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\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-11) रखने पर \(x^2+11x+30=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-11) gives (x^2+11x+30=0).\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-81) रखने पर \(x^2-81=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-81) gives (x^2-81=0).\)
यदि मूलों का योग (13) और गुणनफल (40) है, तो समीकरण \(x^2-13x+40=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (13) and product is (40), the equation is \(x^2-13x+40=0\). Remember the monic form formula.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=-7\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=12\) है। इसलिए योग ऋणात्मक और गुणनफल धनात्मक है। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=-7\) and the product is \(\frac{c}{a}=12\). So the sum is negative and the product is positive.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-9) रखने पर \(x^2+9x+20=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-9) gives (x^2+9x+20=0).\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) है। योग (0) और गुणनफल (-49) रखने पर \(x^2-49=0\) मिलता है। \(/ The monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Using sum (0) and product (-49) gives (x^2-49=0).\)
यदि मूलों का योग (11) और गुणनफल (30) है, तो समीकरण \(x^2-11x+30=0\) होगा। मोनिक रूप का सूत्र याद रखें। / If the sum of roots is (11) and product is (30), the equation is \(x^2-11x+30=0\). Remember the monic form formula.
पहले विकल्प में योग \(-\frac{b}{a}=5\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}=6\) है। दोनों धनात्मक हैं। / In the first option, the sum is \(-\frac{b}{a}=5\) and the product is \(\frac{c}{a}=6\). Both are positive.
इसको गुणनखंडित करें: \(x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\)। अतः मूल \(x=8\) और \(x=-5\) हैं। जाँच के लिए मूलों का योग और गुणनफल देखें: योग \(8+(-5)=3\) जो कि \(-\tfrac{b}{a}=-\tfrac{-3}{1}=3\) से मेल खाता है, और गुणनफल \(8\times(-5)=-40\) जो कि \(\tfrac{c}{a}=-40\) से मिलता है। नज़दीकी विचलित विकल्प \(5,-8\) का गुणनफल सही है पर योग \(5+(-8)=-3\) गलत है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा-टिप: किसी द्विघात के मूल जल्दी जांचने के लिए हमेशा "योग = -b/a" और "गुणनफल = c/a" का प्रयोग करें। / Factor the quadratic: \(x^2-3x-40=(x-8)(x+5)\). Thus the roots are \(x=8\) and \(x=-5\). Verify by sum and product: sum \(8+(-5)=3\) equals \(-b/a=-(-3)/1=3\), and product \(8\times(-5)=-40\) equals \(c/a=-40\). The closest distractor \((5,-8)\) has the correct product but wrong sum (\(-3\) instead of \(+3\)), so it is incorrect. Exam tip: use sum = \(-b/a\) and product = \(c/a\) to check root choices quickly.
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-8) रखने पर \(x^2+8x+15=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-8) gives (x^2+8x+15=0).\)
\(मोनिक समीकरण (x^2-(\)योग)x+गुणनफल=0) होता है। योग (-6) रखने पर \(x^2+6x+8=0\) मिलता है। \(/ A monic equation is (x^2-(\)sum)x+product\(=0). Substituting sum (-6) gives (x^2+6x+8=0).\)
मानक मोनिक द्विघात समीकरण में यदि मूलों का योग S और गुणनफल P हो तो समीकरण होता है \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ S=5 और P=6 है, इसलिए समीकरण \(x^2-5x+6=0\) सही है। निकटवर्ती भ्रामक विकल्पों की जाँच: विकल्प B में गुणनफल 6 है पर योग \(-5\) है (गलत), विकल्प C और D में गुणनफल 5 है (गलत)। परीक्षा सुझाव: सामान्य नियम याद रखें — यदि समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) हो तो मूलों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। / For a monic quadratic with root-sum S and product P the equation is \(x^2-Sx+P=0\). With S=5 and P=6 this gives \(x^2-5x+6=0\), so option A is correct. Check distractors: B has product 6 but sum \(-5\), while C and D have product 5, not 6. Exam tip: remember for \(ax^2+bx+c=0\) the sum of roots = \(-b/a)\) and product = \(c/a)\).
A. \(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\)/\(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
\(9+\sqrt{7}\) और \(9-\sqrt{7}\) का योग (18) और गुणनफल (81-7=74) है। परीक्षा में विकल्पों का योग और गुणनफल दोनों जांचें। / The sum of \(9+\sqrt{7}\) and \(9-\sqrt{7}\) is (18), and the product is (81-7=74). In exams check both sum and product of options.
