Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार \(a_{ij}=j\) का अर्थ है कि प्रत्येक अवयव उसकी स्तंभ-सूची (column index) के बराबर होगा। 2×2 मैट्रिक्स में पहली स्तंभ के सभी अवयव 1 होंगे और दूसरी स्तंभ के सभी अवयव 2 होंगे। इसलिए मैट्रिक्स \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\) बनेगा। विकल्प B गलत है क्योंकि वह \(a_{ij}=i\) (पंक्ति-सूची) जैसा परिणाम देता है, और C तथा D भी किसी भी रूप में स्तंभ-सूची नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: सूचकांक \(i,j\) लिखकर हर स्थान पर सीधे नियम लागू करें — इससे भूल होने की संभावना कम होती है। / By definition \(a_{ij}=j\) means each entry equals its column index. In a 2×2 matrix all entries in column 1 are 1 and all entries in column 2 are 2. Thus \(A=\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}\). Option B would correspond to \(a_{ij}=i\) (row index) and is therefore incorrect; options C and D do not follow the column-index rule either. Exam tip: write down the indices \(i,j\) for each position and substitute the rule to avoid sign/index errors.
\(a_{ij}=i\) में प्रत्येक पंक्ति के सभी अवयव उसी पंक्ति संख्या के बराबर होंगे। पहली पंक्ति में (1) और दूसरी में (2) आएगा। / In \(a_{ij}=i\), all elements in a row equal the row number. The first row has (1) and the second row has (2).
कोर विचार: सूचक (indices) \(a_{ij}\) में \(i\) पंक्ति और \(j\) स्तम्भ दर्शाता है। यहाँ \(a_{31}\) के लिए \(i=3\) और \(j=1\)। दिए गए सूत्र में मान रखकर \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\)। इसलिए सही उत्तर 5 है। निकटस्थ भ्रान्ति: विकल्प B (4) तब आ सकता है जब कोई गलत‑सौरूप से \(j=2\) ले ले या गणना में गलती करे (उदा. \(6-2=4\))। परीक्षा टिप: सूचक लिखते समय पंक्ति‑स्तम्भ के सही क्रम की पुष्टि करें और पहले सूचक फिर सूत्र में प्रतिस्थापित करें। / Core concept: In \(a_{ij}\), \(i\) denotes the row and \(j\) the column. For \(a_{31}\) we have \(i=3\), \(j=1\). Substitute into the formula: \(a_{31}=2(3)-1=6-1=5\). Thus the correct value is 5. Closest distractor: option B (4) may arise if someone mistakenly used \(j=2\) or made an arithmetic slip. Exam tip: always check the order of indices (row, column) and substitute them into the formula before simplifying.
यहाँ सूत्र \(a_{ij}=i+j\) दिया है। \(a_{22}\) में पंक्ति सूचक \(i=2\) और स्तम्भ सूचक \(j=2\) हैं, इसलिए \(a_{22}=2+2=4\)। विकल्प B (3) गलत है — वह तब आएगा जब सूचक गलती से \(i=1,j=2\) मान लिए जाएँ। विकल्प D (5) सरल गणना त्रुटि है। परीक्षा-सुझाव: हमेशा पहले \(i\) और \(j\) के मान स्पष्ट कर लें और फिर सूत्र में रखें। / The rule given is \(a_{ij}=i+j\). For \(a_{22}\), the row index is \(i=2\) and the column index is \(j=2\), so \(a_{22}=2+2=4\). Option B (3) is incorrect — it would result from misreading indices as \(i=1,j=2\). Option D (5) is a simple arithmetic mistake. Exam tip: first identify the values of \(i\) and \(j\) clearly, then substitute into the formula.
