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कुल \(\binom{20}{3}=1140\) त्रिक हैं और असफल त्रिक \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\) हैं। इसलिए (1140-66=1074) है। / Total triples are \(\binom{20}{3}=1140\) and failed triples are \(\binom{8}{3}+\binom{5}{3}=66\). Hence (1140-66=1074).
पुरुषों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\) है। / The number of men can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{4}+\binom{10}{3}\binom{8}{3}+\binom{10}{4}\binom{8}{2}=15750\).
कुल \(\binom{12}{5}=792\) में से किसी विषय के न होने वाले चयन घटाएं। सही गिनती (621) है। / Subtract selections missing at least one subject from \(\binom{12}{5}=792\). The correct count is (621).
मामले (2) विशेष और (3) विशेष के हैं। कुल \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\) है। / The cases are (2) special and (3) special students. The total is \(\binom{4}{2}\binom{10}{4}+\binom{4}{3}\binom{10}{3}=2100\).
विशेष वस्तुएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\) है। / The number of special objects can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\sum_{r=3}^{6}\binom{6}{r}\binom{10}{7-r}=6960\).
(a,b) में से (1) चुनकर बाकी (4) ऐसे चुनें कि (c,d) दोनों साथ न आएं। तरीके (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364) नहीं, सही (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364) है। / Choose (1) from (a,b), then choose the remaining (4) so that (c,d) are not both included. The correct expression is (\binom{2}{1}\left\(\binom{10}{4}-\binom{8}{2}\right\)=364).
(4) की (10) गुणज और (30) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\) हैं। / There are (10) multiples of (4) and (30) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{2}\binom{30}{3}=122760\).
विशेष खिलाड़ी (1) या (2) चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\) है। / The number of special players can be (1) or (2). The total is \(\binom{3}{1}\binom{10}{5}+\binom{3}{2}\binom{10}{4}=1470\).
(10) विज्ञान और (6) कला विद्यार्थियों में से (6) विद्यार्थी चुनने हैं जिनमें विज्ञान विद्यार्थियों की संख्या कला विद्यार्थियों की संख्या से ठीक (2) अधिक हो। कितने तरीके हैं?
यदि विज्ञान (x) और कला (y) हों तो (x+y=6) और (x=y+2), इसलिए (x=4), (y=2)। तरीके \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\) हैं। / If science students are (x) and arts students are (y), then (x+y=6) and (x=y+2), so (x=4), (y=2). The ways are \(\binom{10}{4}\binom{6}{2}=3150\).
कुल \(\binom{16}{3}=560\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\) हैं इसलिए (560-24=536) है। / Total triples are \(\binom{16}{3}=560\). Failed triples are \(\binom{6}{3}+\binom{4}{3}=24\), so (560-24=536).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{14}{2}=91\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (273) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{14}{2}=91\). With (3) matches for each pair the total is (273).
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{9}{3}=84\) हैं। इसलिए (462-84=378) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and ways with both special persons are \(\binom{9}{3}=84\). Hence (462-84=378).
मामले (3), (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। इनका सही योग (10584) है। / The cases are (3), (4), (5), and (6) mathematics books. Their correct sum is (10584).
कुल \(\binom{17}{5}=6188\) हैं। केवल अंग्रेजी \(\binom{8}{5}=56\) और केवल हिंदी \(\binom{9}{5}=126\) हटाने पर (6006) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{5}=6188\). Removing only English \(\binom{8}{5}=56\) and only Hindi \(\binom{9}{5}=126\) gives (6006).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{9}{4}\binom{7}{2}+\binom{9}{5}\binom{7}{1}+\binom{9}{6}=3612\).
चयन (3), (4) या (5) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\) है। / The selection can be of (3), (4), or (5) gifts. The total is \(\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}=2288\).
एक रंग तय है और एक हट गया है इसलिए बाकी (4) रंग (9) में से चुनेंगे। तरीके \(\binom{9}{4}=126\) हैं। / One color is fixed and one is removed so choose the remaining (4) colors from (9). The ways are \(\binom{9}{4}=126\).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{7}{3}=350\).
कुल \(\binom{15}{6}=5005\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\) है। / Total ways are \(\binom{15}{6}=5005\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(5005-\binom{10}{6}-\binom{5}{1}\binom{10}{5}=3535\).
ठीक (3) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=6720\) हैं। / Exactly (3) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{10}{3}\binom{8}{3}=6720\).
