Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सूत्र में (162=82+76+70-34-30-27+x) होगा, इसलिए (x=15)। अज्ञात केंद्रीय भाग के लिए समीकरण बनाएं। / In the formula (162=82+76+70-34-30-27+x), so (x=15). Form an equation for the unknown central part.
ठीक दो (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58) है। हर जोड़ी में केंद्रीय भाग शामिल होता है, इसलिए उसे घटाएं। / Exactly two (=(36-14)+(33-14)+(31-14)=58). Each pairwise intersection includes the central part, so subtract it.
केवल \(A\) में आने वाले तत्वों की संख्या \(n(A)-n(A\cap(B\cup C))\) होगी। समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत से \(n(A\cap(B\cup C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)=40+37-16=61\)। त्रि-छेदीय भाग को एक बार घटाना आवश्यक है, क्योंकि वह पहले दो छेदों में दो बार गिना गया है। इसलिए केवल \(A\) में तत्व \(94-61=33\) हैं। विकल्प 31 में सामान्यतः त्रि-छेद के चिह्न या जोड़-घटाव की गलती होती है। परीक्षा-सुझाव: दो छेदों के योग से साझा त्रि-छेदीय भाग एक बार घटाना न भूलें। / The elements only in \(A\) are \(n(A)-n(A\cap(B\cup C))\). By inclusion–exclusion, \(n(A\cap(B\cup C))=n(A\cap B)+n(A\cap C)-n(A\cap B\cap C)=40+37-16=61\). The triple intersection must be subtracted once because it is counted in both pairwise intersections. Hence, the number of elements only in \(A\) is \(94-61=33\). Option 31 usually results from a sign or arithmetic error involving the triple intersection. Exam tip: whenever two overlapping parts are added, subtract their common overlap once.
कम से कम दो (=(48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94) है। ठीक दो निकालकर तीनों वाला भाग जोड़ें। / At least two is ((48-17)+(41-17)+(39-17)+17=94). Find exactly two and then add the all-three part.
तीन समुच्चयों में केवल (A=31), केवल (B=26), केवल (C=24), केवल \(A\cap B=15\), केवल \(B\cap C=13\), केवल \(C\cap A=11\) और \(A\cap B\cap C=8\) हैं। यदि (n(U)=160), तो (n(\(A\cup B\cup C\)^c)) कितना होगा?
अंदर का संघ (31+26+24+15+13+11+8=128), इसलिए बाहर (160-128=32)। सातों अंदरूनी क्षेत्रों को जोड़ें। / The inside union is (31+26+24+15+13+11+8=128), so outside is (160-128=32). Add all seven inside regions.
(A) के सभी अंदरूनी भागों का योग (25+14+12+9=60) है। किसी समुच्चय की कुल संख्या उसके वृत्त के सभी भागों से मिलती है। / The sum of all inside parts of (A) is (25+14+12+9=60). The total of a set is found from all regions inside its circle.
\(A\cup B\) में \(A\triangle B\) और \(A\cap B\) दोनों भाग होते हैं, इसलिए (137-96=41)। सममित अंतर में साझा भाग नहीं आता। / \(A\cup B\) contains both \(A\triangle B\) and \(A\cap B\), so (137-96=41). The symmetric difference excludes the common part.
(n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), इसलिए (104=170-2x) से (x=33)। ठीक एक और साझा भाग अलग रखें। / (n\(A\triangle B\)=n(A)+n(B)-2n\(A\cap B\)), so (104=170-2x) gives (x=33). Keep exactly one and common parts separate.
क्योंकि (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (157+83=240) सही है। पूरक क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / Since (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), (157+83=240) is true. Complementary regions together form the whole (U).
(6) के गुणज (12), (8) के गुणज (9) और (24) के गुणज (3) हैं, इसलिए (12+9-3=18)। साझा भाग के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / Multiples of (6) are (12), multiples of (8) are (9), and multiples of (24) are (3), so (12+9-3=18). Use the LCM for the common part.
