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मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{15}{8}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{15}{8}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{10}\) है, इसलिए \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) से (p=4) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{10}\), so \(\frac{p}{10}=\frac{2}{5}\) gives (p=4). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
दूसरा मूल (15) है, इसलिए \(q=10\times15=150\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (15), so \(q=10\times15=150\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{12}{7}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{12}{7}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{9}\) है, इसलिए \(\frac{p}{9}=\frac{1}{3}\) से (p=3) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{9}\), so \(\frac{p}{9}=\frac{1}{3}\) gives (p=3). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
दूसरा मूल (14) है, इसलिए \(q=9\times14=126\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (14), so \(q=9\times14=126\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{6}{5}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{6}{5}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{7}\) है, इसलिए \(\frac{p}{7}=\frac{2}{7}\) से (p=2) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{7}\), so \(\frac{p}{7}=\frac{2}{7}\) gives (p=2). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
दूसरा मूल (13) है, इसलिए \(q=8\times13=104\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो स्थिर पद मूलों का गुणनफल होता है। / The other root is (13), so \(q=8\times13=104\). In exams, when (a=1), the constant term is the product of roots.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{3}{4}\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{6}\) है, इसलिए \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) से (p=3) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{6}\), so \(\frac{p}{6}=\frac{1}{2}\) gives (p=3). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
दूसरा मूल (9) है, इसलिए \(q=6\times9=54\) होगा। परीक्षा में (a=1) हो तो (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है। / The other root is (9), so \(q=6\times9=54\). In exams, when (a=1), (c) equals the product of roots.
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{5}\) है, इसलिए \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) से (p=2) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{5}\), so \(\frac{p}{5}=\frac{2}{5}\) gives (p=2). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
दूसरा मूल (5) है, इसलिए \(q=4\times5=20\) होगा। परीक्षा में (c) मूलों के गुणनफल के बराबर होता है जब (a=1)। / The other root is (5), so \(q=4\times5=20\). In exams, (c) equals the product of roots when (a=1).
मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\) है। परीक्षा में गुणनफल के लिए \(\frac{c}{a}\) का प्रयोग करें। / The product of roots is \(\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2\). In exams, use \(\frac{c}{a}\) for the product.
मूलों का गुणनफल \(\frac{p}{4}\) है, इसलिए \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) से (p=6) है। परीक्षा में गुणनफल का सूत्र \(\frac{c}{a}\) लगाएं। / The product of roots is \(\frac{p}{4}\), so \(\frac{p}{4}=\frac{3}{2}\) gives (p=6). In exams, use the product formula \(\frac{c}{a}\).
मूल 2 होने पर समीकरण में \(x=2\) रखने से \(2^2-5(2)+q=0\), अर्थात \(4-10+q=0\), इसलिए \(q=6\)। वैकल्पिक रूप से, मूलों का योग 5 है, अतः दूसरा मूल 3 और मूलों का गुणनफल \(q=2\times3=6\) होगा। परीक्षा में \(x^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(c\) याद रखें; 10 मूलों के योग से संबंधित है, इसलिए सही नहीं है। / Since 2 is a root, substitute \(x=2\) in the equation: \(2^2-5(2)+q=0\), giving \(4-10+q=0\) and hence \(q=6\). Alternatively, the sum of the roots is 5, so the other root is 3 and their product is \(q=2\times3=6\). Exam tip: for \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(c\); 10 is related to neither the required constant term nor the correct substitution result.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) की जड़ों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=4\) और \(c=h\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(\frac{h}{4}\) है। यदि एक जड़ \(\frac{1}{4}\) है, तो दूसरी जड़ \(\frac{h/4}{1/4}=h\) होगी। विकल्प B केवल जड़ों के गुणनफल को दर्शाता है, दूसरी जड़ को नहीं। परीक्षा-युक्ति: दूसरी जड़ ज्ञात करने के लिए जड़ों के गुणनफल को दी गई जड़ से भाग दें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=4\) and \(c=h\), so the product of the roots is \(\frac{h}{4}\). If one root is \(\frac{1}{4}\), the other root is \(\frac{h/4}{1/4}=h\). Option B is only the product of the roots, not the other root. Exam tip: Divide the product of the roots by the given root to find the second root.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-16\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-16\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-16=0\), अर्थात \(a^2=16\), जिससे \(a=4\) या \(a=-4\)। अतः विकल्प A सही है। परीक्षा में जड़ों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-B/A\) और \(C/A\) अवश्य जाँचें। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-16\), so the product of the roots is \(a^2-16\). Setting it equal to zero gives \(a^2-16=0\), or \(a^2=16\), hence \(a=4\) or \(a=-4\). Therefore, option A is correct. In exams, remember that the sum and product of roots are \(-B/A\) and \(C/A\), respectively.