पेन (2), (3) या (4) हो सकते हैं। कुल \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\) है। / The number of pens can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{8}{4}+\binom{9}{3}\binom{8}{3}+\binom{9}{4}\binom{8}{2}=10752\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{12}{5}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{12}{5}\).
(1) और (2) तय हैं और (3) हट गया है। बाकी (3) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{3}=84\) है। / The elements (1) and (2) are fixed and (3) is excluded. The remaining (3) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{3}=84\).
कुल \(\binom{11}{6}=462\) हैं और (4), (5) दोनों हों तो \(\binom{9}{4}=126\) हैं। इसलिए (462-126=336) है। / Total subsets are \(\binom{11}{6}=462\) and those containing both (4), (5) are \(\binom{9}{4}=126\). Hence (462-126=336).
(3) की (10) गुणज और (20) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\) हैं। / There are (10) multiples of (3) and (20) non-multiples. The ways are \(\binom{10}{3}\binom{20}{2}=22800\).
विषम संख्याएं (13) और सम संख्याएं (12) हैं। तरीके \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\) हैं। / There are (13) odd numbers and (12) even numbers. The ways are \(\binom{13}{3}\binom{12}{2}=18876\).
(5) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{7}=1716\) तरीके हैं। / After removing (5) special students (13) students remain. Hence there are \(\binom{13}{7}=1716\) ways.
शिक्षक (3), (4), (5) या (6) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (22260) है। / The number of teachers can be (3), (4), (5), or (6). The sum of all these cases is (22260).
कुल \(\binom{17}{6}=12376\) हैं। सभी सफेद \(\binom{8}{6}=28\) और सभी काली \(\binom{9}{6}=84\) हटाने पर (12264) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{17}{6}=12376\). Removing all-white \(\binom{8}{6}=28\) and all-black \(\binom{9}{6}=84\) gives (12264).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{13}{5}=1287\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{13}{5}=1287\).
कुल \(\binom{11}{5}=462\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{5}=56\) हैं। इसलिए (462-56=406) है। / Total ways are \(\binom{11}{5}=462\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{5}=56\). Hence (462-56=406).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (7) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (3) from the remaining (7). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{7}{3}=350\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{7}{2}\binom{8}{2}\binom{9}{1}=5292\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (6) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (6), so \(\binom{2}{1}\binom{6}{3}=40\).
रसायन तय है इसलिए बाकी (3) विषय (8) में से चुनेंगे। गणित और भौतिकी दोनों साथ वाले (6) चयन हटाने पर (50) तरीके बचते हैं। / Chemistry is fixed so choose the remaining (3) subjects from (8). Removing (6) selections containing both mathematics and physics leaves (50) ways.
(2) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) तरीकों से चुनी जाएंगी। / The (2) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (11) in \(\binom{11}{4}=330\) ways.
असफल त्रिभुज के लिए (8) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{8}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (8) collinear points. So the number is \(\binom{8}{3}\).
(4) खराब कुर्सियां हटाने पर (8) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (6) चुनने के तरीके \(\binom{8}{6}=28\) हैं। / After removing (4) broken chairs (8) good chairs remain. The ways to choose (6) are \(\binom{8}{6}=28\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{10}{4}=210\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{10}{6}=210\) तरीके हैं। कुल (420) है। / If both are included there are \(\binom{10}{4}=210\) ways and if both are excluded there are \(\binom{10}{6}=210\) ways. The total is (420).
अंतिम (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the last (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=546\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1) या (2) हो सकती है। कुल \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\) है। / The number of seniors can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{8}{0}\binom{10}{6}+\binom{8}{1}\binom{10}{5}+\binom{8}{2}\binom{10}{4}=8106\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (4) कार्ड (11) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (4) cards from the remaining (11). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{11}{4}=660\).
सम चयन की संख्या \(2^{12-1}=2048\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of even selections is \(2^{12-1}=2048\). Even and odd selections are equal.
विषम चयन की संख्या \(2^{11-1}=1024\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन की संख्या बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{11-1}=1024\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(11) खिलाड़ियों में से (5) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (4) खिलाड़ी (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (4) players are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{5}{0}\binom{11}{6}+\binom{5}{1}\binom{11}{5}+\binom{5}{2}\binom{11}{4}=6072\).
