Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
एक पासवर्ड में पहले दो स्थानों पर भिन्न बड़े अंग्रेजी अक्षर और अगले तीन स्थानों पर भिन्न अंक रखे जाते हैं। यदि अंक (0) पहले अंक-स्थान पर नहीं हो सकता तो कुल पासवर्ड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं। पहले अंक-स्थान पर (9) और फिर (9,8) विकल्प मिलते हैं। / The letters have (26) and (25) choices. The first digit-place has (9) choices and then (9,8) choices remain.
जाने के लिए A से B तक 4 और B से C तक 5 विकल्प हैं, अर्थात \(4\times5=20\) तरीके। वापसी में C से B के लिए पहले चुने गए रास्ते को छोड़कर 4 रास्ते और B से A के लिए पहले चुने गए रास्ते को छोड़कर 3 रास्ते बचते हैं। इसलिए कुल यात्राएँ \(4\times5\times4\times3=240\) हैं। विकल्प 120 में वापसी के किसी एक खंड के विकल्पों की सही गणना नहीं होती। परीक्षा टिप: प्रत्येक खंड के स्वतंत्र विकल्पों को गुणा करें और प्रतिबंधित रास्ते को उसी खंड से घटाएँ। / For the onward journey, there are 4 choices from A to B and 5 choices from B to C, giving \(4\times5=20\) ways. On the return journey, 4 routes remain from C to B after excluding the route already used, and 3 routes remain from B to A. Hence, the total number of round trips is \(4\times5\times4\times3=240\). Option 120 does not correctly account for the available choices on both return segments. Exam tip: multiply the independent choices for each segment, subtracting a forbidden route only from its own segment.
हजारों का अंक (3) से (8) तक होगा और इकाई अंक विषम होगा। हजारों के अंक के विषम या सम होने के अनुसार मामले बाँटें। / The thousands digit is from (3) to (8) and the units digit is odd. Split cases according to whether the thousands digit is odd or even.
एक परीक्षा कोड में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर दोहराए जा सकते हैं लेकिन अंक नहीं दोहरेंगे। यदि कोड में कम से कम एक अक्षर स्वर होना चाहिए तो कितने कोड बनेंगे?
कुल अक्षर-व्यवस्थाएँ \(26^3\) और बिना स्वर \(21^3\) हैं। अंतर को \(10 \times 9\) अंक-विकल्पों से गुणा करें। / Total letter arrangements are \(26^3\) and no-vowel arrangements are \(21^3\). Multiply the difference by \(10 \times 9\) digit choices.
दो श्रेणियों और तीनों श्रेणियों के चयन जोड़ें। (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)) मिलता है। / Add selections from exactly two categories and all three categories. This gives (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)).
5 से विभाज्यता के लिए इकाई अंक 0 या 5 होना चाहिए। इकाई अंक 0 होने पर हजारों के स्थान के लिए 1 से 5 तक 5 विकल्प हैं और बीच के दो स्थानों के लिए शेष 4 अंकों में से क्रम सहित 2 अंक चुने जाते हैं: \(5\times4\times3=60\)। इकाई अंक 5 होने पर हजारों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 से 4 तक 4 विकल्प हैं; बीच के स्थानों के लिए \(4\times3\) विकल्प हैं: \(4\times4\times3=48\)। अतः कुल \(60+48=108\) संख्याएँ बनेंगी। 96 का विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि दोनों अंतिम-अंक वाले मामलों में हजारों के स्थान पर 0 की पाबंदी समान नहीं होती। परीक्षा टिप: 0 वाले अंकों की संख्या बनाते समय पहले अंक के शून्य न होने की शर्त अलग से लगाएँ। / For divisibility by 5, the units digit must be 0 or 5. If the units digit is 0, there are 5 choices (1 to 5) for the thousands digit, followed by \(4\times3\) arrangements for the two middle places: \(5\times4\times3=60\). If the units digit is 5, the thousands digit cannot be 0, so it has 4 choices (1 to 4), and the middle places can be filled in \(4\times3\) ways: \(4\times4\times3=48\). Hence, the total is \(60+48=108\). Option 96 is incorrect because the restriction on 0 in the thousands place is not the same in both ending-digit cases. Exam tip: When 0 is among the digits, handle the leading-digit restriction separately.
