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(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (10) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{10}{3}=120\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (10). Hence \(\binom{10}{3}=120\).
विशेष विद्यार्थी को हटाने पर (9) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके होंगे। / After excluding the special student (9) students remain. So the number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
ठीक (2) लड़कियां और (3) लड़के चाहिए। तरीके \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=840\) हैं। / Exactly (2) girls and (3) boys are needed. The ways are \(\binom{6}{2}\binom{8}{3}=840\).
कुल चयन \(\binom{12}{4}=495\) हैं और केवल पुरुष \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (495-35=460) तरीके हैं। / Total selections are \(\binom{12}{4}=495\) and all-men selections are \(\binom{7}{4}=35\). Hence (495-35=460).
मामले (2), (3) और (4) लाल गेंदों के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\) है। / The cases are (2), (3), and (4) red balls. The total is \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}+\binom{6}{3}\binom{5}{1}+\binom{6}{4}=275\).
कुल चयन \(\binom{9}{5}=126\) हैं और पहले (2) में से कोई न हो तो \(\binom{7}{5}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) नहीं बल्कि सही शर्त के अनुसार (105) है। / Total selections are \(\binom{9}{5}=126\) and selections with none of the first (2) are \(\binom{7}{5}=21\). Thus the valid selections are (105).
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{2}=36\) तरीके हैं। इसलिए (330-36=294) नहीं बल्कि सही गणना (294) है। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\) and ways with both special books are \(\binom{9}{2}=36\). Hence the correct count is (294).
दो विशेष खिलाड़ी पहले से चुने गए हैं। बाकी (3) खिलाड़ी (8) में से \(\binom{8}{3}=56\) तरीकों से चुने जाएंगे। / The two special players are already selected. The remaining (3) players are chosen from (8) in \(\binom{8}{3}=56\) ways.
कुल \(\binom{15}{2}=105\) जोड़ियां हैं लेकिन (5) समरेखीय बिंदु \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (105-10+1=96) है। / Total pairs are \(\binom{15}{2}=105\) but (5) collinear points give (1) line instead of \(\binom{5}{2}\). Hence (105-10+1=96).
कुल \(\binom{12}{3}=220\) त्रिक हैं और (4) समरेखीय बिंदुओं से \(\binom{4}{3}=4\) त्रिभुज नहीं बनते। इसलिए (220-4=216) है। / Total triples are \(\binom{12}{3}=220\) and \(\binom{4}{3}=4\) triples from collinear points do not form triangles. Hence (220-4=216).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{9}{2}=36\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (72) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{9}{2}=36\). With (2) matches for each pair the total is (72).
कुल \(\binom{8}{3}=56\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो तीसरा व्यक्ति (6) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (56-6=50) नहीं बल्कि सही उत्तर (50) है। / Total ways are \(\binom{8}{3}=56\) and if both special persons are together the third person is chosen in (6) ways. Hence the valid count is (50).
मामले (2), (3) और (4) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\) है। / The cases are (2), (3), and (4) mathematics books. The total is \(\binom{7}{2}\binom{6}{2}+\binom{7}{3}\binom{6}{1}+\binom{7}{4}=560\).
कुल \(\binom{12}{3}=220\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{5}{3}=10\) और केवल हिंदी \(\binom{7}{3}=35\) हटाने पर (175) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{12}{3}=220\). Removing only English \(\binom{5}{3}=10\) and only Hindi \(\binom{7}{3}=35\) gives (175) ways.
मामले (3) डॉक्टर (1) नर्स और (4) डॉक्टर हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\) है। / The cases are (3) doctors (1) nurse and (4) doctors. The total is \(\binom{6}{3}\binom{4}{1}+\binom{6}{4}=95\).
चयन (2), (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\) है। / The selection can be of (2), (3), or (4) gifts. The total is \(\binom{10}{2}+\binom{10}{3}+\binom{10}{4}=375\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (2) रंग (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{2}=15\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (2) colors from (6). The ways are \(\binom{6}{2}=15\).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (2) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\) हैं। / Choose (2) from (3) special students and (2) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{6}{2}=45\).