लड़कों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\) है। / The number of boys can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{4}+\binom{10}{3}\binom{9}{3}+\binom{10}{4}\binom{9}{2}=23310\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (13) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{13}{6}=1716\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (13) students remain. So the number of ways is \(\binom{13}{6}=1716\).
ठीक (4) लड़के और (2) लड़कियां चाहिए। तरीके \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=5880\) हैं। / Exactly (4) boys and (2) girls are needed. The ways are \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}=5880\).
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। कुल \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{7}{3}\binom{9}{3}+\binom{7}{4}\binom{9}{2}+\binom{7}{5}\binom{9}{1}+\binom{7}{6}=4396\).
ठीक (3) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{8}{3}\binom{7}{3}=1960\) हैं। / Exactly (3) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{8}{3}\binom{7}{3}=1960\).
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{7}{4}+\binom{5}{4}\binom{7}{3}+\binom{5}{5}\binom{7}{2}=462\).
कुल \(\binom{14}{6}=3003\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{12}{4}=495\) हैं। इसलिए (3003-495=2508) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{14}{6}=3003\) and ways with both special books are \(\binom{12}{4}=495\). Hence (3003-495=2508).
(4) विशेष में से (2) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\) हैं। / Choose (2) from (4) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{4}{2}\binom{9}{4}=756\).
कुल \(\binom{20}{2}=190\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों के लिए \(\binom{8}{2}\) और \(\binom{5}{2}\) के स्थान पर (1), (1) रेखा लेने से (154) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{20}{2}=190\). Replacing \(\binom{8}{2}\) and \(\binom{5}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (154).
कुल \(\binom{18}{3}=816\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\) हैं इसलिए (816-45=771) है। / Total triples are \(\binom{18}{3}=816\). Failed triples are \(\binom{7}{3}+\binom{5}{3}=45\), so (816-45=771).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{16}{2}=120\) हैं। हर जोड़ी के (3) मैच होने से कुल (360) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{16}{2}=120\). With (3) matches for each pair the total is (360).
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{10}{4}=210\) हैं। इसलिए (924-210=714) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and ways with both special persons are \(\binom{10}{4}=210\). Hence (924-210=714).
मामले (4), (5) और (6) गणित पुस्तकों के हैं। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\) है। / The cases are (4), (5), and (6) mathematics books. The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{2}+\binom{11}{5}\binom{8}{1}+\binom{11}{6}=13398\).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3) या (4) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\) है। / The number of English books can be (2), (3), or (4). The total is \(\binom{9}{2}\binom{10}{4}+\binom{9}{3}\binom{10}{3}+\binom{9}{4}\binom{10}{2}=23310\).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5) या (6) होगी। कुल \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\) है। / The number of doctors will be (4), (5), or (6). The total is \(\binom{10}{4}\binom{8}{2}+\binom{10}{5}\binom{8}{1}+\binom{10}{6}=8106\).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{14}{4}+\binom{14}{5}+\binom{14}{6}=6006\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (10) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{8}{5}\) चयन घटाएं तो (196) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (10) and subtract \(\binom{8}{5}\) selections missing both other colors to get (196).
(5) विशेष में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\) हैं। / Choose (3) from (5) special students and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{3}\binom{8}{3}=560\).
कुल \(\binom{16}{7}=11440\) हैं। (0) और (1) विशेष वाले चयन हटाने पर \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\) है। / Total ways are \(\binom{16}{7}=11440\). Removing selections with (0) and (1) special student gives \(11440-\binom{11}{7}-\binom{5}{1}\binom{11}{6}=8800\).
ठीक (3) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=13860\) हैं। / Exactly (3) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{11}{3}\binom{9}{3}=13860\).
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{9}{5}+\binom{10}{3}\binom{9}{4}+\binom{10}{4}\binom{9}{3}+\binom{10}{5}\binom{9}{2}=47502\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{13}{6}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{13}{6}\).
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (4) तत्व (9) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{9}{4}=126\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (4) elements are chosen from (9), so \(\binom{9}{4}=126\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (11) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{9}{3}=84\) घटाने से (462-84=378) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (11). Subtracting \(\binom{9}{3}=84\) cases containing both (5), (6) gives (462-84=378).
(4) की (9) गुणज और (27) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\) हैं। / There are (9) multiples of (4) and (27) non-multiples. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{27}{2}=29484\).
विषम संख्याएं (15) और सम संख्याएं (15) हैं। तरीके \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\) हैं। / There are (15) odd numbers and (15) even numbers. The ways are \(\binom{15}{3}\binom{15}{3}=207025\).
