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inverse trigonometric functions MCQ Questions for Class 12
inverse trigonometric functions se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
\(\cos^{-1}x\) से प्राप्त कोण को फिर \(\cos\) लेने पर हमें मूल मान \(x\) ही मिलता है, बशर्ते \(x\) का मान डोमेन \([-1,1]\) में हो। ध्यान रखें कि \(\cos^{-1}x\) का प्राथमिक मान \([0,\pi]\) होता है, और उस पर \(\cos\) लगाने पर परिणाम उसी \(x\) के बराबर होता है। विकल्प \(|x|\) सबसे भ्रमित करने वाला है क्योंकि कुछ विद्यार्थी सोचते हैं कि चूँकि आर्ककोस का कोट में कोण गैर-ऋणात्मक होता है इसलिए मान धनात्मक होगा — यह गलत है; नकारात्मक \(x\) के लिए भी \(\cos(\cos^{-1}x)=x\) रहता है। परीक्षा टिप: किसी भी inverse-trig रचना में पहले डोमेन/रेंज याद रखें और तभी संकलन (composition) करें। / The function \(\cos^{-1}x\) (principal value in \([0,\pi]\)) returns an angle whose cosine is \(x\). Applying \(\cos\) to that angle gives back the original \(x\) for every \(x\in[-1,1]\). The option \(|x|\) is a tempting distractor (students may wrongly think the result must be nonnegative), but for negative \(x\) the angle \(\cos^{-1}x\) lies in \((\pi/2,\pi]\) and its cosine is negative, equal to \(x\). Exam tip: always check the domain and principal range of inverse trig functions before simplifying compositions.
\(\sin^{-1}x\) वह कोण है (मुख्य मान) \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) जिसके लिए \(\sin y=x\) होता है। इसलिए \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) जब \(x\in[-1,1]\)। विकल्प "-x" भ्रम पैदा कर सकता है, पर सिद्धांततः \(\sin^{-1}x\) साइन को उलटकर नहीं बदलता, अतः "-x" गलत है। परिक्षा-सूत्र: हमेशा क्षेत्र (domain) \([-1,1]\) और principal value की सीमा \([-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) याद रखें। / By definition, \(\sin^{-1}x\) is the principal angle \(y\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]\) such that \(\sin y=x\). Hence \(\sin(\sin^{-1}x)=x\) for all \(x\in[-1,1]\). The distractor "-x" is incorrect because taking \(\sin^{-1}\) returns the angle whose sine is exactly \(x\), not its negative. Exam tip: always check the domain \([-1,1]\) of \(\sin^{-1}x\) and remember the principal value range of arcsin when composing functions.
\(\tan^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\tan\) मान (x) होता है। इसलिए \(\tan y=x\) है। / The expression \(\tan^{-1}x\) gives the angle whose \(\tan\) value is (x). Hence \(\tan y=x\).
\(\cos^{-1}x\) का अर्थ वह कोण है जिसका \(\cos\) मान (x) है। इसलिए \(\cos y=x\) सही है। / The expression \(\cos^{-1}x\) means the angle whose \(\cos\) value is (x). Hence \(\cos y=x\) is correct.
\(\sin^{-1}x\) वह कोण देता है जिसका \(\sin\) मान (x) हो। इसलिए \(y=\sin^{-1}x\) का अर्थ \(\sin y=x\) है। / The expression \(\sin^{-1}x\) gives the angle whose \(\sin\) value is (x). So \(y=\sin^{-1}x\) means \(\sin y=x\).
(\cosec\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1) होता है। इसलिए मान \(-\frac{\pi}{2}\) है। / Since (\cosec\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1), the value is \(-\frac{\pi}{2}\).
यदि \(\csc y=1\) तो \(\sin y=1\) होता है। \(\sin y=1\) का सामान्य हल \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)) है। inverse cosec (arccosec) का प्रधान मान प्रायः \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\) में लिया जाता है, और इस श्रेणी का एकमात्र समाहित हल \(\frac{\pi}{2}\) है। अतः \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\)। निकट की ग़लत विकल्पों के बारे में: \(0\) पर \(\csc\) परिभाषित नहीं है; \(-\frac{\pi}{2}\) पर \(\csc=-1\) होता है; और \(\pi\) पर \(\sin\pi=0\) होने से \(\csc\) परिभाषित नहीं। परीक्षा टिप: arccosec के प्रधान मान और \(\csc y\) को \(\sin y\) से जोडकर सामान्य हल याद रखें। / If \(\csc y=1\) then \(\sin y=1\). The general solution of \(\sin y=1\) is \(y=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)). The principal value for \(cosec^{-1}x\) is usually taken in \([ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\setminus\{0\}\), and the only solution in this interval is \(\frac{\pi}{2}\). Therefore \(cosec^{-1}1=\frac{\pi}{2}\). About distractors: \(0\) is not allowed (\(\csc\) undefined), \(-\frac{\pi}{2}\) gives \(\csc=-1\), and at \(\pi\) \(\sin\pi=0\) so \(\csc\) is undefined. Exam tip: convert \(\csc y=\) value to \(\sin y=\) value and then pick the principal value from the defined range.