कुल \(\binom{12}{5}=792\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (792-56=736) है। / Total ways are \(\binom{12}{5}=792\) and ways with no special student are \(\binom{8}{5}=56\). Hence (792-56=736).
ठीक (3) पुरुष और (2) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=525\) हैं। / Exactly (3) men and (2) women are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{6}{2}=525\).
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। केवल पेन \(\binom{6}{4}=15\) और केवल पेंसिल \(\binom{5}{4}=5\) हटाने पर (310) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing only pens \(\binom{6}{4}=15\) and only pencils \(\binom{5}{4}=5\) gives (310) ways.
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{9}{4}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{9}{4}\).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (2) तत्व (6) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (2) elements are chosen from (6). The number of ways is \(\binom{6}{2}=15\).
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total subsets are \(\binom{8}{4}=70\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{6}{2}=15\). Hence (70-15=55).
(1) से (12) तक (6) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{6}{3}=20\) तरीके हैं। / There are (6) even numbers from (1) to (12). Hence there are \(\binom{6}{3}=20\) ways.
विषम संख्याएं (8) और सम संख्याएं (7) हैं। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=196\) हैं। / There are (8) odd numbers and (7) even numbers. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{7}{1}=196\).
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (10) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) तरीके हैं। / After removing (3) special students (10) students remain. Hence there are \(\binom{10}{5}=252\) ways.
कुल \(\binom{14}{5}=2002\) हैं। (0) शिक्षक \(\binom{8}{5}=56\) और (1) शिक्षक \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\) हटाएं। उत्तर (1526) है। / Total ways are \(\binom{14}{5}=2002\). Remove (0) teacher \(\binom{8}{5}=56\) and (1) teacher \(\binom{6}{1}\binom{8}{4}=420\). The answer is (1526).
कुल \(\binom{11}{4}=330\) हैं। सभी सफेद \(\binom{5}{4}=5\) और सभी काली \(\binom{6}{4}=15\) हटाने पर (310) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{11}{4}=330\). Removing all-white \(\binom{5}{4}=5\) and all-black \(\binom{6}{4}=15\) gives (310).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{10}{3}=120\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{10}{3}=120\).
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{6}{4}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special friends do not go then \(\binom{6}{4}=15\). Hence (70-15=55).
विशेष फलों में से (1) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\) हैं। / Choose (1) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{3}{1}\binom{6}{3}=60\).
हर रंग से (1) गेंद चुनी जाएगी। तरीके \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=120\) हैं। / One ball is chosen from each color. The ways are \(\binom{4}{1}\binom{5}{1}\binom{6}{1}=120\).
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (2) अक्षर (5) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}=10\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (2) letters from (5). The ways are \(\binom{5}{2}=10\).
कुल \(\binom{6}{3}=20\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो तीसरा विषय (4) तरीकों से चुनेगा। इसलिए (20-4=16) है। / Total ways are \(\binom{6}{3}=20\) and if both special subjects are included the third subject is chosen in (4) ways. Hence (20-4=16).
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (2) संख्याएं (8) में से \(\binom{8}{2}=28\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (2) numbers are chosen from (8) in \(\binom{8}{2}=28\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (5) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{5}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (5) collinear points. So the number is \(\binom{5}{3}\).
(2) खराब कुर्सियां हटाने पर (5) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (4) चुनने के तरीके \(\binom{5}{4}=5\) हैं। / After removing (2) broken chairs (5) good chairs remain. The ways to choose (4) are \(\binom{5}{4}=5\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{7}{2}=21\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{7}{4}=35\) तरीके हैं। कुल (21+35=56) है। / If both are included there are \(\binom{7}{2}=21\) ways and if both are excluded there are \(\binom{7}{4}=35\) ways. The total is (56).
मामले अंतिम (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the last (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{5}{3}+\binom{3}{3}\binom{5}{2}=40\).