(6) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके हैं। / After removing (6) special students (14) students remain. Hence there are \(\binom{14}{7}=3432\) ways.
शिक्षक (3), (4), (5), (6) या (7) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (124872) है। / The number of teachers can be (3), (4), (5), (6), or (7). The sum of all these cases is (124872).
कुल \(\binom{19}{6}=27132\) हैं। सभी सफेद \(\binom{9}{6}=84\) और सभी काली \(\binom{10}{6}=210\) हटाने पर (26838) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{19}{6}=27132\). Removing all-white \(\binom{9}{6}=84\) and all-black \(\binom{10}{6}=210\) gives (26838).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{15}{5}=3003\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{15}{5}=3003\).
कुल \(\binom{12}{6}=924\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (924-28=896) है। / Total ways are \(\binom{12}{6}=924\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (924-28=896).
विशेष फलों में से (2) और बाकी (8) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\) हैं। / Choose (2) from the special fruits and (4) from the remaining (8). The ways are \(\binom{5}{2}\binom{8}{4}=700\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{8}{2}\binom{9}{2}\binom{10}{2}=45360\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (8) में से (3) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (3) from the remaining (8), so \(\binom{2}{1}\binom{8}{3}=112\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (8) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{6}{2}\) चयन घटाएं तो (55) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (8) and subtract \(\binom{6}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (55).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (4) संख्याएं (11) में से \(\binom{11}{4}=330\) नहीं, बल्कि (16-3-2=11) से \(\binom{11}{4}=330\) होती हैं। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (4) numbers are chosen from (16-3-2=11), so \(\binom{11}{4}=330\).
असफल त्रिभुज के लिए (9) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{9}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (9) collinear points. So the number is \(\binom{9}{3}\).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (9) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (7) चुनने के तरीके \(\binom{9}{7}=36\) हैं। / After removing (5) broken chairs (9) good chairs remain. The ways to choose (7) are \(\binom{9}{7}=36\).
दोनों शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और दोनों बाहर हों तो \(\binom{11}{6}=462\) तरीके हैं। कुल (792) है। / If both are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if both are excluded there are \(\binom{11}{6}=462\) ways. The total is (792).
अंतिम (6) में से (4), (5) या (6) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\) है। / You can choose (4), (5), or (6) from the last (6) questions. The total is \(\binom{6}{4}\binom{8}{4}+\binom{6}{5}\binom{8}{3}+\binom{6}{6}\binom{8}{2}=1414\).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1), (2) या (3) हो सकती है। कुल \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\) है। / The number of seniors can be (0), (1), (2), or (3). The total is \(\binom{9}{0}\binom{11}{7}+\binom{9}{1}\binom{11}{6}+\binom{9}{2}\binom{11}{5}+\binom{9}{3}\binom{11}{4}=48840\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (5) कार्ड (12) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (5) cards from the remaining (12). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{12}{5}=1584\).
सम चयन की संख्या \(2^{14-1}=8192\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of even selections is \(2^{14-1}=8192\). Even and odd selections are equal.
विषम चयन की संख्या \(2^{13-1}=4096\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{13-1}=4096\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(13) खिलाड़ियों में से (6) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (5) खिलाड़ी (11) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{11}{5}=462\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (5) players are chosen from (11), so \(\binom{11}{5}=462\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{6}{0}\binom{12}{7}+\binom{6}{1}\binom{12}{6}+\binom{6}{2}\binom{12}{5}=18216\).
(3) सदस्य तय हैं इसलिए बाकी (4) सदस्य (13) में से चुने जाएंगे। अतः \(\binom{13}{4}=715\) होगा। / The (3) members are fixed so the remaining (4) are chosen from (13). Hence \(\binom{13}{4}=715\).
(4) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (14) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{14}{7}=3432\) तरीके होंगे। / After excluding (4) special students (14) students remain. So the number of ways is \(\binom{14}{7}=3432\).
ठीक (4) लड़कियां और (3) लड़के चाहिए। तरीके \(\binom{8}{4}\binom{10}{3}=8400\) हैं। / Exactly (4) girls and (3) boys are needed. The ways are \(\binom{8}{4}\binom{10}{3}=8400\).
