Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले (n(B-A)=128-45-32=51), फिर (n(B)=51+32=83)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों आते हैं। / First (n(B-A)=128-45-32=51), then (n(B)=51+32=83). (B) contains only (B) and the common part.
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (190-143=47)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (190-143=47). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (210-52=158) होना चाहिए। (170) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (210-52=158). Since (170) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (37+18=55)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (37+18=55). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-29=121)। साझा भाग का पूरक (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-29=121). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
तीन अंदरूनी भागों का योग (41+34+26=101) है, इसलिए बाहर (130-101=29)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (41+34+26=101), so outside is (130-101=29). The four regions together form the whole (U).
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (52+39=91) होना चाहिए। (100) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (52+39=91). Since (100) is given, the data are inconsistent.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=84, n(B)=78, n(C)=72 हैं। ठीक एक समुच्चय में 96 तत्व हैं और तीनों में 12 तत्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्व होंगे?
कुल सदस्यता (membership) का योग है
\(84+78+72=234\)। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्वों की संख्या हो तो सदस्यता योग को समूहों के योगदान के रूप में लिखा जा सकता है: ठीक एक समुच्चय के तत्व एक-एक बार गिने जाते हैं, ठीक दो समुच्चयों के तत्व प्रत्येक दो बार गिने जाते हैं, और तीनों में के तत्व तीन बार गिने जाते हैं। इसलिए
\(234 = 96 + 2x + 3\times12\). इससे \(2x = 234-96-36 = 102\) और \(x = 51\)।
गलत विकल्पों की जाँच: यदि x=60 होता तो \(96+2\times60+3\times12=252\) जो 234 के बराबर नहीं है। परीक्षा टिप: Venn आरेख बनाकर प्रत्येक क्षेत्र की multiplicity याद रखें — ठीक दो वाले हिस्से को दो बार गिनना होता है और तीनों में वाले को तीन बार। / Total membership count is \(84+78+72=234\). Let x be the number of elements in exactly two sets. In the sum of memberships each element in exactly one is counted once, each element in exactly two is counted twice, and each element in all three is counted three times. Thus
\(234 = 96 + 2x + 3\times12\). So \(2x = 234-96-36 = 102\) and \(x = 51\).
Why the nearest distractor is wrong: plugging x=60 gives \(96+2\times60+3\times12=252\neq234\). Exam tip: draw the three-set Venn diagram and write the total-membership equation \(\text{sum}=\text{one}+2\times\text{two}+3\times\text{three}\) before solving.
पहले (n\(A\cap B\)=82+76-139=19)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (190-19=171)। दिए गए विकल्पों में कोई भी सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=82+76-139=19). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (190-19=171). None of the given options is correct.
कोर विचार: किसी भी तीन समुच्चयों का समेक (union) आपस में अलग-चिन्हित भागों का योग होता है — ठीक एक समुच्चय में वाले + ठीक दो समुच्चयों में वाले + तीनों में वाले। यहाँ दिया है \(n(A\cup B\cup C)=205\), ठीक दो में कुल = 83 और तीनों में = 24। अत: ठीक एक = \(205-83-24=98\)। निकटतम भ्रामक विकल्प 107 इसलिए गलत है क्योंकि यह उस गलत धारणा से मिल सकता है कि किसी दिए हुए हिस्से को अलग तरह से घटाया गया हो; सही तरीका है यूनियन को disjoint भागों में विभाजित करना। परीक्षा टिप: सभी भागों को "ठीक एक, ठीक दो, तीनों" के रूप में अलग-अलग लिखकर ही घटाव करें ताकि ओवरलैप दोबारा न गिनें। / Core idea: The union of three sets breaks into disjoint parts: elements in exactly one set + exactly two sets + all three. Given \(n(A\cup B\cup C)=205\), exactly two = 83 and exactly three = 24, so exactly one = \(205-83-24=98\). Why the closest distractor (107) is wrong: 107 would arise only by a mistaken manipulation of the given counts (for example misinterpreting which counts are disjoint); the correct method is to decompose the union into disjoint categories before subtracting. Exam tip: Always partition the union into disjoint regions (label them) to avoid double-counting or misinterpretation of "exactly two" vs pairwise intersections.
