क्योंकि \(|x+5|\ge 0\), इसलिए \(y=2-|x+5|\le 2\)। जब \(x=-5\) होता है, तब \(|x+5|=0\) और \(y=2\), अतः 2 अधिकतम मान है। जैसे-जैसे \(|x+5|\) बढ़ता है, \(y\) बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए रेंज \((- infty,2]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|x-h|\) जैसे उल्टे मापांक फलन की अधिकतम सीमा \(a\) होती है। / Since \(|x+5|\ge 0\), we have \(y=2-|x+5|\le 2\). At \(x=-5\), \(|x+5|=0\) and \(y=2\), so 2 is the maximum value. As \(|x+5|\) increases, \(y\) decreases without any lower bound. Therefore, the range is \((- infty,2]\). Exam tip: For an inverted modulus function of the form \(a-|x-h|\), the maximum value is \(a\).
क्योंकि किसी भी वास्तविक \(x\) के लिए \((x+2)^2\ge 0\), इसलिए \(3(x+2)^2\ge 0\) और \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\)। समानता \(x=-2\) पर मिलती है, अतः न्यूनतम \(y\)-मान \(-12\) है और रेंज \([-12,\infty)\) होगी। परीक्षा-युक्ति: \(a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखे फलन में \(a>0\) होने पर रेंज \([k,\infty)\) होती है। / For every real \(x\), \((x+2)^2\ge 0\), so \(3(x+2)^2\ge 0\) and hence \(y=3(x+2)^2-12\ge -12\). Equality occurs at \(x=-2\), so the minimum value of \(y\) is \(-12\), giving the range \([-12,\infty)\). Exam tip: for a function in the form \(a(x-h)^2+k\), if \(a>0\), its range is \([k,\infty)\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंदर का व्यंजक अशून्य और धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(2x-8\ge 0\)। इससे \(x\ge 4\) प्राप्त होता है और डोमेन \([4,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=4\) पर वर्गमूल का मान \(0\) होता है, इसलिए 4 को शामिल किया जाना चाहिए। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय मूलचिह्न के अंदर के व्यंजक को \(\ge 0\) रखें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative, so \(2x-8\ge 0\). Hence \(x\ge 4\), giving the domain \([4,\infty)\). Option B is incorrect because at \(x=4\), the square root equals \(0\), so 4 must be included. Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
पहले फलन के अंदर का मान निकालते हैं: \(2.6+0.5=3.1\)। महानतम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है; इसलिए \(\lfloor3.1\rfloor=3\)। विकल्प B में \(2.6\) का सीधे पूर्णांक भाग लिया गया है, जो इस फलन की परिभाषा के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x+0.5\) निकालें, फिर floor लागू करें। / First evaluate the expression inside the floor function: \(2.6+0.5=3.1\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor3.1\rfloor=3\). Option B incorrectly takes the integer part of \(2.6\) without adding \(0.5\). Exam tip: evaluate the quantity inside the floor symbol before applying the function.
जब \(x\in[1,1.5)\), तब \(2x\in[2,3)\)। इस अंतराल में प्रत्येक \(2x\) का महत्तम पूर्णांक मान 2 होता है; 3 शामिल नहीं है क्योंकि \(x=1.5\) डोमेन में नहीं है। इसलिए मानों का समुच्चय \(\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के खुले और बंद सिरों को अवश्य जाँचें। / If \(x\in[1,1.5)\), then \(2x\in[2,3)\). The greatest integer less than or equal to every number in this interval is 2, so \(f(x)=2\) throughout the domain. The value 3 is not obtained because \(x=1.5\) is excluded. Hence the range is \(\{2\}\). Exam tip: Always check whether an endpoint is included when evaluating a greatest-integer function.
जब \(x=7\), तब फलन का इनपुट \(5-7=-2\) होता है। चूँकि \(-2\) ऋणात्मक है, इसलिए \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\)। विकल्प 0 केवल तब होता है जब इनपुट 0 हो, और विकल्प 1 धनात्मक इनपुट के लिए होता है। परीक्षा-युक्ति: पहले कोष्ठक के अंदर का मान निकालकर उसका चिह्न पहचानें। / When \(x=7\), the input to the signum function is \(5-7=-2\). Since \(-2\) is negative, \(\operatorname{sgn}(-2)=-1\). The value 0 occurs only when the input is zero, while 1 is used for a positive input. Exam tip: first evaluate the expression inside the signum function and then identify its sign.