महिलाएं (3), (4), (5) या (6) हो सकती हैं। सही योग \(\binom{8}{3}\binom{9}{3}+\binom{8}{4}\binom{9}{2}+\binom{8}{5}\binom{9}{1}+\binom{8}{6}=7756\) है। / The number of women can be (3), (4), (5), or (6). The correct sum is \(\binom{8}{3}\binom{9}{3}+\binom{8}{4}\binom{9}{2}+\binom{8}{5}\binom{9}{1}+\binom{8}{6}=7756\).
ठीक (3) लाल और (3) नीली गेंदें चाहिए। तरीके \(\binom{9}{3}\binom{8}{3}=4704\) हैं। / Exactly (3) red and (3) blue balls are needed. The ways are \(\binom{9}{3}\binom{8}{3}=4704\).
पहले (5) में से (3), (4) या (5) प्रश्न चुने जा सकते हैं। कुल \(\binom{5}{3}\binom{8}{5}+\binom{5}{4}\binom{8}{4}+\binom{5}{5}\binom{8}{3}=966\) है। / You can choose (3), (4), or (5) from the first (5) questions. The total is \(\binom{5}{3}\binom{8}{5}+\binom{5}{4}\binom{8}{4}+\binom{5}{5}\binom{8}{3}=966\).
कुल \(\binom{15}{6}=5005\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{13}{4}=715\) हैं। इसलिए (5005-715=4290) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{15}{6}=5005\) and ways with both special books are \(\binom{13}{4}=715\). Hence (5005-715=4290).
(6) विशेष में से (3) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\) हैं। / Choose (3) from (6) special players and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\).
कुल \(\binom{22}{2}=231\) जोड़ियां हैं। समरेखीय समूहों में \(\binom{9}{2}\) और \(\binom{6}{2}\) की जगह (1), (1) रेखा लेने से (182) मिलता है। / Total pairs are \(\binom{22}{2}=231\). Replacing \(\binom{9}{2}\) and \(\binom{6}{2}\) by (1), (1) for collinear groups gives (182).
कुल \(\binom{19}{3}=969\) त्रिक हैं। असफल त्रिक \(\binom{8}{3}+\binom{6}{3}=76\) हैं इसलिए (969-76=893) है। / Total triples are \(\binom{19}{3}=969\). Failed triples are \(\binom{8}{3}+\binom{6}{3}=76\), so (969-76=893).
टीमों की जोड़ियां \(\binom{18}{2}=153\) हैं। हर जोड़ी के (4) मैच होने से कुल (612) मैच होंगे। / The pairs of teams are \(\binom{18}{2}=153\). With (4) matches for each pair the total is (612).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और दोनों विशेष साथ हों तो \(\binom{11}{4}=330\) हैं। इसलिए (1716-330=1386) तरीके हैं। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and ways with both special persons are \(\binom{11}{4}=330\). Hence (1716-330=1386).
मामले (4), (5), (6) और (7) गणित पुस्तकों के हैं। सही योग (79200) है। / The cases are (4), (5), (6), and (7) mathematics books. The correct sum is (79200).
अंग्रेजी पुस्तकों की संख्या (2), (3), (4) या (5) हो सकती है। सभी वैध मामलों का योग (108900) है। / The number of English books can be (2), (3), (4), or (5). The sum of all valid cases is (108900).
डॉक्टरों की संख्या (4), (5), (6) या (7) होगी। कुल \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\) है। / The number of doctors will be (4), (5), (6), or (7). The total is \(\binom{11}{4}\binom{8}{3}+\binom{11}{5}\binom{8}{2}+\binom{11}{6}\binom{8}{1}+\binom{11}{7}=35442\).
चयन (4), (5) या (6) उपहारों का होगा। कुल \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\) है। / The selection can be of (4), (5), or (6) gifts. The total is \(\binom{15}{4}+\binom{15}{5}+\binom{15}{6}=9373\).
एक रंग तय और एक हट गया है। बाकी (5) रंग (11) में से चुनें और दोनों अन्य रंग न आने वाले \(\binom{9}{5}\) चयन घटाएं तो (336) मिलेगा। / One color is fixed and one is excluded. Choose the remaining (5) colors from (11) and subtract \(\binom{9}{5}\) selections missing both other colors to get (336).
(6) विशेष में से (3) और बाकी (9) में से (4) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\) हैं। / Choose (3) from (6) special students and (4) from the remaining (9). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{9}{4}=2520\).
