यदि \(A={x:x\) शब्द ‘गणित’ के अक्षरों का समुच्चय है(}) और \(B=\{ग,ण,ि,त\}\) है, तो कौन सा कथन सही है?
If (A) is the set of letters in the word Mathematics written as distinct symbols and (B) contains exactly those distinct symbols, which statement is correct?
#sets
#equal sets
#letters
#repeated elements
A दोहराव न गिनने पर (A=B) / After ignoring repetitions, (A=B)
B अक्षरों का क्रम अलग हो तो समुच्चय अलग हो जाता है / If the order of letters differs, the sets become different
C किसी शब्द से समुच्चय बन ही नहीं सकता / A set cannot be formed from a word
D हर अक्षर दो बार गिना जाता है / Every letter is counted twice
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Correct Answer
A. दोहराव न गिनने पर (A=B) / After ignoring repetitions, (A=B)
Step 1
Concept
शब्द से बने समुच्चय में समान अक्षर एक ही बार गिना जाता है। / In a set formed from a word, the same letter is counted only once.
Step 2
Why this answer is correct
(A) और (B) में वही भिन्न अक्षर हैं। / (A) and (B) contain the same distinct symbols.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय में क्रम और दोहराव की जगह केवल भिन्न अवयव देखें। / For sets, compare distinct elements, not order or repetition.
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यदि \(A={\varnothing,{\varnothing}}\) है, तो (n(A)) क्या होगा?
If \(A={\varnothing,{\varnothing}}\), what is (n(A))?
#sets
#empty set
#cardinality
#singleton set
A (2)
B (0)
C (1)
D अनंत / Infinite
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Step 1
Concept
(A) के दो अलग अवयव हैं: \(\varnothing\) और \({\varnothing}\)। / (A) has two distinct elements: \(\varnothing\) and \({\varnothing}\).
Step 2
Why this answer is correct
ये दोनों समान नहीं हैं, क्योंकि पहला रिक्त है और दूसरा एक अवयव वाला समुच्चय है। / They are not equal because the first is empty while the second has one element.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय को अवयव के रूप में रखने पर गिनती बदलती है। / When the empty set is placed as an element, it counts as an element.
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यदि \(A=\{{1,2},{2,1}\}\) है, तो (n(A)) कितना है?
If \(A=\{{1,2},{2,1}\}\), what is (n(A))?
#sets
#equal sets
#cardinality
#nested sets
A (1)
B (2)
C (3)
D (0)
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Step 1
Concept
({1,2}) और ({2,1}) समान समुच्चय हैं। / ({1,2}) and ({2,1}) are equal sets.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बाहरी समुच्चय में वास्तव में केवल एक अलग अवयव है। / Therefore the outer set actually has only one distinct element.
Step 3
Exam Tip
समुच्चय के अंदर भी क्रम का महत्व नहीं होता। / Order does not matter even inside a set that is itself an element.
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यदि \(A={x\in \mathbb{N}:x\) (12) और (18) दोनों का भाजक है(}) और \(B=\{1,2,3,6\}\) है, तो सही कथन क्या है?
If \(A={x\in \mathbb{N}:x\) is a divisor of both (12) and (18)(}) and \(B=\{1,2,3,6\}\), what is the correct statement?
#sets
#equal sets
#common divisors
#finite set
A (A=B)
B \(A=\{6\}\)
C \(A=\{1,2,3,4,6,9\}\)
D (A) रिक्त है / (A) is empty
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Step 1
Concept
(12) के भाजक और (18) के भाजक अलग-अलग लिखें। / List the divisors of (12) and (18) separately.
Step 2
Why this answer is correct
समान भाजक (1,2,3,6) हैं, इसलिए (A=B)। / The common divisors are (1,2,3,6), so (A=B).
Step 3
Exam Tip
दोनों का भाजक पूछे जाने पर केवल सामान्य भाजक लें। / When divisors of both numbers are asked, take only common divisors.
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यदि (A) (7) से कम धनात्मक अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है और \(B=\{2,3,5\}\) है, तो सही विकल्प चुनिए।
If (A) is the set of positive prime numbers less than (7) and \(B=\{2,3,5\}\), choose the correct option.
#sets
#equal sets
#prime numbers
#finite set
A (A=B)
B \(A=\{1,2,3,5\}\)
C \(A=\{2,3,5,7\}\)
D \(A=\varnothing\)
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Step 1
Concept
(7) से कम अभाज्य संख्याएँ (2,3,5) हैं। / The prime numbers less than (7) are (2,3,5).
Step 2
Why this answer is correct
(1) अभाज्य नहीं है और (7) सीमा में शामिल नहीं है। / (1) is not prime and (7) is not included by the limit.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वाले प्रश्न में (1) और सीमा को अलग से जाँचें। / In prime-number questions, check (1) and the boundary separately.
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समुच्चय \(A={x\in \mathbb{Z}:x^2+x+1=0}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?