वरिष्ठों की संख्या (0) या (1) हो सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\) है। / The number of seniors can be (0) or (1). The total is \(\binom{5}{0}\binom{7}{4}+\binom{5}{1}\binom{7}{3}=210\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (8) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (8). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6) सिक्कों का होगा। कुल \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\) है। / An even selection means (0), (2), (4), or (6) coins. The total is \(\binom{6}{0}+\binom{6}{2}+\binom{6}{4}+\binom{6}{6}=32\).
विषम चयन की संख्या \(2^{7-1}=64\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{7-1}=64\). In exams even and odd selections are equal.
कप्तान को हटाने पर (7) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{7}{3}=35\) तरीके हैं। / After removing the captain (7) players remain. Hence there are \(\binom{7}{3}=35\) ways.
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{3}{0}\binom{9}{4}+\binom{3}{1}\binom{9}{3}=378\).
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (3) सदस्य (12) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{12}{3}=220\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (3) are chosen from (12). Hence \(\binom{12}{3}=220\).
(2) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके होंगे। / After excluding (2) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{4}=330\).
ठीक (3) लड़के और (2) लड़कियां चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=350\) हैं। / Exactly (3) boys and (2) girls are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}=350\).
मामले (2), (3) और (4) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\) नहीं बल्कि सही जोड़ (420+160+15=595) है। / The cases are (2), (3), and (4) women. The correct sum is \(\binom{6}{2}\binom{8}{2}+\binom{6}{3}\binom{8}{1}+\binom{6}{4}=595\).
ठीक (2) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=525\) हैं। / Exactly (2) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{6}{2}\binom{7}{3}=525\).
मामले पहले (3) में से (2) या (3) चुनने के हैं। कुल \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\) है। / The cases are choosing (2) or (3) from the first (3). The total is \(\binom{3}{2}\binom{7}{4}+\binom{3}{3}\binom{7}{3}=147\).
कुल \(\binom{12}{4}=495\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{2}=45\) हैं। इसलिए (495-45=450) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{4}=495\) and ways with both special books are \(\binom{10}{2}=45\). Hence (495-45=450).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{8}{3}=168\).
कुल \(\binom{16}{2}=120\) जोड़ियां हैं और (6) समरेखीय बिंदु \(\binom{6}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (120-15+1=106) है। / Total pairs are \(\binom{16}{2}=120\) and (6) collinear points give (1) line instead of \(\binom{6}{2}\). Hence (120-15+1=106).
कुल \(\binom{13}{3}=286\) त्रिक हैं और \(\binom{5}{3}=10\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (286-10=276) है। / Total triples are \(\binom{13}{3}=286\) and \(\binom{5}{3}=10\) collinear triples do not form triangles. Hence (286-10=276).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{12}{2}=66\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (132) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{12}{2}=66\). With (2) matches for each pair the total is (132).
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{7}{2}=21\) हैं। इसलिए (126-21=105) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and ways with both special persons are \(\binom{7}{2}=21\). Hence (126-21=105).
मामले (2), (3) और (4) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\) नहीं बल्कि सही जोड़ (280+280+70=630) है। / The cases are (2), (3), and (4) chemistry books. The correct sum is \(\binom{8}{2}\binom{5}{2}+\binom{8}{3}\binom{5}{1}+\binom{8}{4}=630\).
कुल \(\binom{14}{4}=1001\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{6}{4}=15\) और केवल हिंदी \(\binom{8}{4}=70\) हटाने पर (916) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{14}{4}=1001\). Removing only English \(\binom{6}{4}=15\) and only Hindi \(\binom{8}{4}=70\) gives (916) ways.
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{7}{3}\binom{5}{2}+\binom{7}{4}\binom{5}{1}+\binom{7}{5}=546\).
चयन (2) या (3) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=220\) है। / The selection can be of (2) or (3) gifts. The total is \(\binom{11}{2}+\binom{11}{3}=220\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (3) रंग (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (3) colors from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with no special student are \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688) ways.
ठीक (2) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{7}{3}=980\) हैं। / Exactly (2) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{7}{3}=980\).