दो सममित मैट्रिक्स के बराबर होने पर उनकी समवर्ती प्रविष्टियाँ (corresponding entries) समान होती हैं। यहाँ दोनों मैट्रिस का (1,1) स्थान क्रमशः \(x\) और \(5\) है, अतः \(x=5\)। विकल्प C (4) उलझाने वाला प्रतीत हो सकता है क्योंकि \(4\) दूसरी पंक्ति-दूसरे स्तम्भ में मौजूद है, पर बराबरी के लिये प्रत्येक समवर्ती स्थान की जाँच करनी चाहिए — किसी अन्य स्थान का मान नहीं लिया जा सकता। परीक्षा संकेत: मैट्रिक्स बराबरी में हमेशा समवर्ती अवयवों को ही बराबर मानें; पहले और दूसरे स्थान को न बदलें। / For two equal matrices, their corresponding entries are equal. Here the (1,1) entries are \(x\) and \(5\), so \(x=5\). Option C (4) might mislead since 4 appears in the (2,2) position, but equality demands comparing the same positions, not different ones. Exam tip: always equate entries at the same row and column indices when matrices are equal (compare (i,j) with (i,j)).
C. जब उनका क्रम समान हो और समान स्थानों के अवयव बराबर हों/When their orders are same and corresponding elements are equal
Explanation
Simple Explanation
दो मैट्रिक्स बराबर होने के लिए उनका क्रम समान होना चाहिए। साथ ही हर corresponding अवयव बराबर होना चाहिए। / For two matrices to be equal, their order must be the same. Also, every corresponding element must be equal.
सांकेतिक रूप से \(a_{ij}\) का अर्थ है iवीं पंक्ति और jवें स्तंभ का अवयव। यहाँ \(a_{21}\) का मतलब दूसरी पंक्ति, पहले स्तंभ का अवयव है। दूसरी पंक्ति, पहले स्तंभ में दिया गया अंक 9 है, इसलिए सही उत्तर 9 है। गलत विकल्पों में 6 पहली पंक्ति पहला स्तंभ (\(a_{11}\)) है और 7 पहली पंक्ति दूसरा स्तंभ (\(a_{12}\)) है — इसलिए वे गलत हैं। परीक्षा युक्ति: इंडेक्स पढ़ते समय पहले पंक्ति (row) फिर स्तंभ (column) याद रखें। / By notation \(a_{ij}\) denotes the element in the i-th row and j-th column. Thus \(a_{21}\) refers to the element in row 2, column 1. In the given matrix that entry is 9, so the correct answer is 9. For reference, 6 is \(a_{11}\) (row 1, column 1) and 7 is \(a_{12}\), so those options are incorrect. Exam tip: always read the subscript as (row, column) — i first, j second.
सामान्य रूप से \(a_{ij}\) का अर्थ है iवीं पंक्ति और jवें स्तम्भ का अवयव। अत: \(a_{12}\) का अर्थ पहली पंक्ति और दूसरे स्तम्भ का तत्व है। दी गई मैट्रिक्स में पहली पंक्ति, दूसरा स्तम्भ का मान 2 है। विकल्प A (1) गलत है क्योंकि वह \(a_{11}\) है; विकल्प C (3) और D (4) भी दूसरे पंक्ति के तत्व हैं, इसलिए वे भी गलत हैं। परीक्षा टिप: हमेशा पहले पंक्ति (i) फिर स्तम्भ (j) ढूँढें—\(a_{ij}\) = i‑th row, j‑th column। / By definition \(a_{ij}\) denotes the element in the i-th row and j-th column. So \(a_{12}\) is the element in the first row and second column. In the given matrix that entry is 2. Option A (1) is \(a_{11}\), while C (3) and D (4) are elements of the second row, so they are incorrect. Exam tip: read \(a_{ij}\) as “i-th row, j-th column” and locate row first, then column.
मुख्य विकर्ण पर बराबर अवयव (5) हैं और बाकी अवयव (0) हैं। ऐसी विकर्ण मैट्रिक्स अदिश मैट्रिक्स कहलाती है। / The main diagonal has equal elements (5), and the remaining elements are (0). Such a diagonal matrix is called a scalar matrix.
