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दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए रेखाएँ संपाती हैं और उनके अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Therefore the lines are coincident and have infinitely many common points.
तीनों अनुपात समान होने पर दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाते हैं। इस स्थिति में अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, both equations represent the same line. In this case, infinitely many solutions are obtained.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+2y=8) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (x+2y=8). Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
B. संपाती रेखाओं को एक हल वाला मानना/Treating coincident lines as having one solution
Explanation
Simple Explanation
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, केवल (1) नहीं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions, not only (1).
यहाँ \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\)। इसलिए रेखाएँ संपाती होंगी और अनंत हल मिलेंगे। / Here \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{1}{2}\). Therefore the lines are coincident and have infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और युग्म संगत आश्रित है। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and the pair is consistent dependent.
दूसरा समीकरण पहले समीकरण का 3 गुना है: \(3(x+2y=7)\) से \(3x+6y=21\) प्राप्त होता है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होता है और रेखाएँ संपाती होती हैं। समांतर और भिन्न रेखाओं के लिए गुणांकों का अनुपात समान, पर नियतांकों का अनुपात अलग होता है। परीक्षा में जाँचने के लिए \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\) होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। / The second equation is exactly three times the first: multiplying \(x+2y=7\) by 3 gives \(3x+6y=21\). Hence both equations represent the same graph, so the lines are coincident. For parallel and distinct lines, the ratios of the coefficients of \(x\) and \(y\) are equal but the ratio of the constants is different. Exam tip: if \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\), the two lines are coincident.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत सामान्य बिंदु हैं। / The second equation is (2) times the first. Hence the lines are coincident and have infinitely many common points.
पहला समीकरण (3) से भाग देने पर (x+2y=6) बनता है। इसलिए दोनों रेखाएँ एक ही हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (3) gives (x+2y=6). Therefore both lines are the same and have infinitely many solutions.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (2x+y=5) बनता है। इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। / Dividing the first equation by (2) gives (2x+y=5). Therefore both are the same line and have infinitely many solutions.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
पहले समीकरण \(3x+3y=24\) के प्रत्येक पद को 3 से भाग देने पर \(x+y=8\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और उनके अनंत समाधानों का एक ही समुच्चय होगा। परीक्षा-युक्ति: यदि एक समीकरण दूसरे का अशून्य नियत गुणज हो, तो दोनों रेखाएँ संपाती अर्थात् एक ही रेखा होती हैं। / Dividing every term of the first equation, \(3x+3y=24\), by 3 gives \(x+y=8\), which is the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many common solutions. Exam tip: If one linear equation is a non-zero constant multiple of the other, their graphs are coincident, or the same line.
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (4) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसी रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (4) times the first, so both are the same line. Such lines have infinitely many solutions.
B. जब रेखाएँ एक ही रेखा हों/When lines are the same line
Explanation
Simple Explanation
एक ही रेखा के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / All points on the same line satisfy both equations. Therefore, there are infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। / The second equation is (2) times the first, so the lines are coincident. Coincident lines have infinitely many solutions.
पहले समीकरण \(2x+2y=18\) के दोनों पक्षों को \(2\) से भाग देने पर \(x+y=9\) प्राप्त होता है, जो दूसरा समीकरण है। इसलिए दोनों समीकरणों का ग्राफ एक ही रेखा होगा और इनके अनंत हल होंगे। परीक्षा में याद रखें: समान रेखाओं के लिए दोनों समीकरण एक-दूसरे के समानुपाती होने चाहिए। / Dividing both sides of the first equation, \(2x+2y=18\), by \(2\) gives \(x+y=9\), which is exactly the second equation. Hence, both equations represent the same line and have infinitely many solutions. Exam tip: equations represent the same line when one is a non-zero multiple of the other.
संपाती रेखाओं के अनंत सामान्य बिंदु होते हैं। इसलिए ऐसे समीकरण युग्म के अनंत हल होते हैं। / Coincident lines have infinitely many common points. Therefore, such a pair of equations has infinitely many solutions.
दूसरा समीकरण पहले का (3) गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं। ऐसी स्थिति में अनंत हल होते हैं। / The second equation is (3) times the first, so both are the same line. In this case, there are infinitely many solutions.
पूरे समीकरण को (3) से भाग देने पर (2x+y=4) मिलता है। सरल रूप रेखाओं की तुलना में मदद करता है। / Dividing the whole equation by (3) gives (2x+y=4). The simplified form helps compare lines.
दोनों समीकरण बिल्कुल समान हैं, इसलिए वे एक ही रेखा दर्शाते हैं। ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं। / Both equations are exactly the same, so they represent the same line. Such a pair has infinitely many solutions.
संपाती रेखाएँ पूरी तरह एक-दूसरे पर स्थित होती हैं, इसलिए उनके प्रत्येक सामान्य बिंदु से समीकरणों का एक हल प्राप्त होता है। ऐसे युग्म के अनंत हल होते हैं और इसे संगत एवं आश्रित युग्म कहते हैं। विकल्प C गलत है, क्योंकि स्वतंत्र युग्म की रेखाएँ केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। परीक्षा-युक्ति: संपाती रेखाएँ ⇒ अनंत हल ⇒ संगत एवं आश्रित युग्म। / Coincident lines lie exactly on top of each other, so every point on the common line is a solution of both equations. Hence, the pair has infinitely many solutions and is called consistent and dependent. Option C is incorrect because an independent pair has lines that intersect at exactly one point. Exam tip: coincident lines imply infinitely many solutions and a consistent dependent pair.
पहला समीकरण (2) से भाग देने पर (x+y=5) बनता है। दोनों एक ही रेखा हैं, इसलिए अनंत हल होंगे। / Dividing the first equation by (2) gives (x+y=5). Both are the same line, so there are infinitely many solutions.
संपाती रेखाओं के सभी बिंदु दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। परीक्षा में इसे संगत और आश्रित स्थिति कहें। / Every point on coincident lines satisfies both equations. In exams, call this a consistent and dependent case.