वियत के सूत्र के अनुसार, \(Ax^2+Bx+C=0\) की जड़ों का गुणनफल \(C/A\) होता है। यहाँ \(A=1\) और \(C=a^2-1\), इसलिए जड़ों का गुणनफल \(a^2-1\) है। इसे शून्य रखने पर \(a^2-1=0\), अर्थात \(a^2=1\), जिससे \(a=1\) या \(a=-1\) प्राप्त होता है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-युक्ति: जड़ों के योग या गुणनफल से जुड़े प्रश्नों में वियत के सूत्र का सीधे प्रयोग करें; केवल एक मान चुनने से पहले समीकरण के दोनों हलों को अवश्य जाँचें। / By Vieta’s formula, the product of the roots of \(Ax^2+Bx+C=0\) is \(C/A\). Here, \(A=1\) and \(C=a^2-1\), so the product of the roots is \(a^2-1\). Setting it equal to zero gives \(a^2-1=0\), or \(a^2=1\), hence \(a=1\) or \(a=-1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: Use Vieta’s formulas directly when a question asks for the sum or product of roots, and remember to consider both values obtained after solving the parameter equation.
व्युत्क्रम जड़ों के लिए गुणनफल (1) होता है और यहाँ गुणनफल (k) है। इसलिए (k=1); परीक्षा में पहले गुणनफल देखें। / For reciprocal roots, the product is (1), and here the product is (k). Hence (k=1); in exams, check the product first.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=12\), इसलिए \(\alpha\beta=12\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\)। विकल्प 12 केवल \(\alpha\beta\) का मान है, माँगा गया उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए क्रमशः \(-\frac{b}{a}\) और \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=12\), so \(\alpha\beta=12\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=12^2=144\). Option 12 is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Remember that the sum and product of the roots are \(-\frac{b}{a}\) and \(\frac{c}{a}\), respectively.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=5\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{5}\) है। अतः \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\)। विकल्प \(12\) में ऋणात्मक चिन्ह छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग \(-\frac{b}{a}\) और गुणनफल \(\frac{c}{a}\) याद रखें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of its roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=5\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{5}\). Therefore, \(\frac{q}{5}=3\times(-4)=-12\). The distractor \(12\) results from missing the negative sign. Exam tip: remember that the sum of roots is \(-\frac{b}{a}\), while their product is \(\frac{c}{a}\).
समीकरण के मूल 8 और -2 हैं, क्योंकि \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\)। प्रत्येक मूल में 2 घटाने पर नए मूल 6 और -4 मिलते हैं, अतः उनका गुणनफल \(6\times(-4)=-24\) है। ध्यान रखें कि दोनों मूलों में परिवर्तन करना है; केवल एक मूल में 2 घटाने से सही उत्तर नहीं मिलेगा। / The roots of the equation are 8 and -2, since \(x^2-6x-16=(x-8)(x+2)\). After subtracting 2 from each root, the new roots are 6 and -4, whose product is \(6\times(-4)=-24\). Remember that the transformation must be applied to both roots; changing only one root gives an incorrect result.