यदि शून्यकों का सम \(S=\alpha+\beta\) और गुणनफल \(P=\alpha\beta\) दिया हो तो संबंधित द्विघात समीकरण होगा \(x^2-Sx+P=0\)। यहाँ यह बनता है \(x^2-10x+21=0\)। व्युत्पन्नक (discriminant) \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=100-84=16\)। अतः शून्यक \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\) से प्राप्त होते हैं, अर्थात् 7 और 3। विकल्प B निकटतम भ्रामक है क्योंकि \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), जो 21 नहीं है। परीक्षा–टिप: दिए गए सम और गुणनफल से सीधा \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) बनाकर डिस्क्रिमिनेंट से जड़ें निकालें। / For roots with sum \(S=\alpha+\beta\) and product \(P=\alpha\beta\), the quadratic is \(x^2-Sx+P=0\). Here we get \(x^2-10x+21=0\). The discriminant is \(\Delta=10^2-4\cdot1\cdot21=16\). Thus the roots are \(x=\dfrac{10\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{10\pm4}{2}\), giving 7 and 3. Option B is a tempting irrational pair but wrong since \((5+\sqrt{5})(5-\sqrt{5})=25-5=20\), not 21. Exam tip: form \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})=0\) and use \(\Delta\) to find roots quickly.
योग (12) और गुणनफल (36-5=31) है। परीक्षा में संयुग्मी जोड़े का योग और गुणनफल अलग निकालें। / The sum is (12) and the product is (36-5=31). In exams find the sum and product of conjugate pairs separately.
योग (10) और गुणनफल (25-6=19) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों के लिए योग और गुणनफल जल्दी निकालें। / The sum is (10) and the product is (25-6=19). In exams quickly find sum and product for conjugate zeroes.
योग \(4\sqrt{3}\) और गुणनफल (\(2\sqrt{3}\)2-1=11) है। (S) योग और (P) गुणनफल के बराबर है। / The sum is \(4\sqrt{3}\) and the product is (\(2\sqrt{3}\)2-1=11). (S) equals the sum and (P) equals the product.
A. योग \(6\sqrt{2}\), गुणनफल (17)/Sum \(6\sqrt{2}\), product (17)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में योग (-b) और गुणनफल (c) होता है। इसलिए योग \(6\sqrt{2}\) और गुणनफल (17) है। / In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Therefore the sum is \(6\sqrt{2}\) and the product is (17).
किसी द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) के शून्यकों का योग \(-b/a\) और गुणनफल \(c/a\) होता है। यहाँ \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\)। अतः शून्यकों का योग \(3+\sqrt{2}\) और गुणनफल \(3\sqrt{2}\) आता है। यह योग और गुणनफल केवल शून्यकों 3 और \(\sqrt{2}\) के साथ मेल खाते हैं, इसलिए शून्यक \(3\) तथा \(\sqrt{2}\) होंगे। निकटतम भ्रमित विकल्प \((3+\sqrt{2},0)\) गलत है क्योंकि उसका गुणनफल 0 होगा, जो \(3\sqrt{2}\) से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: तुरंत योग और गुणनफल निकालकर संभावित युग्मों की जाँच करें या सीधे \((x-3)(x-\sqrt{2})\) के रूप में फैक्टर करके सत्यापित करें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\), the sum of roots is \(-b/a\) and the product is \(c/a\). Here \(a=1,\; b=-(3+\sqrt{2}),\; c=3\sqrt{2}\). So sum = \(3+\sqrt{2}\) and product = \(3\sqrt{2}\). These match the pair 3 and \(\sqrt{2}\), hence the zeros are 3 and \(\sqrt{2}\). The closest distractor \((3+\sqrt{2},0)\) is wrong because its product would be 0, not \(3\sqrt{2}\). Exam tip: verify roots quickly by checking sum and product or by factoring to \((x-3)(x-\sqrt{2})\).
(\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=32-4(-2)=17)। यह तरीका शून्यक निकाले बिना उत्तर देता है। / (\(\alpha-\beta\)2=\(\alpha+\beta\)2-4\alpha\beta=32-4(-2)=17). This method gives the answer without finding the zeroes.
\(\alpha+\beta=2\) और \(\alpha\beta=-4\), इसलिए (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12)। शून्यक निकाले बिना सममित मान निकाल सकते हैं। / \(\alpha+\beta=2\) and \(\alpha\beta=-4\), so (\alpha-2+\beta-2=22-2(-4)=12). Symmetric values can be found without finding the zeroes.
