Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (256-4n>0) और (n<64) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (256-4n>0) and (n<64). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (256-4n<0) और (n>64) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (256-4n<0) and (n>64). In exams, connect (D<0) with no real roots.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (576-4m=0) से (m=144) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (576-4m=0) gives (m=144). In exams, equal roots indicate (D=0).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((k-5)2=k-2-36) और \(k=\frac{61}{10}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय स्थिर पद ध्यान से लें। / For equal roots, (D=0), so ((k-5)2=k-2-36) and \(k=\frac{61}{10}\). In exams, handle constant terms carefully while expanding squares.
(D=4(k+6)2-4k-2=0) से ((k+6)2=k-2), इसलिए (12k+36=0) और (k=-3) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+6)2-4k-2=0) gives ((k+6)2=k-2), so (12k+36=0) and (k=-3). In exams, expand squares carefully.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac\) का मान शून्य होना चाहिए। यहाँ \(a=k, b=-22, c=121\), इसलिए \(D=(-22)^2-4(k)(121)=484-484k\)। अब \(484-484k=0\) से \(k=1\) प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर A है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) के मान सही पहचानकर \(D=0\) लगाएँ। / For equal roots, the discriminant \(D=b^2-4ac\) must be zero. Here, \(a=k\), \(b=-22\), and \(c=121\), so \(D=(-22)^2-4(k)(121)=484-484k\). Setting this equal to zero gives \(k=1\). Therefore, option A is correct. Exam tip: identify \(a\), \(b\), and \(c\) carefully before applying \(D=0\).
यहां (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-12)2-4(6)(17)=-264<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
यहां (D=(-11)2-4(1)(6)=97), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-11)2-4(1)(6)=97), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{97}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (196-4n>0) और (n<49) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (196-4n>0) and (n<49). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (196-4n<0) और (n>49) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (196-4n<0) and (n>49). In exams, connect (D<0) with no real roots.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (484-4m=0) से (m=121) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (484-4m=0) gives (m=121). In exams, equal roots indicate (D=0).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए ((k-4)2=k-2-25) और \(k=\frac{41}{8}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय स्थिर पद ध्यान से लें। / For equal roots, (D=0), so ((k-4)2=k-2-25) and \(k=\frac{41}{8}\). In exams, handle constant terms carefully while expanding squares.
(D=4(k+5)2-4k-2=0) से ((k+5)2=k-2), इसलिए (10k+25=0) और \(k=-\frac{5}{2}\) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+5)2-4k-2=0) gives ((k+5)2=k-2), so (10k+25=0) and \(k=-\frac{5}{2}\). In exams, expand squares carefully.
द्विघात समीकरण \(ax^2+bx+c=0\) के समान मूल होने की शर्त \(b^2-4ac=0\) है। यहाँ \(a=k, b=-18, c=81\), इसलिए \((-18)^2-4(k)(81)=0\), अर्थात \(324-324k=0\)। अतः \(k=1\)। परीक्षा-युक्ति: पहले \(a,b,c\) की सही पहचान करें; \(k\) ही \(x^2\) का गुणांक है। / A quadratic equation \(ax^2+bx+c=0\) has equal roots when its discriminant \(b^2-4ac\) is zero. Here, \(a=k\), \(b=-18\), and \(c=81\). Thus, \((-18)^2-4(k)(81)=0\), giving \(324-324k=0\) and hence \(k=1\). Exam tip: identify the coefficient of \(x^2\) as \(a\) before applying the discriminant formula.
यहां (D=(-10)2-4(5)(13)=-160<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-10)2-4(5)(13)=-160<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
यहां (D=(-9)2-4(1)(5)=61), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-9)2-4(1)(5)=61), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{61}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
दिए गए समीकरण में \(a=1, b=10, c=6\) हैं। द्विघात सूत्र से \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{100-24}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{76}}{2}=-5\pm\sqrt{19}\)। अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(-b\) का चिह्न गलत है और विकल्प D में विविक्तकर के वर्गमूल के स्थान पर केवल \(19\) लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: उत्तर जाँचने के लिए मूलों का योग \(-10\) और गुणनफल \(6\) होना चाहिए। / Here, \(a=1, b=10, c=6\). Using the quadratic formula, \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-10\pm\sqrt{100-24}}{2}=\frac{-10\pm\sqrt{76}}{2}=-5\pm\sqrt{19}\). Therefore, option A is correct. Option B has the wrong sign for \(-b\), while option D omits the square root of the simplified discriminant. Exam tip: verify that the sum of the roots is \(-10\) and their product is \(6\).
