चुना गया अनुक्रम \(5,19,33,\ldots\) होगा और इसका अंतर (14) है। हर दूसरा पद लेने पर नया (d) मूल (d) का (2) गुना होता है। / The selected sequence is \(5,19,33,\ldots\), and its difference is (14). Selecting every second term makes the new (d) twice the original (d).
(25-4=21) तीन बराबर अंतरालों में बंटेगा इसलिए दूसरा पद (11) और तीसरा (18) होना चाहिए। इससे (x=11) और (2x+1=18) साथ-साथ सत्य नहीं होते। / (25-4=21) is split into three equal gaps, so the second term should be (11) and the third (18). This makes (x=11) and (2x+1=18) impossible together.
(a+3d-a=3d=36), इसलिए (d=12)। पहले और चौथे पद के बीच (3) समान अंतर होते हैं। / (a+3d-a=3d=36), so (d=12). There are (3) equal gaps between the first and fourth terms.
C. अंकगणितीय श्रेणी नहीं क्योंकि नए अंतर समान नहीं होंगे/Not an arithmetic progression because new differences will not be equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद \(2,8,16,\ldots\) मिलते हैं और अंतर \(6,8,\ldots\) हैं, जो समान नहीं हैं। पद संख्या के वर्ग जोड़ने से समान अंतर नहीं बचता। / The new terms are \(2,8,16,\ldots\), and the differences are \(6,8,\ldots\), which are not equal. Adding squares of term numbers does not preserve equal difference.
(2(k+5)=(k-2)+(2k+1)) से (2k+10=3k-1), इसलिए (k=11)। समीकरण बनाते समय मध्य पद को पहचानें। / From (2(k+5)=(k-2)+(2k+1)), (2k+10=3k-1), so (k=11). Identify the middle term while forming the equation.
मूल (d=5) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (4n) has (d=4), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its difference.
मध्य पद \(h=\frac{6+24}{2}=15\), इसलिए (h-6=9)। तीन पदों में मध्य पद औसत से मिलता है। / The middle term is \(h=\frac{6+24}{2}=15\), so (h-6=9). In three terms, the middle term is found by the average.
C. नहीं, क्योंकि क्रमागत अंतर समान नहीं हैं/No because consecutive differences are not equal
Explanation
Simple Explanation
नए पद (16,81,196) हैं और अंतर (65,115) हैं, जो समान नहीं हैं। वर्ग करने से सामान्यतः अंकगणितीय श्रेणी सुरक्षित नहीं रहती। / The new terms are (16,81,196), and the differences are (65,115), which are not equal. Squaring generally does not preserve an arithmetic progression.
सभी पदों को \(-\frac{1}{2}\) से गुणा करने पर (d) भी उसी से गुणा होगा, इसलिए नया (d=-5)। गुणक सीधे सार्व अंतर पर लागू होता है। / When all terms are multiplied by \(-\frac{1}{2}\), (d) is also multiplied by it, so the new (d=-5). The multiplier applies directly to the common difference.
(2(3u+2)=(2u-3)+(5u-1)) से (6u+4=7u-4), इसलिए (u=8)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाकर चर निकालें। / From (2(3u+2)=(2u-3)+(5u-1)), (6u+4=7u-4), so (u=8). Use the twice-middle-term rule to find the variable.
\(18-\frac{3}{2}=\frac{33}{2}\) और आगे भी \(-\frac{3}{2}\) जुड़ता है। (a) और (d) दोनों शर्तें साथ जांचें। / \(18-\frac{3}{2}=\frac{33}{2}\), and \(-\frac{3}{2}\) continues to be added. Check both (a) and (d) together.
(4+3d=31) से (d=9), इसलिए दूसरा पद (4+d=13)। पहले (d) निकालकर मांगा गया पद बनाएं। / From (4+3d=31), (d=9), so the second term is (4+d=13). First find (d) and then form the required term.
मूल (d=4) है, दुगुना करने से (d=8) होगा और समान (1) घटाने से (d) नहीं बदलेगा। गुणा (d) बदलता है, समान घटाव नहीं। / The original (d=4); doubling makes (d=8), and subtracting the same (1) does not change (d). Multiplication changes (d), equal subtraction does not.