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। केवल पेन \(\binom{7}{5}=21\) और केवल पेंसिल \(\binom{6}{5}=6\) हटाने पर (1260) है। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing only pens \(\binom{7}{5}=21\) and only pencils \(\binom{6}{5}=6\) gives (1260).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{10}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{10}{5}\).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (3) तत्व (8) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{8}{3}=56\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (3) elements are chosen from (8). The number of ways is \(\binom{8}{3}=56\).
कुल \(\binom{9}{5}=126\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{7}{3}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total subsets are \(\binom{9}{5}=126\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{7}{3}=35\). Hence (126-35=91).
(1) से (18) तक (9) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके हैं। / There are (9) even numbers from (1) to (18). Hence there are \(\binom{9}{4}=126\) ways.
विषम संख्याएं (10) और सम संख्याएं (10) हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\) हैं। / There are (10) odd numbers and (10) even numbers. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{10}{2}=2025\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (4) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\) है। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(4368-\binom{9}{5}-\binom{7}{1}\binom{9}{4}=3213\).
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं। सभी सफेद \(\binom{6}{5}=6\) और सभी काली \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (1260) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\). Removing all-white \(\binom{6}{5}=6\) and all-black \(\binom{7}{5}=21\) gives (1260).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{11}{4}=330\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{11}{4}=330\).
कुल \(\binom{9}{4}=126\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{7}{4}=35\) हैं। इसलिए (126-35=91) है। / Total ways are \(\binom{9}{4}=126\) and if both special friends do not go then \(\binom{7}{4}=35\). Hence (126-35=91).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (6) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (6). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{6}{3}=120\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{5}{1}\binom{6}{2}\binom{7}{1}=525\).
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (6) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}=20\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (6). The ways are \(\binom{6}{3}=20\).
कुल \(\binom{7}{4}=35\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{5}{2}=10\) हैं। इसलिए (35-10=25) है। / Total ways are \(\binom{7}{4}=35\) and if both special subjects are included there are \(\binom{5}{2}=10\) ways. Hence (35-10=25).
(2) संख्याएं तय हैं और (1) हट गई है। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (1) is excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (6) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{6}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (6) collinear points. So the number is \(\binom{6}{3}\).
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (6) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{6}{5}=6\) हैं। / After removing (3) broken chairs (6) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{6}{5}=6\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{8}{3}=56\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{8}{5}=56\) तरीके हैं। कुल (56+56=112) है। / If both are included there are \(\binom{8}{3}=56\) ways and if both are excluded there are \(\binom{8}{5}=56\) ways. The total is (112).
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{5}{3}+\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}=105\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{8}{5}+\binom{6}{1}\binom{8}{4}+\binom{6}{2}\binom{8}{3}=1316\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (3) कार्ड (9) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (3) cards from the remaining (9). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{9}{3}=168\).
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6), (8) सिक्कों का होगा। कुल संख्या \(2^{8-1}=128\) है। / An even selection means (0), (2), (4), (6), or (8) coins. The total number is \(2^{8-1}=128\).
विषम चयन की संख्या \(2^{8-1}=128\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{8-1}=128\). Even and odd selections are equal.
कप्तान को हटाने पर (8) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{8}{4}=70\) तरीके हैं। / After removing the captain (8) players remain. Hence there are \(\binom{8}{4}=70\) ways.
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{4}{0}\binom{9}{5}+\binom{4}{1}\binom{9}{4}=630\).
(2) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (4) सदस्य (13) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{13}{4}=715\) होगा। / The (2) members are fixed so the remaining (4) are chosen from (13). Hence \(\binom{13}{4}=715\).
(3) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) तरीके होंगे। / After excluding (3) special students (11) students remain. So the number of ways is \(\binom{11}{5}=462\).
ठीक (3) लड़कियां और (3) लड़के चाहिए। तरीके \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=2940\) हैं। / Exactly (3) girls and (3) boys are needed. The ways are \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}=2940\).
