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Class 11 Mathematics - Relations and Functions - Real valued functions, domain and range of these functions Hard Quiz

Mathematics Relations and Functions Real valued functions, domain and range of these functions Hard Class 11 Level 26

Level 26 • 5/50 questions • 30 seconds per question.

Level readiness 5/50 Questions
Time Left 02:30 30 sec/question
RewardsCoins + XP
ModeClassic Quiz
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Question 1/5 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 26

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\in\mathbb{Z}\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) if and only if \(a-b\in\mathbb{Z}\). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Explanation

Simple Explanation

\(a-a=0\in\mathbb{Z}\), और पूर्णांकों में ऋण तथा योग बंद रहते हैं। इसलिए संबंध प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी है। / \(a-a=0\in\mathbb{Z}\), and integers are closed under negatives and addition. Hence the relation is reflexive, symmetric and transitive.

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Question 2/5 Hard Mathematics Class 11 Level 26

यदि \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), तो \(R\) की प्रकृति क्या है?

If \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x-y>0\}\), what is the nature of \(R\)?

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Correct Answer

A. अप्रतिवर्ती और संक्रामीIrreflexive and transitive

Explanation

Simple Explanation

यहाँ \(x-y>0\) का अर्थ \(x>y\) है। किसी भी \(x\in\mathbb{R}\) के लिए \(x-x=0\) होता है, और \(0>0\) असत्य है; अतः \(R\) अप्रतिवर्ती है। यदि \(x>y\) और \(y>z\), तो \(x>z\), इसलिए यह संक्रामी भी है। यह सममित नहीं है, क्योंकि \(x>y\) से सामान्यतः \(y>x\) नहीं होता; इसलिए इसे समतुल्यता संबंध भी नहीं कहा जा सकता। परीक्षा-युक्ति: ‘>’ और ‘<’ जैसे strict inequalities वाले संबंध प्रायः अप्रतिवर्ती और संक्रामी होते हैं। / Here, \(x-y>0\) means \(x>y\). For every \(x\in\mathbb{R}\), \(x-x=0\), and \(0>0\) is false; hence, \(R\) is irreflexive. If \(x>y\) and \(y>z\), then \(x>z\), so the relation is also transitive. It is not symmetric because \(x>y\) does not generally imply \(y>x\); therefore, it is not an equivalence relation. Exam tip: Relations defined by strict inequalities such as ‘>’ or ‘<’ are generally irreflexive and transitive.

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Question 3/5 Hard Mathematics Class 11 Level 26

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया गया है। निम्नलिखित में से सही कथन चुनिए।

On the set \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), the relation \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is defined. Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. सममित, लेकिन प्रतिवर्ती नहींSymmetric but not reflexive

Explanation

Simple Explanation

किसी भी \(a,b\in A\) के लिए \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) होता है, इसलिए \(R\) सममित है। लेकिन प्रतिवर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना चाहिए। यहाँ \(\gcd(2,2)=2\neq1\), अतः \((2,2)\notin R\) और संबंध प्रतिवर्ती नहीं है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B और D प्रतिवर्तिता के अभाव में गलत हैं। परीक्षा-युक्ति: \(\gcd\)-आधारित संबंधों में सममिति जाँचने के लिए क्रम बदलकर \(\gcd\) देखें, जबकि प्रतिवर्तिता के लिए \(\gcd(a,a)\) जाँचें। / For any \(a,b\in A\), \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\), so the relation is symmetric. However, reflexivity requires \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Since \(\gcd(2,2)=2\neq1\), we have \((2,2)\notin R\), so the relation is not reflexive. Therefore, option A is correct. Options B and D are false because reflexivity fails. Exam tip: For a gcd-based relation, test symmetry by interchanging the two elements and test reflexivity using \(\gcd(a,a)\).

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Question 4/5 Hard Mathematics Relations and Functions Relations Class 11 Level 26

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(a-b\geq0\)। यह कौन सा संबंध है?

On \(A=\mathbb{R}\), (aRb) if and only if \(a-b\geq0\). Which relation is this?

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Correct Answer

A. प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामीReflexive, antisymmetric and transitive

Explanation

Simple Explanation

शर्त \(a-b\geq0\) का अर्थ \(a\geq b\) है। यह क्रम संबंध प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी होता है। / The condition \(a-b\geq0\) means \(a\geq b\). This order relation is reflexive, antisymmetric and transitive.

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Question 5/5 Hard Mathematics Class 11 Level 26

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):a,b\in A\text{ और }a+b=6\}\) परिभाषित है। संबंध \(R\) में कितने क्रमित युग्म हैं?

A relation \(R=\{(a,b):a,b\in A\text{ and }a+b=6\}\) is defined on the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\). How many ordered pairs does \(R\) contain?

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Correct Answer

A. 5

Explanation

Simple Explanation

शर्त \(a+b=6\) के लिए \(A\) में क्रमित युग्म हैं: \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\)। अतः कुल 5 क्रमित युग्म हैं। विकल्प 4 में सामान्यतः \((3,3)\) छूट जाता है, जबकि क्रमित युग्मों में क्रम बदलने पर अलग युग्म मिलता है। परीक्षा टिप: हर \(a\in A\) के लिए \(b=6-a\) निकालकर जाँच करें कि \(b\) भी \(A\) में है। / For the condition \(a+b=6\), the ordered pairs in \(A\times A\) are \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\). Hence, \(R\) contains 5 ordered pairs. The distractor 4 may result from overlooking \((3,3)\); also, reversing the entries gives a different ordered pair unless both entries are equal. Exam tip: For each \(a\in A\), calculate \(b=6-a\) and retain the pair only when \(b\in A\).

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