विशेष छात्र (3), (4), (5) या (6) हो सकते हैं। कुल \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\) है। / The number of special students can be (3), (4), (5), or (6). The total is \(\binom{6}{3}\binom{11}{5}+\binom{6}{4}\binom{11}{4}+\binom{6}{5}\binom{11}{3}+\binom{6}{6}\binom{11}{2}=15235\).
ठीक (4) पुरुष और (3) महिलाएं चाहिए। तरीके \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=59400\) हैं। / Exactly (4) men and (3) women are needed. The ways are \(\binom{12}{4}\binom{10}{3}=59400\).
पेन (2), (3), (4) या (5) हो सकते हैं। कुल \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\) है। / The number of pens can be (2), (3), (4), or (5). The total is \(\binom{10}{2}\binom{8}{5}+\binom{10}{3}\binom{8}{4}+\binom{10}{4}\binom{8}{3}+\binom{10}{5}\binom{8}{2}=29736\).
पास्कल पहचान से \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\) होता है। इसलिए उत्तर \(\binom{14}{7}\) है। / By Pascal's identity \(\binom{n}{r}+\binom{n}{r+1}=\binom{n+1}{r+1}\). Hence the answer is \(\binom{14}{7}\).
(1) और (2) तय हैं तथा (3), (4) हट गए हैं। बाकी (5) तत्व (10) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{10}{5}=252\) है। / The elements (1), (2) are fixed and (3), (4) are excluded. The remaining (5) elements are chosen from (10), so \(\binom{10}{5}=252\).
(1) तय है इसलिए (5) तत्व (12) में से चुनेंगे। (5), (6) दोनों होने पर \(\binom{10}{3}=120\) घटाने से (792-120=672) मिलता है। / The element (1) is fixed so choose (5) elements from (12). Subtracting \(\binom{10}{3}=120\) cases containing both (5), (6) gives (792-120=672).
(6) की (8) गुणज और (40) गैर-गुणज संख्याएं हैं। तरीके \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\) हैं। / There are (8) multiples of (6) and (40) non-multiples. The ways are \(\binom{8}{4}\binom{40}{2}=54600\).
विषम संख्याएं (18) और सम संख्याएं (17) हैं। तरीके \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\) हैं। / There are (18) odd numbers and (17) even numbers. The ways are \(\binom{18}{4}\binom{17}{2}=416160\).
(7) विशेष विद्यार्थियों को हटाने पर (15) विद्यार्थी बचते हैं। इसलिए \(\binom{15}{8}=6435\) तरीके हैं। / After removing (7) special students (15) students remain. Hence there are \(\binom{15}{8}=6435\) ways.
शिक्षक (4), (5), (6) या (7) हो सकते हैं। इन सभी मामलों का योग (136752) है। / The number of teachers can be (4), (5), (6), or (7). The sum of all these cases is (136752).
कुल \(\binom{21}{7}=116280\) हैं। सभी सफेद \(\binom{10}{7}=120\) और सभी काली \(\binom{11}{7}=330\) हटाने पर (115830) मिलते हैं। / Total ways are \(\binom{21}{7}=116280\). Removing all-white \(\binom{10}{7}=120\) and all-black \(\binom{11}{7}=330\) gives (115830).
पुरस्कार समान हैं इसलिए केवल चयन होगा। तरीकों की संख्या \(\binom{16}{6}=8008\) है। / The prizes are identical so only selection is needed. The number of ways is \(\binom{16}{6}=8008\).
कुल \(\binom{13}{6}=1716\) हैं और कोई विशेष मित्र न जाए तो \(\binom{8}{6}=28\) हैं। इसलिए (1716-28=1688) है। / Total ways are \(\binom{13}{6}=1716\) and if no special friend goes then \(\binom{8}{6}=28\). Hence (1716-28=1688).
विशेष फलों में से (3) और बाकी (8) में से (3) चुनेंगे। तरीके \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\) हैं। / Choose (3) from the special fruits and (3) from the remaining (8). The ways are \(\binom{6}{3}\binom{8}{3}=1120\).
हर रंग की शर्त अलग गिनी जाएगी। तरीके \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\) हैं। / Each color condition is counted separately. The ways are \(\binom{9}{2}\binom{10}{2}\binom{11}{2}=89100\).
(a) तय है और (b) हट गया है। (c,d) में से (1) और शेष (9) में से (4) चुनेंगे इसलिए \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\) है। / The letter (a) is fixed and (b) is excluded. Choose (1) from (c,d) and (4) from the remaining (9), so \(\binom{2}{1}\binom{9}{4}=252\).
