Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\((U={1,2,3,\ldots,90}), (A={x:x\) 2 से विभाज्य है\(}), (B={x:x\) 3 से विभाज्य है\(}) और (C={x:x\) 5 से विभाज्य है}) हैं। \((n(A\cap B\cap C)) कितना है\)?
तीनों में आने के लिए संख्या (30) से विभाज्य होगी, यानी (30,60,90)। इसलिए संख्या (3) है। / To be in all three sets, a number must be divisible by (30), namely (30,60,90). Hence the count is (3).
(12) से विभाज्य संख्या (3) और (4) दोनों से विभाज्य होती है, इसलिए \(C=A\cap B\)। वेन आरेख में (C) साझा भाग है। / A number divisible by (12) is divisible by both (3) and (4), so \(C=A\cap B\). In the Venn diagram, (C) is the common part.
A. इनसे (n\(A\cup B\cup C\)) निश्चित हो जाता है/These determine (n\(A\cup B\cup C\))
Explanation
Simple Explanation
केवल कुछ अंतर क्षेत्रों से पूरा संघ निश्चित नहीं होता क्योंकि कई साझा भाग अज्ञात रहते हैं। डेटा पर्याप्त है या नहीं, पहले जांचें। / A few difference regions alone do not determine the whole union because many common regions remain unknown. First check whether the data is sufficient.
(n\(A\cap B\)=56-19=37) है और (61-24=37) से पुष्टि होती है। दोनों तरफ से समान साझा भाग मिलना चाहिए। / (n\(A\cap B\)=56-19=37), and (61-24=37) confirms it. The same common part should be obtained from both sides.
(A) से साझा भाग (64-22=42), लेकिन (B) से (59-20=39) मिलता है। दोनों बराबर नहीं हैं, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / From (A), the common part is (64-22=42), but from (B), it is (59-20=39). Since these are not equal, the data are inconsistent.
एक सर्वे में (n(U)=260), (n(A)=118), (n(B)=104), (n(C)=92), (n\(A\cap B\)=48), (n\(B\cap C\)=41), (n\(C\cap A\)=37) और (n\(A\cap B\cap C\)=16) हैं। किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (118+104+92-48-41-37+16=204) है, इसलिए कोई नहीं (260-204=56)। पहले तीन-समुच्चय संघ निकालें। / The union is (118+104+92-48-41-37+16=204), so none is (260-204=56). First find the three-set union.
तीन समुच्चयों में (n\(A\cup B\cup C\)=172), केवल (A=38), केवल (B=34), केवल (C=29), केवल \(A\cap B=21\), केवल \(B\cap C=18\) और केवल \(C\cap A=16\) हैं। (n\(A\cap B\cap C\)) कितना होगा?
ज्ञात छह अंदरूनी क्षेत्रों का योग (38+34+29+21+18+16=156) है, इसलिए केंद्रीय भाग (172-156=16)। संघ में सातों अंदरूनी क्षेत्र आते हैं। / The sum of the six known inside regions is (38+34+29+21+18+16=156), so the central part is (172-156=16). The union contains all seven inside regions.
\(n(A\cup B\cup C)\) में उन सभी क्षेत्र‑ों के तत्व आते हैं जो परस्पर अलग (disjoint) हैं: ठीक एक वाले, ठीक दो वाले और तीनों वाले। इसलिए कुल = 84 + 63 + 18 = 165। निकटतम भ्रामक विकल्प 147 तब बनता है जब कोई तीनों में आने वाले 18 को भूल जाए (84+63) — यह गलत है क्योंकि तीनों में आने वाले अलग से जोड़े गए हैं। परिक्षा सुझाव: दिया गया मान "exactly" है; पहले यह सुनिश्चित कर लें कि मान अलग‑अलग (disjoint) क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं या नहीं। / The union counts every disjoint region once: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three sets. So |A∪B∪C| = 84 + 63 + 18 = 165. A common mistake gives 147 by omitting the 18 that belong to all three (84+63), which is incorrect. Exam tip: always check whether given numbers mean "exactly" (disjoint regions) or "at least" (may require inclusion–exclusion adjustments).
ठीक दो (156-74-17=65) हैं। संघ को ठीक एक, ठीक दो और तीनों में बांटकर हल करें। / Exactly two is (156-74-17=65). Solve by dividing the union into exactly one, exactly two, and all three.
कुल सदस्यता (96+88+82=266) है। यह ठीक एक \(+2\times69+3\times21\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (266-138-63=65)। / Total memberships are (96+88+82=266). This equals exactly one \(+2\times69+3\times21\), so exactly one is (266-138-63=65).