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (144-4n>0) और (n<36) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (144-4n>0) and (n<36). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (144-4n<0) और (n>36) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (144-4n<0) and (n>36). In exams, connect (D<0) with no real roots.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (400-4m=0) से (m=100) है। परीक्षा में समान मूल का संकेत (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (400-4m=0) gives (m=100). In exams, equal roots indicate (D=0).
(D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से ((k+3)2=k-2-16), इसलिए (6k+25=0) और \(k=-\frac{25}{6}\) है। परीक्षा में विस्तार के बाद स्थिर पद ध्यान से जोड़ें। / (D=4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) gives ((k+3)2=k-2-16), so (6k+25=0) and \(k=-\frac{25}{6}\). In exams, handle the constant term carefully after expansion.
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) से (6k+25=0) नहीं बल्कि (6k+25) गलत होगा; सही फैलाने पर (6k+25) नहीं बनता। परीक्षा में विस्तार दोबारा जांचें। / For equal roots, (D=0), so (4(k+3)2-4\(k^2-16\)=0) must be expanded carefully; a wrong expansion changes the answer. In exams, recheck parameter expansion.
(D=4(k+4)2-4k-2=0) से ((k+4)2=k-2), इसलिए (8k+16=0) और (k=-2) है। परीक्षा में वर्ग फैलाते समय सावधानी रखें। / (D=4(k+4)2-4k-2=0) gives ((k+4)2=k-2), so (8k+16=0) and (k=-2). In exams, expand squares carefully.
समान मूलों के लिए विविक्तकर \(D=b^2-4ac=0\) होता है। यहाँ \(a=k\), \(b=-14\) और \(c=49\), इसलिए \(D=(-14)^2-4(k)(49)=196-196k\)। अतः \(196-196k=0\), जिससे \(k=1\) प्राप्त होता है। परीक्षा-टिप: गुणांक \(a\) को \(k\) ही लें, क्योंकि \(k\neq 0\) होने पर ही यह द्विघात समीकरण रहेगा। / For equal roots, the discriminant must be zero: \(D=b^2-4ac=0\). Here, \(a=k\), \(b=-14\), and \(c=49\), so \(D=(-14)^2-4(k)(49)=196-196k\). Thus, \(196-196k=0\), giving \(k=1\). Exam tip: identify the coefficient of \(x^2\) as \(a=k\); the equation is quadratic only when \(k\neq 0\).
यहां (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), इसलिए वास्तविक मूल नहीं हैं। परीक्षा में (D<0) का अर्थ वास्तविक मूल नहीं है। / Here (D=(-8)2-4(4)(9)=-80<0), so there are no real roots. In exams, (D<0) means no real roots.
यहां (D=(-7)2-4(1)(3)=37), इसलिए मूलों का अंतर \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\) है। परीक्षा में मूलों का अंतर सीधे (D) से मिल सकता है। / Here (D=(-7)2-4(1)(3)=37), so the difference of roots is \(\frac{\sqrt{D}}{|a|}=\sqrt{37}\). In exams, the difference of roots can be found directly from (D).
दो अलग वास्तविक मूलों के लिए (D>0), इसलिए (100-4n>0) और (n<25) है। परीक्षा में (D>0) को अलग वास्तविक मूल से जोड़ें। / For two distinct real roots, (D>0), so (100-4n>0) and (n<25). In exams, connect (D>0) with distinct real roots.
वास्तविक मूल नहीं होने के लिए (D<0), इसलिए (100-4n<0) और (n>25) है। परीक्षा में (D<0) को वास्तविक मूल नहीं से जोड़ें। / For no real roots, (D<0), so (100-4n<0) and (n>25). In exams, connect (D<0) with no real roots.
समान वास्तविक मूलों के लिए (D=0), इसलिए (324-4m=0) से (m=81) है। परीक्षा में समान मूल का मतलब (D=0) होता है। / For real and equal roots, (D=0), so (324-4m=0) gives (m=81). In exams, equal roots mean (D=0).
समान मूलों के लिए (D=0), इसलिए (4(k-2)2-4\(k^2-9\)=0) से (-4k+13=0) मिलता है। परीक्षा में पैरामीटर वाले प्रश्नों में (D) सावधानी से फैलाएं। / For equal roots, (D=0), so (4(k-2)2-4\(k^2-9\)=0) gives (-4k+13=0). In exams, expand (D) carefully in parameter questions.