Which statement is correct about \(A={x\in \mathbb{Z}:x^2+x+1=0}\)?
#sets
#empty set
#quadratic equation
#integers
A \(A=\varnothing\)
B \(A=\{-1,0\}\)
C \(A=\{1\}\)
D (A) अनंत है / (A) is infinite
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Correct Answer
A. \(A=\varnothing\)
Step 1
Concept
\(x^2+x+1\) का विविक्तकर (1-4=-3) है। / The discriminant of \(x^2+x+1\) is (1-4=-3).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक मूल ही नहीं हैं, इसलिए पूर्णांक मूल भी नहीं होंगे। / There are no real roots, so there are no integer roots.
Step 3
Exam Tip
विविक्तकर ऋणात्मक हो तो वास्तविक हल-समुच्चय रिक्त होता है। / A negative discriminant gives an empty real solution set.
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यदि \(A={x\in \mathbb{R}:x^2-6x+9=0}\) और \(B=\{3,3,3\}\) है, तो कौन सा कथन सही है?
If \(A={x\in \mathbb{R}:x^2-6x+9=0}\) and \(B=\{3,3,3\}\), which statement is correct?
#sets
#equal sets
#repeated elements
#singleton set
A (A=B)
B \(A\neq B\) क्योंकि (B) में तीन अवयव हैं / \(A\neq B\) because (B) has three elements
C \(A=\varnothing\)
D (A) अनंत है / (A) is infinite
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Step 1
Concept
(x-2 -6x+9=(x-3)2 ) है। / (x-2 -6x+9=(x-3)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
हल केवल (3) है और (B) में दोहराव गिना नहीं जाता। / The only solution is (3), and repetitions in (B) are not counted.
Step 3
Exam Tip
दोहराया मूल और दोहराया अवयव दोनों समुच्चय में एक बार लिखे जाते हैं। / A repeated root and a repeated element are both written once in a set.
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समुच्चय \(A={x\in \mathbb{Z}:x\) सम है और \(x^2=2x}\) क्या है?
What is \(A={x\in \mathbb{Z}:x\) is even and \(x^2=2x}\)?
#sets
#finite set
#even integers
#solution set
A \(A=\{0,2\}\)
B \(A=\{2\}\)
C \(A=\{0\}\)
D \(A=\varnothing\)
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Correct Answer
A. \(A=\{0,2\}\)
Step 1
Concept
\(x^2=2x\) से (x(x-2)=0) मिलता है। / \(x^2=2x\) gives (x(x-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
हल (0) और (2) हैं, और दोनों सम पूर्णांक हैं। / The solutions are (0) and (2), and both are even integers.
Step 3
Exam Tip
शून्य को सम मानकर जाँच करना न भूलें। / Remember to treat (0) as even when checking parity.
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यदि \(A={x\in \mathbb{N}:x\) (20) का गुणज है और (x<20}) है, तो (A) कौन सा समुच्चय है?
If \(A={x\in \mathbb{N}:x\) is a multiple of (20) and (x<20}), which set is (A)?
#sets
#empty set
#multiples
#natural numbers
A रिक्त समुच्चय / Empty set
B एकल समुच्चय / Singleton set
C अनंत समुच्चय / Infinite set
D \(A=\{20\}\)
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Correct Answer
A. रिक्त समुच्चय / Empty set
Step 1
Concept
(20) का पहला धनात्मक गुणज (20) है। / The first positive multiple of (20) is (20).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (x<20) है, इसलिए (20) भी शामिल नहीं हो सकता। / The condition says (x<20), so even (20) cannot be included.
Step 3
Exam Tip
गुणजों में पहली संख्या और असमानता की सीमा साथ जाँचें। / For multiples, check the first multiple along with the inequality boundary.
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यदि \(A={x\in \mathbb{Z}:x\) (6) से विभाज्य है(}) और \(B={x\in \mathbb{Z}:x\) (2) और (3) दोनों से विभाज्य है(}) हैं, तो सही कथन क्या है?
If \(A={x\in \mathbb{Z}:x\) is divisible by (6)(}) and \(B={x\in \mathbb{Z}:x\) is divisible by both (2) and (3)(}), what is correct?
#sets
#equal sets
#infinite set
#divisibility
A (A=B) और दोनों अनंत हैं / (A=B) and both are infinite
B \(A\neq B\)
C (A) परिमित है / (A) is finite
D (B) रिक्त है / (B) is empty
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Correct Answer
A. (A=B) और दोनों अनंत हैं / (A=B) and both are infinite
Step 1
Concept
जो पूर्णांक (6) से विभाज्य है, वह (2) और (3) दोनों से विभाज्य होता है। / Any integer divisible by (6) is divisible by both (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) दोनों से विभाज्य पूर्णांक (6) से भी विभाज्य होता है। / Any integer divisible by both (2) and (3) is divisible by (6).
Step 3
Exam Tip
बराबरी सिद्ध करने में दोनों दिशाओं का विचार करें। / To prove equality, think in both directions.
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