परिभाषा और रेंज: आमतौर पर \(\sec^{-1}x\) (arcsec) की प्रमुख माननी रेंज \([0,\pi]\), पर \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\) ली जाती है।\nकारण: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\)। \(\cos\pi=-1\) होने से \(\sec\pi= -1\)। अतः प्रमुख मान के अनुसार \(\sec^{-1}(-1)=\pi\)।\nक्यों अन्य विकल्प गलत हैं: \(0\) पर \(\sec0=1\) (इसलिए गलत)। \(\tfrac{\pi}{2}\) पर \(\sec\) परिभाषित नहीं है (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\))। \(-\pi\) पर भी \(\sec(-\pi)=-1\) होता है पर \(-\pi\) प्रमुख रेंज \([0,\pi]\) में नहीं आता, इसलिए arcsec का मान \(-\pi\) नहीं माना जाता।\nइम्तिहानी सुझाव: इन्वर्स त्रिकोणमितीय फलनों में हमेशा फंक्शन की प्रमुख रेंज याद रखें और उस रेंज के भीतर कोण चुनें। / Definition and range: The principal value of \(\sec^{-1}x\) (arcsec) is usually taken as \([0,\pi]\) with \(y\neq\tfrac{\pi}{2}\).\nReason: \(\sec\theta=1/\cos\theta\). Since \(\cos\pi=-1\), we have \(\sec\pi=-1\). Therefore the principal value \(\sec^{-1}(-1)=\pi\).\nWhy other options fail: At \(0\), \(\sec0=1\). \(\tfrac{\pi}{2}\) is not allowed because \(\sec\) is undefined there (\(\cos\tfrac{\pi}{2}=0\)). Although \(\sec(-\pi)=-1\) algebraically, \(-\pi\) is not in the principal range, so it is not the inverse's value.\nExam tip: Always check the principal-value range for inverse trig functions before selecting the angle.
\(\cot\frac{\pi}{2}=0\) और \(\frac{\pi}{2}\) परिसर (\left\(0,\pi\right\)) में है। इसलिए मान \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\cot\frac{\pi}{2}=0\) and \(\frac{\pi}{2}\) lies in (\left\(0,\pi\right\)), the value is \(\frac{\pi}{2}\).
(\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) और \(-\frac{\pi}{4}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(-\frac{\pi}{4}\) है। / Since (\tan\left\(-\frac{\pi}{4}\right\)=-1) and \(-\frac{\pi}{4}\) lies in the principal range, the answer is \(-\frac{\pi}{4}\).
\(\cos\pi=-1\) और \(\pi\) मुख्य परिसर \(\left[0,\pi\right]\) में है। इसलिए मान \(\pi\) है। / Since \(\cos\pi=-1\) and \(\pi\) is in the principal range \(\left[0,\pi\right]\), the value is \(\pi\).
\(\cos0=1\) और (0) \(\cos^{-1}x\) के मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर (0) है। / Since \(\cos0=1\) and (0) lies in the principal range of \(\cos^{-1}x\), the answer is (0).
(\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1) होता है। इसलिए (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2})। / We have (\sin\left\(-\frac{\pi}{2}\right\)=-1). Hence (\sin^{-1}\left\(-1\right\)=-\frac{\pi}{2}).
\(\sin\frac{\pi}{2}=1\) और \(\frac{\pi}{2}\) मुख्य परिसर में है। इसलिए उत्तर \(\frac{\pi}{2}\) है। / Since \(\sin\frac{\pi}{2}=1\) and \(\frac{\pi}{2}\) is in the principal range, the answer is \(\frac{\pi}{2}\).
\(\tan y\) सभी वास्तविक मान ले सकता है। इसलिए \(\tan^{-1}x\) का प्रांत \(\mathbb{R}\) है। / The function \(\tan y\) can take every real value. Hence the domain of \(\tan^{-1}x\) is \(\mathbb{R}\).
\(\cos y\) का मान \(\left[-1,1\right]\) से बाहर नहीं जाता। इसलिए \(\cos^{-1}x\) का प्रांत \(\left[-1,1\right]\) है। / The value of \(\cos y\) does not go outside \(\left[-1,1\right]\). Hence the domain of \(\cos^{-1}x\) is \(\left[-1,1\right]\).
\(\sin y\) के मान केवल \(\left[-1,1\right]\) में होते हैं। इसलिए \(\sin^{-1}x\) तभी परिभाषित है जब \(x\in\left[-1,1\right]\)। / Values of \(\sin y\) lie only in \(\left[-1,1\right]\). So \(\sin^{-1}x\) is defined when \(x\in\left[-1,1\right]\).
B. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\cosec y\) कभी (\left\(-1,1\right\)) में नहीं आता। इसलिए \(\cosec^{-1}x\) का प्रांत (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) है। / The value of \(\cosec y\) never lies in (\left\(-1,1\right\)). So the domain of \(\cosec^{-1}x\) is (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)).
C. \(\left(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right)\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sec y\) के मान (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)) में होते हैं। इसलिए \(\sec^{-1}x\) का प्रांत यही है। / Values of \(\sec y\) lie in (\left\(-\infty,-1\right]\cup\left[1,\infty\right\)). Hence this is the domain of \(\sec^{-1}x\).
\(\cot^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(0,\pi\right\)) में लिया जाता है। याद रखें कि \(\cot^{-1}x\) में दोनों सिरे नहीं आते। / The principal value of \(\cot^{-1}x\) is taken in (\left\(0,\pi\right\)). Remember that both endpoints are excluded.
\(\tan^{-1}x\) का मुख्य मान (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) में होता है। सिरों को शामिल नहीं किया जाता। / The principal value of \(\tan^{-1}x\) lies in (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)). The endpoints are not included.
\(\cos^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[0,\pi\right]\) में होता है। यह सबसे सामान्य पूछी जाने वाली बात है। / The principal value of \(\cos^{-1}x\) is in \(\left[0,\pi\right]\). This is a common exam fact.
\(\sin^{-1}x\) का मुख्य मान \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]) में लिया जाता है। परीक्षा में परिसर याद रखें। / The principal value of \(\sin^{-1}x\) lies in \(\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\). Remember the range in exams.