एक छात्र को (4) गणित पुस्तकों, (3) विज्ञान पुस्तकों और (5) भाषा पुस्तकों में से एक पुस्तक चुननी है। वह गणित या विज्ञान से चुन सकता है, पर भाषा तभी चुनेगा जब साथ में एक शब्दकोश भी चुनेगा। शब्दकोश (2) प्रकार के हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
गणित की पुस्तक चुनने के 4 और विज्ञान की पुस्तक चुनने के 3 तरीके हैं, अर्थात कुल \(4+3=7\) तरीके। भाषा की प्रत्येक 5 पुस्तकों के साथ 2 प्रकार के शब्दकोशों में से एक शब्दकोश लेना अनिवार्य है, इसलिए भाषा वाले वैध चयन \(5\times2=10\) हैं। अतः कुल वैध चयन \(7+10=17\) हैं। 15 प्राप्त करना भाषा-पुस्तक और शब्दकोश के लिए गुणन नियम को सही ढंग से न लगाने पर हो सकता है। परीक्षा टिप: ‘या’ के अलग-अलग मामलों को जोड़ें और ‘साथ में’ होने वाले विकल्पों को गुणा करें। / There are 4 ways to choose a mathematics book and 3 ways to choose a science book, giving \(4+3=7\) choices. For a language book, one of the 2 dictionary types must also be chosen; hence the valid language selections are \(5\times2=10\). Therefore, the total number of valid selections is \(7+10=17\). The option 15 can result from not applying the multiplication rule correctly to the language-book-and-dictionary case. Exam tip: add mutually exclusive cases connected by “or”, and multiply choices that must be selected together.
एक वाहन संख्या में पहले दो स्थानों पर भिन्न अक्षर और अगले चार स्थानों पर अंक हैं। अंक दोहरा सकते हैं, पर सभी चार अंक समान नहीं हो सकते। कुल वाहन संख्याएँ कितनी होंगी?
पहले अक्षर के लिए 26 और उससे भिन्न दूसरे अक्षर के लिए 25 विकल्प हैं, अर्थात \(26\times25=650\) विकल्प। चार अंकों के लिए कुल \(10^4=10000\) क्रम बनते हैं। इनमें \(0000,1111,\ldots,9999\) जैसे 10 क्रमों में चारों अंक समान हैं, इसलिए वैध क्रम \(10000-10=9990\) होंगे। अतः कुल वाहन संख्याएँ \(26\times25\times9990=6493500\) हैं। विकल्प B में समान अंकों वाले 10 क्रमों को हटाया नहीं गया है। परीक्षा टिप: निषिद्ध स्थितियों को कुल स्थितियों में से घटाना अक्सर सबसे तेज विधि है। / There are 26 choices for the first letter and 25 choices for the distinct second letter, giving \(26\times25=650\) letter pairs. The four-digit part has \(10^4=10000\) possible strings. Of these, exactly 10 strings—\(0000,1111,\ldots,9999\)—have all four digits identical, so valid digit strings are \(10000-10=9990\). Hence, the total is \(26\times25\times9990=6493500\). Option B incorrectly includes the 10 forbidden identical-digit strings. Exam tip: Count all cases first and subtract the restricted cases when the restriction is simple.
एक समिति के पदनाम के लिए पहले रंग, फिर आकार, फिर प्रतीक चुना जाता है। (7) रंग, (4) आकार और (6) प्रतीक हैं। यदि लाल रंग के साथ वृत्त आकार नहीं हो सकता, तो कितने पदनाम बनेंगे?
कुल \(7 \times 4 \times 6\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 6\) घटाएँ। निषिद्ध स्थिति पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / Subtract the forbidden \(1 \times 1 \times 6\) from total \(7 \times 4 \times 6\). Identifying the forbidden case is the quick exam method.
एक लॉकर कोड में चार अंक हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और ठीक दो अंक समान होने चाहिए, जबकि बाकी दो अंक अलग-अलग और उनसे भी अलग हों। कुल कोड कितने होंगे?
दोहराए गए अंक के (0) होने और न होने के मामले अलग करें। पहले स्थान पर (0) न आने की शर्त को अंत में न भूलें। / Separate cases according to whether the repeated digit is (0). Do not forget the first-place nonzero restriction.