मामले (2), (3), (4) और (5) महिलाओं के हैं। कुल \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\) है। / The cases are (2), (3), (4), and (5) women. The total is \(\binom{8}{2}\binom{8}{3}+\binom{8}{3}\binom{8}{2}+\binom{8}{4}\binom{8}{1}+\binom{8}{5}=3752\).
ठीक (2) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{7}{2}\binom{6}{3}=420\) हैं। / Exactly (2) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{7}{2}\binom{6}{3}=420\).
मामले पहले (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the first (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{7}{4}+\binom{4}{3}\binom{7}{3}+\binom{4}{4}\binom{7}{2}=371\).
कुल \(\binom{13}{5}=1287\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{11}{3}=165\) हैं। इसलिए (1287-165=1122) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{5}=1287\) and ways with both special books are \(\binom{11}{3}=165\). Hence (1287-165=1122).
(3) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\) हैं। / Choose (2) from (3) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{3}{2}\binom{9}{4}=378\).
कुल \(\binom{18}{2}=153\) जोड़ियां हैं और (7) समरेखीय बिंदु \(\binom{7}{2}\) के स्थान पर (1) रेखा देते हैं। इसलिए (153-21+1=133) है। / Total pairs are \(\binom{18}{2}=153\) and (7) collinear points give (1) line instead of \(\binom{7}{2}\). Hence (153-21+1=133).
कुल \(\binom{14}{3}=364\) त्रिक हैं और \(\binom{6}{3}=20\) समरेखीय त्रिक त्रिभुज नहीं बनाते। इसलिए (364-20=344) है। / Total triples are \(\binom{14}{3}=364\) and \(\binom{6}{3}=20\) collinear triples do not form triangles. Hence (364-20=344).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{15}{2}=105\) हैं। हर जोड़ी के (2) मैच होने से कुल (210) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{15}{2}=105\). With (2) matches for each pair the total is (210).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and ways with both special persons are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
मामले (3), (4) और (5) रसायन पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\) है। / The cases are (3), (4), and (5) chemistry books. The total is \(\binom{9}{3}\binom{6}{2}+\binom{9}{4}\binom{6}{1}+\binom{9}{5}=1932\).
कुल \(\binom{16}{5}=4368\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{7}{5}=21\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (4221) तरीके मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{16}{5}=4368\). Removing only English \(\binom{7}{5}=21\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (4221) ways.
मामले (3), (4) और (5) डॉक्टरों के हैं। कुल \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\) है। / The cases are (3), (4), and (5) doctors. The total is \(\binom{8}{3}\binom{6}{2}+\binom{8}{4}\binom{6}{1}+\binom{8}{5}=1176\).
चयन (3) या (4) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=715\) है। / The selection can be of (3) or (4) gifts. The total is \(\binom{12}{3}+\binom{12}{4}=715\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (8) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{8}{4}=70\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (8). The ways are \(\binom{8}{4}=70\).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from (4) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और कोई विशेष न हो तो \(\binom{10}{6}=210\) हैं। इसलिए (3003-210=2793) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with no special student are \(\binom{10}{6}=210\). Hence (3003-210=2793) ways.
ठीक (2) पुरुष और (4) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=1260\) हैं। / Exactly (2) men and (4) women are needed. The ways are \(\binom{9}{2}\binom{7}{4}=1260\).
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। केवल पेन \(\binom{8}{5}=56\) और केवल पेंसिल \(\binom{7}{5}=21\) हटाने पर (2926) है। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing only pens \(\binom{8}{5}=56\) and only pencils \(\binom{7}{5}=21\) gives (2926).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{11}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{11}{5}\).
(1) पहले से चुना है इसलिए बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे। तरीकों की संख्या \(\binom{9}{4}=126\) है। / The element (1) is already chosen so the remaining (4) elements are chosen from (9). The number of ways is \(\binom{9}{4}=126\).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और (2), (3) दोनों हों तो \(\binom{8}{3}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total subsets are \(\binom{10}{5}=252\) and those containing both (2), (3) are \(\binom{8}{3}=56\). Hence (252-56=196).