दो अनमिश्रित परस्पर योगिका शून्यकों के लिए योग और गुणनफल सरल हैं: शून्यकों का योग \( (7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\) और गुणनफल \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=7^2-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). सामान्य रूप \(x^2+px+q\) में शून्यकों का योग \(-p\) और गुणनफल \(q\) होता है। अतः \(p=-14\) और \(q=37\), इसलिए \(p+q=37-14=23\)। नज़दीकी विचलन: विकल्प (37) केवल गुणनफल \(q\) है, पर प्रश्न \(p+q\) पूछ रहा है। विकल्प (49) तब गलत होगा जब \((2\sqrt{3})^2\) घटाना भूल जाएँ। परीक्षा-सूत्र: मोनिक द्विघात के लिए शून्यकों का योग = \(-p\), गुणनफल = \(q\); तेजी से \(p+q=q-\text{(sum of roots)}\) लिखें। / For conjugate irrational roots the sum and product are easy: sum = \((7+2\sqrt{3})+(7-2\sqrt{3})=14\), product = \((7+2\sqrt{3})(7-2\sqrt{3})=49-(2\sqrt{3})^2=49-12=37\). For the monic quadratic \(x^2+px+q\), sum of roots = \(-p\) and product = \(q\). Hence \(p=-14\), \(q=37\) and \(p+q=37-14=23\). Closest distractor explanation: 37 is just the product \(q\), not \(p+q\); 49 would be wrong if one forgets to subtract \((2\sqrt{3})^2\). Exam tip: For a monic quadratic use sum = \(-p\), product = \(q\); compute \(p+q\) as \(q-\text{(sum of roots)}\) for speed.
A. \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\)/\(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) और गुणनफल \(\sqrt{35}\) है। ये दोनों \(\sqrt{5}\) और \(\sqrt{7}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{5}+\sqrt{7}\) and the product is \(\sqrt{35}\). Both match \(\sqrt{5}\) and \(\sqrt{7}\).
A. गुणनफल (5), योग \(2\sqrt{6}\)/Product (5), sum \(2\sqrt{6}\)
Explanation
Simple Explanation
एकक द्विघात में योग (-b) और गुणनफल (c) होता है। यहाँ योग \(2\sqrt{6}\) और गुणनफल (5) है। / In a monic quadratic, the sum is (-b) and the product is (c). Here the sum is \(2\sqrt{6}\) and the product is (5).
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) है। ये \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। / The sum is \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{6}\). These match \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\).
शून्यकों का योग \(1+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{3}\) है। (1) और \(\sqrt{3}\) दोनों शर्तें पूरी करते हैं। / The sum of zeroes is \(1+\sqrt{3}\) and the product is \(\sqrt{3}\). The numbers (1) and \(\sqrt{3}\) satisfy both conditions.
(\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) और (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5) है। विपरीत अपरिमेयों का योग शून्य हो सकता है। / (\sqrt{5}+\(-\sqrt{5}\)=0) and (\sqrt{5}\cdot\(-\sqrt{5}\)=-5). Opposite irrationals can have zero sum.
A. \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{3}\)/\(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{3}\)
Explanation
Simple Explanation
योग \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) और गुणनफल \(\sqrt{6}\) विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) से मिलते हैं। इसलिए वही शून्यक हैं। / The sum \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) and product \(\sqrt{6}\) match the option \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\). Hence those are the zeroes.
मानक रूप में किसी एकवर्ती (monic) द्विघात का रूप \(x^2-Sx+P\) होता है जहाँ \(S\) शून्यकों का योग और \(P\) उनका गुणनफल होता है। यहाँ \(S=5\sqrt{2}\) और \(P=12\) हैं, अतः बहुपद \(x^2-5\sqrt{2}x+12\) होगा। विकल्प B में अलग साइन \(+5\sqrt{2}\) होने से उस बहुपद के शून्यकों का योग \(-5\sqrt{2}\) होगा — इसलिए गलत। विकल्प C और D दोनों में दी गई संख्याएँ (योग या गुणनफल) दी गई शर्तों से मेल नहीं खातीं; इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा-सुझाव: मोनिक द्विघात के लिए सीधे \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) का प्रयोग करें और चिन्हों (signs) का ध्यान रखें। / For a monic quadratic the relation is \(x^2-Sx+P\), where \(S\) is the sum of the roots and \(P\) their product. With \(S=5\sqrt{2}\) and \(P=12\) the polynomial is \(x^2-5\sqrt{2}x+12\). Option B has the wrong sign on the linear term; for \(x^2+5\sqrt{2}x+12\) the sum of roots would be \(-5\sqrt{2}\), not \(+5\sqrt{2}\). Options C and D do not match the given sum and product either. Exam tip: Use \(x^2-(\text{sum})x+(\text{product})\) for monic quadratics and double-check signs of coefficients.
\(मानक बहुपद (x^2-(\)योग)x+गुणनफल) होता है। इसलिए उत्तर \(x^2-2\sqrt{5}x+4\) है। \(/ A monic polynomial is (x^2-(\)sum)x+product\(). So the answer is (x^2-2\sqrt{5}x+4).\)
