Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(n=1,2,3,4\) रखने पर \(a_n=4n^2-1\) से क्रमशः \(3,15,35,63\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(4n^2-1\) है। \(a_n=3n^2\) से पहला पद 3 तो मिलता है, लेकिन दूसरा पद 12 होगा, 15 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद जाँचने के लिए कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए \(n\) के मान रखें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=4n^2-1\) gives \(3,15,35,63\), respectively. Hence, the correct general term is \(4n^2-1\). Although \(a_n=3n^2\) gives the first term as 3, its second term is 12, not 15. Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three values of \(n\).
(n=1,2,3,4) रखने पर (0,1,3,6) मिलते हैं। परीक्षा में त्रिभुज संख्या जैसे विकल्पों को छोटे (n) से जाँचें। / Putting (n=1,2,3,4) gives (0,1,3,6). In exams, test triangular-number-like options with small (n).
दिया है \(a_n=\frac{n(n-1)}{2}\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=\frac{5(5-1)}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 10 है। 15 तब मिलता यदि \(\frac{n(n+1)}{2}\) वाला सूत्र प्रयोग किया जाता, जो यहाँ दिया नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में मान ज्ञात करने के लिए पहले दिए गए उपसूचक का मान \(n\) के स्थान पर रखें। / Given \(a_n=\frac{n(n-1)}{2}\), substitute \(n=5\): \(a_5=\frac{5(5-1)}{2}=\frac{5\times4}{2}=10\). Hence, 10 is the correct option. The value 15 would result from using \(\frac{n(n+1)}{2}\), which is not the given rule. Exam tip: to find a particular term from a general rule, first substitute its subscript for \(n\).
पहला पद (8) और अंतर (7) है, इसलिए \(a_n=7n+1\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (8) and the difference is (7), so \(a_n=7n+1\). In exams, find the constant part from the first term.
(n=1) पर (16) और (n=2) पर (12) मिलता है, इसलिए \(a_n=20-4n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में पहला पद मिलाकर नियम जाँचें। / At (n=1) it gives (16), and at (n=2) it gives (12), so \(a_n=20-4n\). In exams, check the rule with the first term in a decreasing sequence.
दिया है कि \(a_n=20-4n\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=20-4(4)=20-16=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। विकल्प 8 तब मिलता यदि \(4n\) के स्थान पर केवल 12 घटा दिया जाए, जो गलत है। परीक्षा टिप: किसी भी स्पष्ट नियम में पद संख्या के स्थान पर \(n\) का मान सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(a_n=20-4n\). To find the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=20-4(4)=20-16=4\). Therefore, 4 is the correct answer. Option 8 could result from incorrectly subtracting 12 instead of calculating \(4\times4\). Exam tip: In an explicit rule, substitute the term number carefully for \(n\).
\(a_n=n^3+1\) में \(n=1,2,3,4\) रखने पर क्रमशः \(2,9,28,65\) प्राप्त होते हैं। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A में तीसरा पद \(10\) आएगा, जबकि दिए गए अनुक्रम का तीसरा पद \(28\) है। परीक्षा में सामान्य पद की जाँच के लिए कम-से-कम पहले तीन पद रखकर मिलान करें। / For \(a_n=n^3+1\), substituting \(n=1,2,3,4\) gives \(2,9,28,65\), respectively. Hence, option B is correct. In option A, the third term would be \(10\), not \(28\). Exam tip: verify a proposed general term by checking at least the first three values of \(n\).
यहाँ सामान्य पद में n के स्थान पर 2 रखें: \(a_2=2^3+1=8+1=9\)। इसलिए सही उत्तर 9 है। विकल्प 8 केवल \(2^3\) का मान है; उसमें दिया गया \(+1\) नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम का पद निकालते समय पहले n का मान रखें, फिर गणना के क्रम का ध्यान रखें। / Substitute 2 for n in the general term: \(a_2=2^3+1=8+1=9\). Therefore, the correct answer is 9. Option 8 is only the value of \(2^3\); it misses the given \(+1\). Exam tip: while finding a term of a sequence, substitute the value of n first and then follow the order of operations.
ये पूर्ण घन हैं, इसलिए \(a_n=n^3\) है। परीक्षा में (1,8,27,64) को घन संख्याओं के रूप में पहचानें। / These are perfect cubes, so \(a_n=n^3\). In exams, recognize (1,8,27,64) as cube numbers.
दिया है कि \(a_n=n^3\)। तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=3^3=3\times3\times3=27\) मिलता है। विकल्प 9, \(3^2\) का मान है, इसलिए वह घन के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: किसी स्पष्ट नियम में पद संख्या को \(n\) के स्थान पर रखकर सीधे मान निकालें। / Given \(a_n=n^3\). For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=3^3=3\times3\times3=27\). Option 9 is \(3^2\), so it would result from squaring rather than cubing. Exam tip: in an explicit rule, substitute the term number directly for \(n\).
