Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{4-x^2}\) का अधिकतम मान (2) है, इसलिए (f) का न्यूनतम मान \(\frac{1}{2}\) है। किनारों के पास मान असीमित बढ़ता है। / The maximum value of \(\sqrt{4-x^2}\) is (2), so the minimum value of (f) is \(\frac{1}{2}\). Near the endpoints, the value grows without bound.
वर्गमूल के लिए \(x\ge 1\) और हर के लिए \(x\ne 5\) चाहिए। इसलिए प्रांत \([1,\infty\)-{5}) है। / For the square root \(x\ge 1\), and for the denominator \(x\ne 5\) are needed. Hence the domain is \([1,\infty\)-{5}).
ऊपर के वर्गमूल के लिए \(x-3\ge 0\) और हर के वर्गमूल के लिए (7-x>0) चाहिए। अतः \(x\in[3,7\))। / For the numerator square root \(x-3\ge 0\), and for the denominator square root (7-x>0). Thus \(x\in[3,7\)).
(x-2-6x+11=(x-3)2+2), इसलिए न्यूनतम मान (2) है। पूर्ण वर्ग बनाना ऐसे प्रश्नों में सबसे तेज विधि है। / Since (x-2-6x+11=(x-3)2+2), the minimum value is (2). Completing the square is the fastest method here.
(f(x)=-2(x-2)2+9), इसलिए अधिकतम मान (9) है। नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का परिसर (\(-\infty,9]\) होता है। / (f(x)=-2(x-2)2+9), so the maximum value is (9). A downward-opening parabola has range (\(-\infty,9]\).
\(हर (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), इसलिए (\frac{3}{\)हर}\in(0,3])। इसलिए परिसर ((1,4]) है। \(/ The denominator (x^2-2x+2=(x-1)^2+1\ge 1), so (\frac{3}{\)denominator\(}\in(0,3]). Hence the range is ((1,4]).\)
मान लें \(t=x^2\ge 0\), तब \(f=\frac{t+2}{t+5}\)। यह (t=0) पर \(\frac{2}{5}\) है और (1) तक पहुंचता है पर (1) नहीं होता। / Let \(t=x^2\ge 0\), then \(f=\frac{t+2}{t+5}\). It is \(\frac{2}{5}\) at (t=0) and approaches (1) but never equals (1).
यदि \(t=x^2\ge 0\) और \(t\ne 1\), तो \(y=\frac{t+1}{t-1}\)। इससे \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) देकर परिसर ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)) मिलता है। / If \(t=x^2\ge 0\) and \(t\ne 1\), then \(y=\frac{t+1}{t-1}\). Using \(t=\frac{y+1}{y-1}\ge 0\) gives the range ((-\infty,-1]\cup\(1,\infty\)).
