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दशमलव में 67 के बाद 08, 08, 08, \ldots दोहर रहा है। इसलिए अनावर्ती भाग 67 है और आवर्ती भाग 08 है; सही संकेतन \(0.67\overline{08}\) होगा। \(0.670\overline{8}\) में केवल 8 को आवर्ती माना गया है, जिससे 0 के बार-बार आने का संकेत नहीं मिलता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दशमलव अंकों को समूहों में लिखकर सबसे छोटा दोहरने वाला खंड पहचानें। / After 67, the digits 08, 08, 08, \ldots repeat. Thus, 67 is the non-repeating part and 08 is the repeating block, so the notation is \(0.67\overline{08}\). In \(0.670\overline{8}\), only 8 repeats, so it does not show the repeated zeros. Exam tip: Write the decimal digits in groups first and identify the shortest block that repeats.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.999\ldots\), \(1\) से छोटा है क्योंकि इसके सभी सीमित दशमलव रूप, जैसे \(0.9\) और \(0.99\), \(1\) से छोटे हैं। इस कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. \(x=0.999\ldots\) मानने पर \(10x-x=9\), इसलिए \(x=1\)।/Letting \(x=0.999\ldots\), \(10x-x=9\), so \(x=1\).
Explanation
Simple Explanation
मान लें \(x=0.999\ldots\)। तब \(10x=9.999\ldots\) और घटाने पर \(9x=9\), अतः \(x=1\)। सीमित सन्निकटन छोटे होते हैं, पर उनकी सीमा \(1\) है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव में \(10x-x\) विधि अपनाएँ। / Let \(x=0.999\ldots\). Then \(10x=9.999\ldots\); subtracting gives \(9x=9\), hence \(x=1\). Finite truncations are smaller, but their limit is \(1\). Exam tip: use the \(10x-x\) method for recurring decimals.
\( \frac{9}{11}=0.818181\ldots \), जो (0.8189) से छोटा है। तुलना में सभी संख्याओं को दशमलव रूप में देखें। / \( \frac{9}{11}=0.818181\ldots \), which is less than (0.8189). View all numbers in decimal form for comparison.
यहाँ 19.874999\ldots में दशमलव के बाद 4 के बाद अनंत 9 हैं। क्योंकि \(0.004999\ldots=0.005\), इसलिए \(19.874999\ldots=19.875\) होता है। विकल्प 19.874 केवल दशमलव को काटकर लिखा गया है, इसलिए वह बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: किसी अंक के बाद अनंत 9 हों, तो उस अंक सहित भाग को अगले स्थान तक बढ़ाकर सांत दशमलव में बदला जा सकता है। / In 19.874999\ldots, infinitely many 9s occur after 4. Since \(0.004999\ldots=0.005\), we get \(19.874999\ldots=19.875\). Option 19.874 is only a truncation of the decimal, so it is not equal to the given number. Exam tip: when infinitely many 9s follow a digit, rewrite the decimal by increasing the preceding finite part appropriately.
यह असांत है और इसमें निश्चित दोहराव नहीं है। ऐसा दशमलव अपरिमेय संख्या का रूप हो सकता है। / It is non-terminating and has no fixed repetition. Such a decimal can be the form of an irrational number.
तुलना के लिए सभी संख्याओं को समान दशमलव स्थानों तक लिख सकते हैं: \(5.0050,\ 5.0055,\ 5.0505,\ 5.5000\)। हजारवें स्थान पर \(5.0050\) और \(5.0055\) दोनों में 5 है, लेकिन अगले स्थान पर 0, 5 से छोटा है; इसलिए \(5.005<5.0055\)। फिर \(5.0505\), \(5.0055\) से बड़ा है और \(5.500\) सबसे बड़ा है। इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा टिप: दशमलव संख्याओं की तुलना करते समय दाईं ओर शून्य लगाकर दशमलव स्थानों की संख्या समान कर लें। / Write the numbers with equal decimal places: \(5.0050,\ 5.0055,\ 5.0505,\ 5.5000\). In \(5.0050\) and \(5.0055\), the thousandths digit is 5, but the next digit is 0 and 5 respectively; hence \(5.005<5.0055\). Also, \(5.0505\) is greater than \(5.0055\), while \(5.500\) is the greatest. Therefore, option A is correct. Exam tip: Add zeros to the right of decimals to make the number of decimal places equal before comparing.