इसका नियम \(a_n=2n-3\) है और (2n-3=15) से (n=9) है। परीक्षा में पहले सामान्य पद बनाकर पद संख्या निकालें। / Its rule is \(a_n=2n-3\), and (2n-3=15) gives (n=9). In exams, form the general term first to find the term number.
(2n-3=15) से (n=9) मिलता है। परीक्षा में पद संख्या पूछी जाए तो सूत्र को दिए मान के बराबर रखें। / From (2n-3=15), we get (n=9). In exams, equate the formula to the given value when term number is asked.
हर पद \(\frac{3}{2}\) का अगला गुणज है। परीक्षा में भिन्न गुणजों को (kn) के रूप में लिखें। / Each term is the next multiple of \(\frac{3}{2}\). In exams, write fractional multiples as (kn).
दिया है \(a_n=\frac{3n}{2}\)। चौथा पद ज्ञात करने के लिए \(n=4\) रखें: \(a_4=\frac{3\times4}{2}=\frac{12}{2}=6\)। इसलिए सही उत्तर 6 है। 5 प्राप्त हो सकता है यदि सूत्र में \(n\) के स्थान पर गलत मान रखा जाए। परीक्षा टिप: किसी विशेष पद के लिए सामान्य पद के सूत्र में उसी पद की संख्या रखें। / Given \(a_n=\frac{3n}{2}\). To find the fourth term, substitute \(n=4\): \(a_4=\frac{3\times4}{2}=\frac{12}{2}=6\). Therefore, the correct answer is 6. A value such as 5 may result from substituting an incorrect value of \(n\). Exam tip: to find a particular term, substitute its term number in the general-term formula.
यदि \(n=1,2,3,4\) रखें, तो \(a_n=3n^2\) से क्रमशः \(3,12,27,48\) प्राप्त होते हैं। अतः सही सामान्य पद \(a_n=3n^2\) है। \(a_n=3n\) केवल \(3,6,9,12\) देता है, इसलिए यह निकट दिखने पर भी सही नहीं है। परीक्षा टिप: सामान्य पद को कम-से-कम पहले तीन पदों के लिए रखकर जाँचें। / Substituting \(n=1,2,3,4\) in \(a_n=3n^2\) gives \(3,12,27,48\), respectively. Therefore, the correct general term is \(a_n=3n^2\). Although \(a_n=3n\) looks related, it gives \(3,6,9,12\), so it is not correct. Exam tip: verify a proposed general term using at least the first three terms.
A. समान्तर श्रेणी, जिसका सार्वांतर 4 है/An arithmetic progression with common difference 4
Explanation
Simple Explanation
सही उत्तर समान्तर श्रेणी है, क्योंकि \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+7]-(4n+7)=4\) स्थिर है। गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात स्थिर होता है, अंतर नहीं। परीक्षा में \(n\) का गुणांक सार्वांतर बताता है। / It is an arithmetic progression because \(a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+7]-(4n+7)=4\), a constant difference. A geometric progression needs a constant ratio, not a difference. Exam tip: in \(a_n=dn+c\), \(d\) is the common difference.
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=5^n\)। इसलिए \(n=2\) रखने पर \(a_2=5^2=25\) प्राप्त होता है। \(10\) निकटतम भ्रामक विकल्प हो सकता है, लेकिन वह \(5\) का वर्ग नहीं है। परीक्षा टिप: किसी सामान्य पद में दिया गया सूचकांक सीधे \(n\) के स्थान पर रखकर मान ज्ञात करें। / The general term is \(a_n=5^n\). Substituting \(n=2\) gives \(a_2=5^2=25\). The nearby distractor \(10\) is incorrect because it is not the square of \(5\). Exam tip: To find a particular term from a general rule, substitute the term number for \(n\).
(n=1) पर (11) और (n=2) पर (8) मिलता है, इसलिए \(a_n=14-3n\) है। परीक्षा में घटते अंतर को ऋणात्मक समझें। / At (n=1) it gives (11), and at (n=2) it gives (8), so \(a_n=14-3n\). In exams, treat a decreasing difference as negative.
दिया गया नियम है कि \(a_n=14-3n\)। \(n=3\) रखने पर \(a_3=14-3(3)=14-9=5\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 5 है। 7 प्राप्त करना 14 में से केवल 3 घटाने की गलती होगी। परीक्षा टिप: किसी पद का मान निकालते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखें, फिर गुणा और घटाव करें। / Using the rule \(a_n=14-3n\), substitute \(n=3\): \(a_3=14-3(3)=14-9=5\). Therefore, 5 is correct. Getting 7 would result from subtracting only 3 from 14 instead of calculating \(3\times3\). Exam tip: substitute the term number first, then perform multiplication before subtraction.