(1) से (22) तक (11) सम संख्याएं हैं। इसलिए \(\binom{11}{4}=330\) तरीके हैं। / There are (11) even numbers from (1) to (22). Hence there are \(\binom{11}{4}=330\) ways.
विषम संख्याएं (12) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\) हैं। / There are (12) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{12}{3}\binom{12}{2}=14520\).
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (11) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (11) students remain. Hence there are \(\binom{11}{6}=462\) ways.
कुल \(\binom{18}{6}=18564\) हैं। (0) शिक्षक और (1) शिक्षक के मामले हटाने पर \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\) है। / Total ways are \(\binom{18}{6}=18564\). Removing the cases of (0) teacher and (1) teacher gives \(18564-\binom{10}{6}-\binom{8}{1}\binom{10}{5}=16338\).
कुल \(\binom{15}{5}=3003\) हैं। सभी सफेद \(\binom{7}{5}=21\) और सभी काली \(\binom{8}{5}=56\) हटाने पर (2926) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{15}{5}=3003\). Removing all-white \(\binom{7}{5}=21\) and all-black \(\binom{8}{5}=56\) gives (2926).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{12}{4}=495\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{12}{4}=495\).
कुल \(\binom{10}{5}=252\) हैं और दोनों विशेष न जाएं तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (252-56=196) है। / Total ways are \(\binom{10}{5}=252\) and if both special friends do not go then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (252-56=196).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{7}{3}=210\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{6}{1}\binom{7}{2}\binom{8}{2}=3528\).
(a) तय है और (b) हट गया है इसलिए बाकी (3) अक्षर (7) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{7}{3}=35\) हैं। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded so choose the remaining (3) letters from (7). The ways are \(\binom{7}{3}=35\).
कुल \(\binom{8}{4}=70\) हैं और दोनों विशेष विषय साथ हों तो \(\binom{6}{2}=15\) हैं। इसलिए (70-15=55) है। / Total ways are \(\binom{8}{4}=70\) and if both special subjects are included there are \(\binom{6}{2}=15\) ways. Hence (70-15=55).
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (3) संख्याएं (9) में से \(\binom{9}{3}=84\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (3) numbers are chosen from (9) in \(\binom{9}{3}=84\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (7) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{7}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (7) collinear points. So the number is \(\binom{7}{3}\).
(3) खराब कुर्सियां हटाने पर (7) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (5) चुनने के तरीके \(\binom{7}{5}=21\) हैं। / After removing (3) broken chairs (7) good chairs remain. The ways to choose (5) are \(\binom{7}{5}=21\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{9}{3}=84\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{9}{5}=126\) तरीके हैं। कुल (84+126=210) है। / If both are included there are \(\binom{9}{3}=84\) ways and if both are excluded there are \(\binom{9}{5}=126\) ways. The total is (210).
मामले अंतिम (4) में से (2), (3) या (4) चुनने के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\) है। / The cases are choosing (2), (3), or (4) from the last (4). The total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{4}+\binom{4}{3}\binom{6}{3}+\binom{4}{4}\binom{6}{2}=185\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{9}{5}+\binom{7}{1}\binom{9}{4}+\binom{7}{2}\binom{9}{3}=2772\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (10) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (10). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{10}{4}=420\).
सम संख्या का चयन (0), (2), (4), (6), (8), (10) सिक्कों का होगा। कुल संख्या \(2^{10-1}=512\) है। / An even selection means (0), (2), (4), (6), (8), or (10) coins. The total number is \(2^{10-1}=512\).
विषम चयन की संख्या \(2^{9-1}=256\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of odd selections is \(2^{9-1}=256\). Even and odd selections are equal.
कप्तान को हटाने पर (9) खिलाड़ी बचते हैं। इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) तरीके हैं। / After removing the captain (9) players remain. Hence there are \(\binom{9}{4}=126\) ways.
विशेष वस्तुओं में से (0) या (1) चुनी जा सकती है। कुल \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\) है। / Either (0) or (1) special object can be chosen. The total is \(\binom{5}{0}\binom{9}{5}+\binom{5}{1}\binom{9}{4}=756\).
