Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(6) अलग-अलग गणित और (4) अलग-अलग विज्ञान की पुस्तकों को पंक्ति में ऐसे कितने तरीकों से रखें कि विज्ञान की सभी पुस्तकें साथ हों लेकिन गणित की पुस्तकें जरूरी नहीं?
विज्ञान की (4) पुस्तकों को एक ब्लॉक मानें, तब (7) इकाइयां हैं। कुल \(7!\cdot4!=120960\) है। / Treat the (4) science books as one block, giving (7) units. The total is \(7!\cdot4!=120960\).
पहला अंक (5,6,7,8) होना चाहिए और अंतिम अंक विषम होना चाहिए। cases गिनने पर कुल (900) संख्याएं मिलती हैं। / The first digit must be (5,6,7,8), and the last digit must be odd. Counting the cases gives (900) numbers.
पहले (5) लोगों को \(\binom{8}{5}\) तरीकों से चुनें और फिर गोल में ((5-1)!) तरीकों से बैठाएं। कुल \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\) है। / First choose (5) people in \(\binom{8}{5}\) ways and then seat them around a circle in ((5-1)!) ways. The total is \(\binom{8}{5}\cdot4!=1344\).
(10) अक्षरों में (S) तीन, (T) तीन और (I) दो बार है। इसलिए \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\) है। / There are (10) letters with (S) three times, (T) three times and (I) twice. Hence \(\frac{10!}{3!3!2!}=50400\).
यह (6) वस्तुओं का derangement है जिसकी संख्या (!6=265) होती है। परीक्षा में कोई भी सही स्थान पर न हो तो derangement सोचें। / This is a derangement of (6) objects, whose number is (!6=265). In exams, when none is in the correct place, think derangement.
कुल वैध (5)-अंकीय संख्याएं \(8\cdot{}^{8}P_4\) हैं और बिना (0) वाली \(^{8}P_5\) हैं। अंतर (13440-6720=6720) है। / Total valid (5)-digit numbers are \(8\cdot{}^{8}P_4\), and those without (0) are \(^{8}P_5\). The difference is (13440-6720=6720).
दो छात्रों को ब्लॉक मानकर पहले साथ वाली \(6!\cdot2!\) व्यवस्थाएं लें और तीसरे के end cases घटाएं। उत्तर (1200) है। / Treat the two students as a block, count \(6!\cdot2!\) together arrangements and subtract cases where the third is at an end. The answer is (1200).
दो मोतियों को एक ब्लॉक मानें, तो (7) इकाइयों की necklace संख्या (\frac{(7-1)!}{2}) है और ब्लॉक के अंदर (2!) तरीके हैं। कुल (720) है। / Treat the two beads as one block, so the necklace count for (7) units is (\frac{(7-1)!}{2}), with (2!) internal ways. The total is (720).
हजार स्थान पर (4,5,6,7) में से (4) विकल्प हैं और बाकी \(8\cdot7\cdot6\) तरीके हैं। कुल (1344) है। / The thousands place has (4) choices from (4,5,6,7), and the remaining places have \(8\cdot7\cdot6\) ways. The total is (1344).
(11) अक्षरों में (E) तीन, (N) तीन, (G) दो और (I) दो बार हैं। संख्या \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\) है। / There are (11) letters with (E) three times, (N) three times, (G) twice and (I) twice. The number is \(\frac{11!}{3!3!2!2!}=277200\).
