Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। (6) से विभाज्यता में (2) और (3) दोनों नियम साथ लगते हैं। / The number must be even and its digit sum must be divisible by (3). Divisibility by (6) needs both the (2) and (3) tests.
पहले लड़कों को गोल मेज पर (6!) तरीकों से बैठाएं और बने (7) अंतरालों में (5) लड़कियां \(^{7}P_5\) तरीकों से बैठेंगी। गोल अंतराल में पहले एक समूह व्यवस्थित करें। / Arrange the boys around the circle in (6!) ways and place (5) girls in the (7) gaps in \(^{7}P_5\) ways. For circular gaps, arrange one group first.
एक पुस्तक को स्थिर करें तो दूसरी के लिए (5) में से (1) विपरीत स्थान निषिद्ध है और बाकी (4!) तरीके हैं। आमने-सामने वाली शर्त में एक वस्तु स्थिर करें। / Fix one book; for the other, (1) of the (5) positions is forbidden, and the remaining books arrange in (4!) ways. For opposite-position restrictions, fix one object.
(7) अलग अक्षरों और (10) अंकों से (3) अक्षर के बाद (3) अंक वाला कोड बनता है। अक्षर दोहराए नहीं जाते और अंकों में ठीक एक अंक दो बार आता है। कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(^{7}P_3\) तरीके हैं और अंक भाग में दोहराया अंक (10), दूसरा अंक (9) और स्थान (3) तरीकों से चुनते हैं। कोड के भाग अलग-अलग गिनें। / The letter part has \(^{7}P_3\) ways, and in the digit part choose the repeated digit in (10) ways, the other digit in (9) ways and its position in (3) ways. Count code parts separately.
पहले गैर-(T) अक्षरों को (6!/2!) तरीकों से रखें और (7) अंतरालों में से (3) में (T) रखें। समान (T) होने के कारण केवल अंतराल चुनें। / Arrange non-(T) letters in (6!/2!) ways and choose (3) of the (7) gaps for the (T)'s. Since the (T)'s are identical, only choose gaps.
(S,Q) के लिए दूरी (5) वाले (3) स्थान-जोड़े और (2) क्रम हैं, शेष (6) स्थान (6!/3!) तरीकों से भरते हैं। दूरी वाले प्रश्न में स्थान-जोड़े पहले गिनें। / There are (3) position pairs at distance (5) for (S,Q), with (2) orders, and the remaining (6) places fill in (6!/3!) ways. For gap-distance questions, count position pairs first.
चार विशेष व्यक्तियों को निश्चित क्रम वाले एक खंड के रूप में मानें, तब कुल (9) इकाइयां (9!) तरीकों से सजती हैं। निश्चित अंदरूनी क्रम हो तो अतिरिक्त (4!) नहीं लगेगा। / Treat the four specified people as one block with fixed internal order, so (9) units arrange in (9!) ways. If internal order is prescribed, do not multiply by (4!).
पहले (0) और (9) दोनों शामिल वाली व्यवस्थाएं गिनें और फिर उनके साथ वाली व्यवस्थाएं घटाएं। शून्य शामिल हो तो अग्र स्थान की सावधानी जरूरी है। / First count arrangements containing both (0) and (9), then subtract cases where they are adjacent. When (0) is included, handle the leading position carefully.
(9) स्थानों में (5) विषम स्थान हैं, जिनमें (3) स्वर \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) तरीकों से बैठेंगे और व्यंजन (6!/2!) तरीकों से। स्थान-प्रकार पहले तय करें। / There are (5) odd positions among (9); place the (3) vowels in \(^{5}C_3\cdot 3!/2!\) ways and consonants in (6!/2!) ways. Decide position types first.
(A) को स्थिर करने पर (B) और (C) के लिए दो बराबर दूरी वाले स्थान बचते हैं और वे (2!) तरीकों से बदल सकते हैं। बाकी (6) लोग (6!) तरीकों से बैठते हैं। / Fix (A); then (B) and (C) occupy the two equally spaced positions in (2!) ways. The remaining (6) people sit in (6!) ways.