एक विद्यार्थी कहता है कि \(0.101001000100001\ldots\) परिमेय संख्या है, क्योंकि इसके दशमलव प्रसार में केवल 0 और 1 अंक आते हैं। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार क्या है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
1 के बीच शून्यों की संख्या क्रमशः 1, 2, 3, 4, … बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। यह अनंत अनावर्ती दशमलव है, अतः अपरिमेय है। परीक्षा में आवर्तन जाँचें, अंकों की संख्या नहीं। / The number of zeros between successive 1s is 1, 2, 3, 4, …, so no fixed repeating block exists. Hence the decimal is non-terminating and non-repeating, making it irrational. Exam tip: check repetition, not just the digits used.
यहाँ 23.74999\ldots = 23.74 + 0.00999\ldots है। क्योंकि 0.00999\ldots = 0.01, इसलिए मान 23.74 + 0.01 = 23.75 होगा। 23.749 केवल सीमित अंकों तक लिखी संख्या है; उसमें अनंत 9 का प्रभाव शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: किसी स्थान के बाद अनंत 9 हों, तो उन्हें अगले स्थान पर 1 बढ़ाकर सांत दशमलव में लिख सकते हैं। / Here, 23.74999\ldots = 23.74 + 0.00999\ldots. Since 0.00999\ldots = 0.01, the value is 23.74 + 0.01 = 23.75. The number 23.749 has only finitely many digits and does not include the effect of the infinitely repeating 9s. Exam tip: An infinite string of 9s after a decimal place can be written by increasing the preceding digit by 1.
दिया गया दशमलव \(0.0747474\ldots\) में दशमलव के बाद पहले \(0\) आता है, फिर अंक-समूह \(74\) बार-बार दोहरता है: \(0,74,74,74,\ldots\)। इसलिए केवल \(74\) पर बार लगाया जाता है और सही रूप \(0.0\overline{74}\) है। \(0.\overline{074}\) में \(074\) दोहरता, जो अलग दशमलव देता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहरने वाले सबसे छोटे अंक-समूह को पहचानें। / In \(0.0747474\ldots\), the first digit after the decimal point is \(0\), and then the block \(74\) repeats: \(0,74,74,74,\ldots\). Hence, the bar is placed only over \(74\), giving \(0.0\overline{74}\). In \(0.\overline{074}\), the entire block \(074\) would repeat, producing a different decimal. Exam tip: identify the shortest repeating block before placing the bar.
एक विद्यार्थी ने दशमलव संख्या \(0.101001000100001\ldots\) लिखी है, जिसमें क्रमागत 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, 4, … है। इस संख्या के बारे में कौन-सा निष्कर्ष सही है?
B. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनावर्ती है/It is irrational because its decimal expansion is non-recurring.
Explanation
Simple Explanation
हर आवर्ती दशमलव में \(p\) अंकों का एक निश्चित खंड बार-बार आता है। यहाँ 1 के बीच शून्यों की संख्या 1, 2, 3, … बढ़ती रहती है, इसलिए कोई स्थिर आवर्त नहीं है और संख्या अपरिमेय है। टिप: केवल 0 और 1 होना परिमेयता सिद्ध नहीं करता। / In a recurring decimal, a fixed block of \(p\) digits repeats. Here, the gaps of zeros between 1s are 1, 2, 3, … and keep increasing, so no fixed period exists; hence the number is irrational. Exam tip: using only 0 and 1 does not make a number rational.
दशमलव के बाद पहले तीन अंक 000 अनावर्ती हैं। इसके बाद 91 का क्रम बार-बार आता है: 0.000 91 91 91...। इसलिए बार केवल 91 पर लगाया जाएगा, अर्थात \(0.000\overline{91}\)। \(0.00\overline{091}\) में 091 का समूह आवर्ती माना जाता है, जो दिए गए दशमलव से मेल नहीं खाता। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले दोहराए जाने वाले सबसे छोटे अंक-समूह को पहचानें। / The first three digits after the decimal point, 000, do not repeat. After them, the block 91 repeats: 0.000 91 91 91... Hence, the bar must be placed only over 91, giving \(0.000\overline{91}\). In \(0.00\overline{091}\), the block 091 is treated as repeating, which does not match the given decimal. Exam tip: identify the smallest repeating block before placing the bar.
\(\frac{21}{160}\) के हर का अभाज्य गुणनखंडन \(160=2^5\times5\) है। सरलतम रूप में हर केवल \(2\) और/या \(5\) के गुणनखंडों वाला हो तो दशमलव प्रसार सांत होता है। \(66,90,84\) में क्रमशः \(3\) या \(7\) भी है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें, फिर हर जाँचें। / For \(\frac{21}{160}\), the denominator is \(160=2^5\times5\). A rational number has a terminating decimal only when its simplified denominator contains only factors \(2\) and/or \(5\). The denominators \(66,90,84\) also contain \(3\) or \(7\). Exam tip: simplify first, then factorise the denominator.
