Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहला पद (9) और बीसवाँ पद (104) है, इसलिए (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130)। \(a_n\) से पहले और अंतिम पद निकालें। / The first term is (9) and the twentieth term is (104), so (S_{20}=\frac{20}{2}(9+104)=1130). Use \(a_n\) to find the first and last terms.
गुणज \(100,125,\ldots,275\) हैं और (8) पद हैं, इसलिए योग (1500) है। सीमा के अनुसार पहला और अंतिम पद तय करें। / The multiples are \(100,125,\ldots,275\), and there are (8) terms, so the sum is (1500). Decide the first and last terms according to the limit.
संख्याएँ \(12,16,\ldots,96\) हैं और (22) पद हैं, इसलिए योग (1188) है। दो अंकों की सीमा ध्यान से लगाएँ। / The numbers are \(12,16,\ldots,96\), and there are (22) terms, so the sum is (1188). Apply the two-digit limit carefully.
(S_n=\frac{n}{2}(a+l)) से \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\)। (a+l) सीधे दिया हो तो उसे तुरंत उपयोग करें। / Using (S_n=\frac{n}{2}(a+l)), \(S_{18}=\frac{18}{2}\times144=1296\). If (a+l) is directly given, use it immediately.
(912=\frac{12}{2}(18+l)) से (l=134)। योग सूत्र को उल्टा लगाना भी परीक्षा में आता है। / From (912=\frac{12}{2}(18+l)), (l=134). Using the sum formula in reverse also appears in exams.
औसत \(\frac{1170}{18}=65\) है। योग को पदों की संख्या से भाग देने पर औसत मिलता है। / The average is \(\frac{1170}{18}=65\). Dividing the sum by the number of terms gives the average.
योग (=) औसत \(\times\) पदों की संख्या, इसलिए \(64\times15=960\)। औसत दिया हो तो लंबा सूत्र जरूरी नहीं है। / Sum equals average \(\times\) number of terms, so \(64\times15=960\). If the average is given, the long formula is not necessary.
शेष योग \(28\times29-11\times12=680\) है। सम संख्याओं के योग के लिए (n(n+1)) लगाएँ। / The remaining sum is \(28\times29-11\times12=680\). Use (n(n+1)) for the sum of even numbers.
शेष योग \(26^2-14^2=480\) है। विषम संख्याओं के योग में \(n^2\) का प्रयोग करें। / The remaining sum is \(26^2-14^2=480\). Use \(n^2\) for the sum of odd numbers.
पहले (n) सम संख्याओं का योग (n(n+1)) है, इसलिए \(27\times28=756\)। (n) को अंतिम सम संख्या न समझें। / The sum of the first (n) even numbers is (n(n+1)), so \(27\times28=756\). Do not confuse (n) with the last even number.
पहले (n) विषम संख्याओं का योग \(n^2\) है, इसलिए \(n^2=625\) और (n=25)। पूर्ण वर्ग पहचानना उपयोगी है। / The sum of the first (n) odd numbers is \(n^2\), so \(n^2=625\) and (n=25). Recognizing perfect squares is useful.
संख्याएँ \(208,224,\ldots,496\) हैं और (19) पद हैं, इसलिए योग (6688) है। पदों की संख्या निकालना न भूलें। / The numbers are \(208,224,\ldots,496\), and there are (19) terms, so the sum is (6688). Do not forget to find the number of terms.
संख्याएँ \(60,75,\ldots,240\) हैं और (13) पद हैं, इसलिए योग (1950) है। सीमा को देखकर सही श्रेणी बनाएँ। / The numbers are \(60,75,\ldots,240\), and there are (13) terms, so the sum is (1950). Make the correct sequence by checking the limits.
संख्याएँ \(112,126,\ldots,336\) हैं और (17) पद हैं, इसलिए योग (3808) है। पहले और अंतिम उपयुक्त गुणज ढूँढ़ें। / The numbers are \(112,126,\ldots,336\), and there are (17) terms, so the sum is (3808). Find the first and last suitable multiples.
संख्याएँ \(126,135,\ldots,297\) हैं और (20) पद हैं, इसलिए योग (4230) है। सीमा वाले प्रश्न में पहला और अंतिम पद सावधानी से चुनें। / The numbers are \(126,135,\ldots,297\), and there are (20) terms, so the sum is (4230). In boundary questions, choose the first and last terms carefully.
(S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1504) मिलता है। विकल्प लगाकर जाँच करना सुरक्षित है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[8+12(n-1)]) gives (1504). Checking by substituting options is safe.
(S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) में (n=15) रखने पर (1230) मिलता है। पहले (a) और (d) सही पहचानें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[10+11(n-1)]) gives (1230). First identify (a) and (d) correctly.
(S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) में (n=16) रखने पर (1240) मिलता है। (n) निकालते समय विकल्प विधि तेज रहती है। / Putting (n=16) in (S_n=\frac{n}{2}[20+9(n-1)]) gives (1240). The option method is fast when finding (n).
(S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) में (n=15) रखने पर (930) मिलता है। विकल्पों को सूत्र में जाँचें। / Putting (n=15) in (S_n=\frac{n}{2}[12+8(n-1)]) gives (930). Check the options in the formula.
दसवें से बीसवें पदों का योग (1640-342=1298) है। लगातार पदों के लिए \(S_m-S_k\) का प्रयोग करें। / The sum of the (10)th to (20)th terms is (1640-342=1298). For consecutive terms, use \(S_m-S_k\).
छठे से बारहवें पदों का योग \(S_{12}-S_5=378\) है। बीच के पदों का योग कुल आंशिक योगों के अंतर से मिलता है। / The sum of the (6)th to (12)th terms is \(S_{12}-S_5=378\). The sum of middle terms is found from the difference of partial sums.
सातवें से चौदहवें पदों का योग (665-165=500) है। आंशिक योगों को घटाकर उत्तर जल्दी मिलता है। / The sum of the (7)th to (14)th terms is (665-165=500). Subtracting partial sums gives the answer quickly.
नौवें से सत्रहवें पदों का योग \(S_{17}-S_8=792\) है। लगातार पदों के समूह के लिए आंशिक योगों का अंतर लें। / The sum of the (9)th to (17)th terms is \(S_{17}-S_8=792\). For a group of consecutive terms, take the difference of partial sums.
(S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765)। अंतिम पद शून्य हो तब भी सूत्र वही रहता है। / (S_{18}=\frac{18}{2}(85+0)=765). The formula remains the same even when the last term is zero.
(S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859)। (n) सम हो तो \(\frac{n}{2}\) पहले निकालना आसान है। / (S_{22}=\frac{22}{2}(32+137)=1859). If (n) is even, finding \(\frac{n}{2}\) first is easier.
(S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585)। ऋणात्मक प्रथम पद को जोड़ते समय चिन्ह न भूलें। / (S_{13}=\frac{13}{2}(-15+105)=585). Do not forget the sign while adding a negative first term.
(S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872)। औसत विधि में \(\frac{a+l}{2}\) को (n) से गुणा करें। / (S_{24}=\frac{24}{2}(9+147)=1872). In the average method, multiply \(\frac{a+l}{2}\) by (n).
(S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368)। पहला और अंतिम पद दिए हों तो छोटा सूत्र लगाएँ। / (S_{19}=\frac{19}{2}(18+126)=1368). If the first and last terms are given, use the shorter formula.
सोलहवाँ पद (227) है, इसलिए (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832)। अंतिम पद निकालते समय ((n-1)d) लगाएँ। / The sixteenth term is (227), so (S_{16}=\frac{16}{2}(2+227)=1832). Use ((n-1)d) while finding the last term.
