के (0) होने की स्थिति अलग गिनें। / Divisibility by (4) depends on the last two digits. Count valid ending pairs while separating cases where (0) remains for the first place.
एक ऑनलाइन प्रपत्र में (5) वैकल्पिक खंड हैं। प्रत्येक खंड भरा या खाली छोड़ा जा सकता है, पर कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। यदि पहला और दूसरा खंड साथ-साथ नहीं भरे जा सकते, तो कुल तरीके कितने हैं?
कुल गैर-रिक्त चयन \(2^5-1\) हैं। जिनमें पहले दो साथ भरे हैं, वे \(2^3\) हैं और घटेंगे। / Total nonempty choices are \(2^5-1\). Those with the first two both filled are \(2^3\), so subtract them.
एक संकेत में (3) झंडे एक के ऊपर एक लगाए जाते हैं। (6) अलग झंडों में से चुने जाते हैं और नीला झंडा चुना जाए तो वह सबसे ऊपर नहीं हो सकता। कुल संकेत कितने बनेंगे?
कुल व्यवस्थाओं \(6 \times 5 \times 4\) में से नीला ऊपर होने वाली \(5 \times 4\) व्यवस्थाएँ घटाएँ। प्रतिबंधित स्थिति घटाना सरल है। / Subtract arrangements with blue on top, \(5 \times 4\), from total \(6 \times 5 \times 4\). Subtracting forbidden cases is simpler.
एक प्रश्नपत्र में भाग (A) से (2) में से एक प्रश्न, भाग (B) से (4) में से दो प्रश्न और भाग (C) से (3) में से एक प्रश्न करना है। भाग (B) के पहले दो प्रश्न साथ-साथ नहीं चुने जा सकते। कुल चयन कितने हैं?
भाग (B) में कुल जोड़े (6) हैं और एक निषिद्ध जोड़ा है। इसलिए \(2 \times 5 \times 3\) चयन मिलते हैं। / Section (B) has (6) pairs and one forbidden pair. Hence the count is \(2 \times 5 \times 3\).
दो सम अंक (4) में से और तीन विषम अंक (5) में से चुनें। फिर चुने गए (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। / Choose (2) even digits from (4) and (3) odd digits from (5). Then arrange the selected (5) digits in (5!) ways.
एक ऐप पहचान संख्या में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहरा सकते हैं, अंक दोहरा सकते हैं, पर अंतिम अंक सम होना चाहिए और दोनों अक्षर समान नहीं होने चाहिए। कुल पहचान संख्याएँ कितनी होंगी?
अक्षरों के लिए \(26 \times 25\) विकल्प हैं। तीन अंकों में अंतिम के लिए (5) और बाकी दो के लिए (10,10) विकल्प हैं। / The letters have \(26 \times 25\) choices. For the three digits, the last has (5) choices and the other two have (10,10) choices.
एक पुस्तकालय कार्ड में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (A,B,C,D,E) में से एक अक्षर आता है। यदि (A) कम से कम एक बार और (E) बिल्कुल नहीं आना चाहिए, तो कितने कार्ड बनेंगे?
(E) हटाने पर (4) अक्षर बचते हैं। इनमें से (A) न आने वाले \(3^4\) कार्ड कुल \(4^4\) से घटाएँ। / After excluding (E), (4) letters remain. Subtract cards without (A), \(3^4\), from total \(4^4\).
कुल \(2^6\) से लगातार तीन (1) वाले मामलों को व्यवस्थित गिनकर घटाएँ। छोटे अनुक्रमों में स्थिति आधारित गिनती सुरक्षित रहती है। / Subtract the cases containing three consecutive (1)'s from total \(2^6\) by organized counting. For short strings, position-based counting is reliable.
इकाई अंक निश्चित (9) है। हजारों स्थान (2,4,6,8) में से होगा और बीच के दो स्थान शेष (4) अंकों से भरेंगे। / The units digit is fixed as (9). The thousands digit is from (2,4,6,8), and the middle two places use the remaining (4) digits.
एक ड्रेस कोड में (5) शर्ट, (4) पैंट और (3) जैकेट हैं। जैकेट वैकल्पिक है, पर नीली शर्ट के साथ काली पैंट नहीं पहनी जा सकती। यदि हर बार शर्ट और पैंट अनिवार्य हैं, तो कुल पोशाकें कितनी होंगी?
जैकेट के लिए (4) विकल्प हैं क्योंकि न पहनना भी विकल्प है। कुल \(5 \times 4 \times 4\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 4\) घटाएँ। / There are (4) jacket choices because wearing none is also a choice. Subtract forbidden \(1 \times 1 \times 4\) from total \(5 \times 4 \times 4\).