स्थिर अनुक्रम का (d=0) है और दूसरे का (d=3) है, इसलिए योग का (d=3)। स्थिर अनुक्रम जोड़ने से (d) नहीं बदलता। / The constant sequence has (d=0), and the second has (d=3), so the sum has (d=3). Adding a constant sequence does not change (d).
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=5-6=-1)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=5-6=-1). In termwise difference, take the difference of common differences.
नए पद (a+3,a+d+6,a+2d+9) हैं और दोनों अंतर (d+3) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+3,a+d+6,a+2d+9), and both differences are (d+3). The difference of the added numbers is added to (d).
मूल (d=-3) है और पद संख्या का (d=1) है, इसलिए नया (d=-3-1=-4)। पद संख्या घटाने पर उसका अंतर भी घटता है। / The original (d=-3), and term numbers have (d=1), so the new (d=-3-1=-4). When subtracting term number, its difference is also subtracted.
दोनों अंतर (6) और (6) हैं, इसलिए यह हर (x) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। समान बीजगणितीय अंतर पर्याप्त है। / Both differences are (6) and (6), so it is an arithmetic progression for every (x). Equal algebraic differences are sufficient.
पहले अनुक्रम का (d=-4) और दूसरे का (d=3) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=-4-3=-7)। पद-दर-पद घटाव में अंतरों को भी घटाएं। / The first sequence has (d=-4) and the second has (d=3), so the difference sequence has (d=-4-3=-7). In termwise subtraction, subtract the differences too.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=7) है, इसलिए योग अनुक्रम का (d=11)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=7), so the sum sequence has (d=11). In termwise addition, common differences add.
(6+d=2) से (d=-4) मिलता है और (6+2d=-2) इसकी पुष्टि करता है। सामान्य रूप को दिए गए पदों से मिलाएं। / From (6+d=2), (d=-4), and (6+2d=-2) confirms it. Match the general form with the given terms.
पहले तीन विकल्पों में (d=-7) है, लेकिन \(60,52,44,36,\ldots\) में (d=-8) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों जांचें। / The first three options have (d=-7), but \(60,52,44,36,\ldots\) has (d=-8). Check both value and sign in options.
मध्य पद \(b=\frac{6+30}{2}=18\), इसलिए (b-a=18-6=12)। तीन पदों में मध्य पद औसत होता है। / The middle term is \(b=\frac{6+30}{2}=18\), so (b-a=18-6=12). In three terms, the middle term is the average.
मूल (d=-5) है, इसलिए (5) से भाग देने पर नया (d=-1) होगा। सभी पदों को समान संख्या से भाग देने पर (d) भी उसी से भागता है। / The original (d=-5), so after division by (5), the new (d=-1). Dividing all terms by the same number divides (d) by that number too.
(2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)) से (4m+6=5m-2), इसलिए (m=8)। मध्य पद का दुगुना नियम लगाएं। / From (2(2m+3)=(m-1)+(4m-1)), (4m+6=5m-2), so (m=8). Use the twice-middle-term rule.
(-\frac{7}{6}-\left\(-\frac{5}{3}\right\)=\frac{1}{2}) और अगला अंतर भी \(\frac{1}{2}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव ध्यान से करें। / (-\frac{7}{6}-\left\(-\frac{5}{3}\right\)=\frac{1}{2}), and the next difference is also \(\frac{1}{2}\). Subtract negative fractions carefully.
(2(2x+4)=x+4x) से (4x+8=5x), इसलिए (x=8)। तब (d=20-8=12), इसलिए दिए विकल्पों में सही मान नहीं है। / From (2(2x+4)=x+4x), (4x+8=5x), so (x=8). Then (d=20-8=12), so none of the listed values is correct.
मूल (d=-3) है और (-2) से गुणा करने पर नया (d=6) होगा। ऋणात्मक गुणक से चिह्न बदल सकता है। / The original (d=-3), and multiplying by (-2) gives new (d=6). A negative multiplier can change the sign.
A. हर (q) के लिए अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression for every (q)
Explanation
Simple Explanation
क्रमागत अंतर (3q,3q,3q) हैं। समान बीजगणितीय अंतर होने पर यह हर (q) के लिए अंकगणितीय श्रेणी है। / The consecutive differences are (3q,3q,3q). With equal algebraic differences, it is an arithmetic progression for every (q).