विकर्ण मैट्रिक्स की परिभाषा: मुख्य विकर्ण के बाहर के सभी अवयव शून्य होते हैं। दिए गए मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के बाहर के अवयव 0 हैं और मुख्य विकर्ण पर 2 तथा 3 हैं; इसलिए यह विकर्ण मैट्रिक्स है। निकटतम भ्रामक विकल्प: इकाई मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 होते हैं — यहाँ वे 1 नहीं हैं। परीक्षा-सुझाव: किसी भी मैट्रिक्स का प्रकार बताने से पहले मुख्य विकर्ण के बाहर के तत्वों को जांचें। / Definition: A diagonal matrix has all off-diagonal entries equal to zero. In the given matrix the off-diagonal entries are 0 and the diagonal entries are 2 and 3, so it is a diagonal matrix. Closest distractor: an identity matrix must have 1s on the diagonal, which this matrix does not. Exam tip: quickly check whether all non-diagonal elements are zero to recognize a diagonal matrix.
C. क्रम \(2\times5\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(2\times5\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा: आयताकार मैट्रिक्स वह होता है जिसकी पंक्तियों (rows) और स्तम्भों (columns) की संख्या भिन्न हो। सामान्य रूप से क्रम \(m\times n\) जहाँ \(m\ne n\) आयताकार होगा। विकल्प C का क्रम \(2\times5\) है और \(2\ne5\), इसलिए यह आयताकार मैट्रिक्स है। विकल्प A, B और D के क्रम \(2\times2\), \(3\times3\) और \(1\times1\) हैं जिनमें पंक्तियाँ और स्तम्भ समान हैं — वे square (वर्गाकार) मैट्रिक्स हैं, इसलिए वे गलत विकल्प हैं। परीक्षा टिप: किसी भी क्रम \(m\times n\) में केवल \(m\) और \(n\) की तुलना कर लें; बराबर हों तो square, नहीं तो rectangular। / Definition: A rectangular matrix has a different number of rows and columns. In general an order \(m\times n\) matrix is rectangular if \(m\ne n\). Option C is of order \(2\times5\) and since \(2\ne5\) it is rectangular. Options A, B and D are of orders \(2\times2\), \(3\times3\) and \(1\times1\) respectively; in each of these the number of rows equals the number of columns, so they are square matrices and not rectangular. Exam tip: To decide quickly, compare the two numbers in the order \(m\times n\); equal ⇒ square, unequal ⇒ rectangular.
C. क्रम \(4\times4\) वाली मैट्रिक्स/Matrix of order \(4\times4\)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग मैट्रिक्स में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है। \(4\times4\) में दोनों संख्या (4) हैं। / In a square matrix, the number of rows and columns is equal. In \(4\times4\), both numbers are (4).
इस मैट्रिक्स के सभी अवयव शून्य (0) हैं। किसी भी आयाम का ऐसा मैट्रिक्स जिसमें सभी प्रविष्टियाँ 0 हों, उसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है — अतः उत्तर B सही है। विकल्प A (इकाई मैट्रिक्स) में मुख्य विकर्ण पर 1 होते हैं, जो यहाँ नहीं हैं। विकल्प C (स्केलर मैट्रिक्स) सामान्य रूप से λI होता है; शून्य मैट्रिक्स λ=0 के लिए स्केलर मैट्रिक्स का विशेष मामला है, पर मानक वर्गीकरण में इसे प्रमुख रूप से शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है। विकल्प D (स्तम्भ मैट्रिक्स) का अर्थ केवल एक स्तम्भ वाला मैट्रिक्स है, जबकि दिया गया मैट्रिक्स 2×2 है। परीक्षा टिप: सबसे पहले सभी तत्व देखें — यदि सभी तत्व 0 हों तो तुरंत शून्य मैट्रिक्स लिखें। / All entries of this matrix are zero, so it is a zero matrix. A matrix whose every entry is 0 is called the zero matrix — therefore B is correct. Identity matrices have 1s on the main diagonal (not true here). A scalar matrix is of the form λI; the zero matrix is the special case with λ=0, but conventionally it is identified as the zero matrix in classification questions. A column matrix has a single column, whereas the given matrix is 2×2. Exam tip: Check the entries first — if every entry is 0, the matrix is the zero matrix immediately.
मुख्य विकर्ण पर सभी अवयव (1) हैं और बाकी (0) हैं। ऐसी मैट्रिक्स को इकाई मैट्रिक्स कहते हैं। / All main diagonal elements are (1) and the remaining elements are (0). Such a matrix is called an identity matrix.
A. दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ का अवयव/Element in (2)nd row and (3)rd column
Explanation
Simple Explanation
\(a_{23}\) में (2) पंक्ति संख्या और (3) स्तंभ संख्या है। इसलिए यह दूसरी पंक्ति तीसरे स्तंभ का अवयव है। / In \(a_{23}\), (2) is the row number and (3) is the column number. So it is the element in the (2)nd row and (3)rd column.
प्रतिचिह्न \(a_{ij}\) में पहला सूचक \(i\) पंक्ति संख्या (row index) को दर्शाता है और दूसरा \(j\) स्तंभ संख्या (column index) को। उदाहरण के लिए \(a_{21}\) मैट्रिक्स का 2री पंक्ति तथा 1ला स्तंभ का अवयव है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A गलत है क्योंकि स्तंभ सूचक \(j\) होता है, विकल्प C गलत है क्योंकि कुल अवयवों की संख्या \(2\times3=6\) होती है पर यह \(i\) का अर्थ नहीं है, और विकल्प D गलत है क्योंकि मैट्रिक्स का नाम यहाँ \(A\) है। परीक्षा-सूत्र: स्मरण रखें कि परंपरागत संकेतन \(a_{ij}\) में पहला इंडेक्स = row, दूसरा = column। / In the notation \(a_{ij}\), the first index \(i\) denotes the row number (row index) and the second index \(j\) denotes the column number (column index). For example \(a_{21}\) is the element in row 2, column 1. Thus option B is correct. Option A is wrong because the column index is \(j\), option C is incorrect because the total number of elements is \(2\times3=6\) which is not what \(i\) denotes, and option D is wrong because the matrix name is \(A\). Exam tip: remember the convention a_{ij} → i = row, j = column (first index = row).
कुल अवयव \(3\times4=12\) होते हैं। अवयवों की संख्या पंक्तियों और स्तंभों के गुणनफल से मिलती है। / The total elements are \(3\times4=12\). The number of elements is found by multiplying rows and columns.
मैट्रिक्स \(C\) का आकार \(1\times3\) है (1 पंक्ति और 3 स्तंभ)। केवल एक पंक्ति वाली मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है, इसलिए उत्तर पंक्ति मैट्रिक्स है। नज़दीकी भ्रांतियाँ: स्तंभ मैट्रिक्स वह होता है जिसकी केवल एक स्तम्भ (जैसे \(3\times1\)) हो — यह यहाँ लागू नहीं होता; विकर्ण और इकाई मैट्रिक्स वर्गाकार (square) होते हैं, जबकि यह \(1\times3\) है। परīk्षा युक्ति: पहले मैट्रिक्स के आयाम (rows × columns) गिनें — यदि rows = 1 तो वह पंक्ति मैट्रिक्स है। / Matrix \(C\) has size \(1\times3\) (one row and three columns). A matrix with only one row is a row matrix, so the correct answer is row matrix. Closest distractor: a column matrix would have one column (e.g. \(3\times1\)), which is not the case here; diagonal and identity matrices must be square, unlike this \(1\times3\) matrix. Exam tip: always check the dimensions (rows × columns); if rows = 1 it's a row matrix.
इस मैट्रिक्स में (2) पंक्तियां और (3) स्तंभ हैं। क्रम हमेशा पंक्ति \(\times\) स्तंभ लिखा जाता है। / This matrix has (2) rows and (3) columns. Order is always written as row \(\times\) column.
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
A. क्योंकि अनुरेख की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of trace is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी आव्यूह का अनुरेख अपने ही अनुरेख के बराबर है। / The trace of a matrix is equal to its own trace.
Step 2
Why this answer is correct
अनुरेख बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में ठीक रहती है। / Equality of trace works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो आव्यूहों के अनुरेख बराबर हों, तो पहले और तीसरे का अनुरेख भी बराबर होगा। / If the traces are equal pairwise through a middle matrix, then the first and third traces are also equal.
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। / The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे। / If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
