Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
C. यह फलन नहीं है क्योंकि \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)/It is not a function because \(f(4)=5\notin{1,2,3,4}\)
Explanation
Simple Explanation
(f(4)=16-16+5=5) है जो सहप्रांत में नहीं है। सीमित प्रांत में सभी मान जांचना जरूरी है। / Here (f(4)=16-16+5=5), which is not in the codomain. For a finite domain, checking all values is necessary.
B. क्योंकि (x=2) की दो छवियां हैं/Because (x=2) has two images
Explanation
Simple Explanation
(x=2) पर (y=1) और (y=3) दोनों मिलते हैं। फलन में हर इनपुट के लिए केवल एक आउटपुट होना चाहिए। / At (x=2), both (y=1) and (y=3) occur. A function must have only one output for each input.
मान \(1-\frac{1}{x^2+2}\) है, इसलिए न्यूनतम \(\frac{1}{2}\) और (1) कभी नहीं मिलता। परिसर \(\left[\frac{1}{2},1\right\)) है। / The value is \(1-\frac{1}{x^2+2}\), so the minimum is \(\frac{1}{2}\) and (1) is never attained. The range is \(\left[\frac{1}{2},1\right\)).
पहले इनपुट के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं। कुल \(4\cdot3\cdot2=24\) हैं। / There are (4) choices for the first input, (3) for the second, and (2) for the third. Total is \(4\cdot3\cdot2=24\).
शून्य वे इनपुट देते हैं जो (3) से विभाज्य हैं। इसलिए पूर्वछवि ({3,6}) है। / The value zero is produced by inputs divisible by (3). Hence the preimage is ({3,6}).
विकल्प (B) फलन है, पर उल्टे संबंध में (1) की छवियां (0) और (1) होंगी। इसलिए \(R^{-1}\) फलन नहीं है। / Option (B) is a function, but in the inverse relation (1) has images (0) and (1). Hence \(R^{-1}\) is not a function.
A. क्योंकि (x=0) पर कोई मान नहीं दिया गया/Because no value is assigned at (x=0)
Explanation
Simple Explanation
पूरे \(\mathbb{R}\) से फलन में हर वास्तविक इनपुट पर मान चाहिए। यहां (x=0) छूट गया है। / A function from all of \(\mathbb{R}\) needs a value at every real input. Here (x=0) is omitted.
मान क्रमशः (1,2,3,3) हैं। इसलिए वास्तविक प्राप्त मान ({1,2,3}) हैं। / The values are (1,2,3,3) respectively. So the actually obtained values are ({1,2,3}).
हर शून्य न हो, इसलिए \(|x|-2\ne0\) और \(x\ne\pm2\) चाहिए। मापांक वाले हर में दोनों चिन्ह जांचें। / The denominator must be non-zero, so \(|x|-2\ne0\) and \(x\ne\pm2\). In modulus denominators check both signs.
कुल \(2^4=16\) फलन हैं और केवल सभी मान (0) वाला (1) फलन हटेगा। इसलिए (15) फलन हैं। / There are \(2^4=16\) total functions, and only the all-zero function is excluded. Hence there are (15) functions.