रसायन तय और जीवविज्ञान हट गया है। बाकी (4) विषय (9) में से चुनें और गणित-भौतिकी दोनों वाले \(\binom{7}{2}\) चयन घटाएं तो (105) मिलते हैं। / Chemistry is fixed and biology is excluded. Choose the remaining (4) subjects from (9) and subtract \(\binom{7}{2}\) selections containing both mathematics and physics to get (105).
(3) संख्याएं तय हैं और (2) हट गई हैं। बाकी (5) संख्याएं (13) में से चुनी जाएंगी इसलिए \(\binom{13}{5}=1287\) है। / The (3) numbers are fixed and (2) are excluded. The remaining (5) numbers are chosen from (13), so \(\binom{13}{5}=1287\).
असफल त्रिभुज के लिए (10) समरेखीय बिंदुओं में से (3) चुने जाते हैं। इसलिए संख्या \(\binom{10}{3}\) है। / For a failed triangle (3) points are chosen from the (10) collinear points. So the number is \(\binom{10}{3}\).
(5) खराब कुर्सियां हटाने पर (10) अच्छी कुर्सियां बचती हैं। (8) चुनने के तरीके \(\binom{10}{8}=45\) हैं। / After removing (5) broken chairs (10) good chairs remain. The ways to choose (8) are \(\binom{10}{8}=45\).
सभी विशेष शामिल हों तो \(\binom{11}{4}=330\) और सभी बाहर हों तो \(\binom{11}{7}=330\) तरीके हैं। कुल (660) है। / If all special students are included there are \(\binom{11}{4}=330\) ways and if all are excluded there are \(\binom{11}{7}=330\) ways. The total is (660).
अंतिम (7) में से (4), (5), (6) या (7) प्रश्न चुने जा सकते हैं। सभी वैध मामलों का योग (3850) है। / You can choose (4), (5), (6), or (7) from the last (7) questions. The sum of all valid cases is (3850).
वरिष्ठों की संख्या (0), (1), (2) या (3) हो सकती है। कुल \(\binom{10}{0}\binom{12}{7}+\binom{10}{1}\binom{12}{6}+\binom{10}{2}\binom{12}{5}+\binom{10}{3}\binom{12}{4}=105072\) है। / The number of seniors can be (0), (1), (2), or (3). The total is \(\binom{10}{0}\binom{12}{7}+\binom{10}{1}\binom{12}{6}+\binom{10}{2}\binom{12}{5}+\binom{10}{3}\binom{12}{4}=105072\).
दो निश्चित कार्डों में से (1) चुनें और बाकी (5) कार्ड (13) में से चुनें। तरीके \(\binom{2}{1}\binom{13}{5}=2574\) हैं। / Choose (1) of the two fixed cards and (5) cards from the remaining (13). The ways are \(\binom{2}{1}\binom{13}{5}=2574\).
सम चयन की संख्या \(2^{16-1}=32768\) होती है। सम और विषम चयन बराबर होते हैं। / The number of even selections is \(2^{16-1}=32768\). Even and odd selections are equal.
विषम चयन की संख्या \(2^{15-1}=16384\) होती है। परीक्षा में सम और विषम चयन की संख्या बराबर याद रखें। / The number of odd selections is \(2^{15-1}=16384\). Remember that even and odd selections are equal in such questions.
(14) खिलाड़ियों में से (7) खिलाड़ियों का चयन करना है। एक कप्तान पहले से तय है और उसे चुना नहीं जाना है लेकिन उपकप्तान अवश्य चुना जाना है। कितने तरीके हैं?
कप्तान हट गया और उपकप्तान तय है। बाकी (6) खिलाड़ी (12) में से चुने जाएंगे इसलिए \(\binom{12}{6}=924\) है। / The captain is excluded and the vice-captain is fixed. The remaining (6) players are chosen from (12), so \(\binom{12}{6}=924\).
विशेष वस्तुएं (0), (1) या (2) चुनी जा सकती हैं। कुल \(\binom{7}{0}\binom{13}{8}+\binom{7}{1}\binom{13}{7}+\binom{7}{2}\binom{13}{6}=49335\) है। / The number of special objects can be (0), (1), or (2). The total is \(\binom{7}{0}\binom{13}{8}+\binom{7}{1}\binom{13}{7}+\binom{7}{2}\binom{13}{6}=49335\).