द्विघात समीकरण \(Ax^2+Bx+C=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{C}{A}\) होता है। यहाँ मूलों का गुणनफल \(3\times5=15\) और \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\) है। इसलिए \(\frac{15}{a}=15\), जिससे \(a=1\) प्राप्त होता है। विकल्प 15 स्थिर पद है, \(a\) का मान नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों का गुणनफल हमेशा \(\frac{c}{a}\) और योग \(-\frac{b}{a}\) से मिलाएँ। / For a quadratic equation \(Ax^2+Bx+C=0\), the product of its roots is \(\frac{C}{A}\). Here, the product is \(3\times5=15\), while \(\frac{C}{A}=\frac{15}{a}\). Thus, \(\frac{15}{a}=15\), giving \(a=1\). The value 15 is the constant term, not the coefficient \(a\). Exam tip: use \(\frac{c}{a}\) for the product of roots and \(-\frac{b}{a}\) for their sum.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=8\), इसलिए \(\alpha\beta=8\)। अतः \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\)। विकल्प B केवल \(\alpha\beta\) का मान है, उसका वर्ग नहीं। परीक्षा-युक्ति: मूलों के योग और गुणनफल के लिए विएटा के सूत्र सीधे लागू करें। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=\frac{c}{a}\). Here, \(a=1\) and \(c=8\), so \(\alpha\beta=8\). Therefore, \(\alpha^2\beta^2=(\alpha\beta)^2=8^2=64\). Option B is only the value of \(\alpha\beta\), not its square. Exam tip: Apply Vieta’s formula directly for the sum and product of the roots.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के मूलों का गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=3\) और \(c=q\), इसलिए मूलों का गुणनफल \(\frac{q}{3}\) है। दिए गए मूलों का गुणनफल \(2\times(-3)=-6\) है, अतः \(\frac{q}{3}=-6\)। ध्यान रखें कि मूलों का योग \(-\frac{p}{3}\) होता है, जबकि गुणनफल \(\frac{q}{3}\) होता है। / For a quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\frac{c}{a}\). Here, \(a=3\) and \(c=q\), so the product of the roots is \(\frac{q}{3}\). The given product is \(2\times(-3)=-6\); therefore, \(\frac{q}{3}=-6\). Remember that the sum of roots is \(-\frac{p}{3}\), whereas their product is \(\frac{q}{3}\).
दिए गए समीकरण को \((x-6)(x+2)=0\) के रूप में लिखने पर मूल 6 और -2 मिलते हैं। प्रत्येक मूल में से 1 घटाने पर नए मूल 5 और -3 होंगे, इसलिए उनका गुणनफल \(5\times(-3)=-15\) है। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले मूल ज्ञात करके रूपांतरित मूलों का गुणनफल निकालना सबसे सीधा तरीका है। / Factoring the equation as \((x-6)(x+2)=0\) gives the roots 6 and -2. After subtracting 1 from each root, the new roots are 5 and -3, so their product is \(5\times(-3)=-15\). In such questions, finding the original roots first is a direct and reliable method.
द्विघात समीकरण \(x^2+bx+c=0\) में मूलों का गुणनफल \(\alpha\beta=c\) होता है। यहाँ \(c=k\), इसलिए \(k=(-2)(-4)=8\)। विकल्प \(-8\) ऋणात्मक चिह्न की गलती से प्राप्त होता है। परीक्षा-युक्ति: मूलों का योग और गुणनफल क्रमशः \(-b\) और \(c\) से मिलाकर उत्तर जाँचें। / For a quadratic equation \(x^2+bx+c=0\), the product of the roots is \(\alpha\beta=c\). Here, \(c=k\), so \(k=(-2)(-4)=8\). The option \(-8\) results from an incorrect sign in multiplying two negative numbers. Exam tip: Verify the roots using both their sum \((-b)\) and product \(c\).