दिया है \(a_n=n^2+3\)। पाँचवाँ पद ज्ञात करने के लिए \(n=5\) रखें: \(a_5=5^2+3=25+3=28\)। अतः सही उत्तर \(28\) है। \(25\) केवल \(5^2\) का मान है; उसमें \(+3\) जोड़ना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पद-संख्या रखने के बाद घात का मान पहले निकालें। / Given \(a_n=n^2+3\), substitute \(n=5\) to find the fifth term: \(a_5=5^2+3=25+3=28\). Therefore, the correct answer is \(28\). \(25\) is only the value of \(5^2\); the \(+3\) must also be added. Exam tip: Substitute the term number first, then evaluate the exponent before completing the calculation.
पहला पद (3) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n-2\) है। परीक्षा में अंतर को (n) का गुणांक मानें। / The first term is (3) and the difference is (5), so \(a_n=5n-2\). In exams, take the difference as the coefficient of (n).
हर पद (11) का गुणज है, इसलिए \(a_n=11n\) सही है। परीक्षा में समान गुणजों को सीधे पहचानें। / Each term is a multiple of (11), so \(a_n=11n\) is correct. In exams, identify equal multiples directly.
हर पद (4) का गुणज है, इसलिए \(a_n=4n\) है। परीक्षा में गुणज वाले अनुक्रमों को (kn) से जाँचें। / Each term is a multiple of (4), so \(a_n=4n\). In exams, check multiple-based sequences using (kn).
पहला पद (20) और अंतर (-3) है, इसलिए \(a_n=23-3n\) है। परीक्षा में घटते अनुक्रम में अंतर को ऋणात्मक मानें। / The first term is (20) and the difference is (-3), so \(a_n=23-3n\). In exams, treat the common difference as negative in decreasing sequences.
दिया है कि \(a_n=2^n-1\)। \(n=4\) रखने पर \(a_4=2^4-1=16-1=15\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 15 है। 16 निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि वह \(2^4\) है; उसमें से 1 घटाना आवश्यक है। परीक्षा टिप: सामान्य पद में पहले \(n\) का मान रखें, फिर गणना के क्रम का पालन करें। / Given \(a_n=2^n-1\), substitute \(n=4\): \(a_4=2^4-1=16-1=15\). Therefore, 15 is the correct option. The closest distractor, 16, is only the value of \(2^4\); the subtraction of 1 must still be done. Exam tip: substitute the term number first, then follow the order of operations.
ये पद (4) गुना वर्ग संख्याएँ हैं, इसलिए \(a_n=4n^2\) है। परीक्षा में (n=1,2,3) रखकर मिलान करें। / These terms are (4) times square numbers, so \(a_n=4n^2\). In exams, substitute (n=1,2,3) to match.
दिया है, \(a_n=100-5n\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=100-5(6)=100-30=70\) मिलता है। इसलिए सही विकल्प 70 है। 65 तब आ सकता है जब 5 को केवल एक बार घटा दिया जाए, पर यहाँ \(5\times6\) घटाना है। परीक्षा टिप: किसी पद का मान ज्ञात करने के लिए सूत्र में \(n\) का मान सीधे रखकर गुणा पहले करें। / Given \(a_n=100-5n\), substitute \(n=6\): \(a_6=100-5(6)=100-30=70\). Therefore, 70 is the correct option. The value 65 may result from subtracting 5 only once, but here \(5\times6\) must be subtracted. Exam tip: To find a term from an explicit rule, substitute the given value of \(n\) and perform multiplication first.
यह त्रिभुज संख्याओं का अनुक्रम है। परीक्षा में (1,3,6,10) देखकर (\frac{n(n+1)}{2}) जाँचें। / This is the sequence of triangular numbers. In exams, check (\frac{n(n+1)}{2}) when you see (1,3,6,10).
पहला पद (9) और अंतर (5) है, इसलिए \(a_n=5n+4\) है। परीक्षा में पहले पद से स्थिर भाग निकालें। / The first term is (9) and the difference is (5), so \(a_n=5n+4\). In exams, find the constant part from the first term.
विकल्प A में \(a_n\) केवल n के रूप में लिखा है, इसलिए कोई भी पद सीधे निकाला जा सकता है। B, C और D में पिछले पद की आवश्यकता होती है, अतः वे पुनरावर्ती नियम हैं। परीक्षा टिप: “सीधे n से” दिखे तो explicit rule चुनें। / In option A, \(a_n\) is written only in terms of n, so any term can be found directly. B, C and D require a previous term, so they are recursive rules. Exam tip: a rule involving only n is an explicit rule.
