Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(0.\overline{27}\) एक आवर्ती दशमलव है और परिमेय है। यदि \(x=0.\overline{27}\), तो \(100x-x=27\), अतः \(99x=27\) और \(x=\frac{3}{11}\)। परीक्षा में आवर्ती दशमलव को परिमेय पहचानें। / \(0.\overline{27}\) is recurring but rational. If \(x=0.\overline{27}\), then \(100x-x=27\), so \(99x=27\) and \(x=\frac{3}{11}\). Exam tip: every repeating decimal represents a rational number.
A. \(q\) के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और/या 5 हों / The prime factors of \(q\) are only 2 and / or 5
Explanation
Simple Explanation
सबसे सरल रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 होने पर दशमलव प्रसार सांत होता है। 3 जैसा अन्य गुणनखंड आवर्ती प्रसार देता है। परीक्षा टिप: पहले भिन्न को सरल करें। / In lowest terms, a decimal terminates only when the denominator has prime factors 2 and/or 5. A factor such as 3 causes repetition. Exam tip: reduce the fraction before checking its denominator.
दशमलव क्रम 0.272727… में अंक-समूह 27 लगातार दोहराया जा रहा है। इसलिए बार पूरे दोहराने वाले समूह 27 के ऊपर लगाया जाता है: \(0.\overline{27}\)। \(0.2\overline{7}\) गलत है, क्योंकि वह 0.27777… को दर्शाता है। परीक्षा टिप: बार लगाने से पहले सबसे छोटे दोहराने वाले अंक-समूह को पहचानें। / In the decimal 0.272727…, the block 27 repeats continuously. Therefore, the bar is placed over the complete repeating block: \(0.\overline{27}\). Option \(0.2\overline{7}\) is incorrect because it represents 0.27777…. Exam tip: first identify the shortest block of digits that repeats.
दशमलव संख्या 5.1333... में दशमलव के बाद पहले 1 आता है, फिर 3 अनंत तक बार-बार आता है। इसलिए सबसे छोटा दोहराने वाला भाग \(3\) है। \(33\) को भी बार-बार लिखे गए समूह के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन आवर्ती भाग का सबसे छोटा रूप \(3\) ही माना जाता है। परीक्षा टिप: आवर्ती दशमलव में वह सबसे छोटा अंक या अंकों का समूह चुनें जो लगातार दोहरता हो। / In 5.1333..., the digit 1 occurs once after the decimal point, and then 3 repeats forever. Therefore, the smallest repeating part is \(3\). Although \(33\) may appear as a repeated group, the repeating block is taken in its shortest form, which is \(3\). Exam tip: identify the shortest digit or group of digits that repeats continuously in a recurring decimal.
C. \(30=2\times3\times5\) में 3 भी एक गुणनखंड है, इसलिए दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होगा।/Since \(30=2\times3\times5\) has 3 as a factor, the decimal expansion will be non-terminating recurring.
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप में किसी भिन्न का दशमलव तभी समाप्त होता है जब हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों। यहाँ \(30=2\times3\times5\) है, इसलिए \(\frac{7}{30}=0.2333\ldots\) आवर्ती है। परीक्षा में पहले हर का गुणनखंडन करें। / A reduced fraction terminates only if its denominator has prime factors 2 and/or 5. Here \(30=2\times3\times5\), so \(\frac{7}{30}=0.2333\ldots\) is recurring. Exam tip: factorise the reduced denominator first.
\(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\), इसलिए यह समाप्त होने वाला और परिमेय दशमलव है। \(\sqrt{2}\) तथा \(\pi\) अपरिमेय हैं। परीक्षा में समाप्त दशमलव को भिन्न में बदलकर जाँचें। / \(0.375=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}\), so it is a terminating rational decimal. \(\sqrt{2}\) and \(\pi\) are irrational. Exam tip: convert a terminating decimal into a fraction to verify its type.
\(\frac{7}{40}\) सही है क्योंकि \(40=2^3\times5\) है। सरलतम रूप में हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 5 हों, तो दशमलव प्रसार समाप्त होता है। 30, 45 और 66 में अन्य अभाज्य गुणनखंड भी हैं। परीक्षा टिप: हर का अभाज्य गुणनखंडन जाँचें। / \(\frac{7}{40}\) is correct because \(40=2^3\times5\). A fraction in lowest form has a terminating decimal only when its denominator has no prime factors other than 2 and 5. The denominators 30, 45, and 66 contain other primes. Exam tip: factorise the denominator first.
A. यह परिमेय संख्या है, क्योंकि \(0.125=\frac{1}{8}\) और इसका दशमलव प्रसार सांत है।/It is a rational number because \(0.125=\frac{1}{8}\) and its decimal expansion terminates.
Explanation
Simple Explanation
\(0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), अर्थात यह दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है। इसका दशमलव प्रसार सांत है, इसलिए यह परिमेय है। टिप: सांत या आवर्ती दशमलव परिमेय होते हैं। / \(0.125=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}\), so it can be written as a ratio of integers. Its decimal expansion terminates, hence it is rational. A decimal point or being non-integral does not make a number irrational. Exam tip: terminating or recurring decimals are rational.
अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार न समाप्त होता है और न दोहरता है। इसलिए वह असांत अनावर्ती होता है। / The decimal expansion of an irrational number neither terminates nor repeats. So it is non-terminating non-recurring.
