Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), इसलिए इसका मान (44+36=80) होना चाहिए। (92) दिया है, इसलिए आंकड़े असंगत हैं। / (A\triangle B=\(A\cap B^c\)\cup\(A^c\cap B\)), so its value should be (44+36=80). Since (92) is given, the data are inconsistent.
तीन समुच्चयों A, B, C के लिए n(A)=72, n(B)=66, n(C)=60 दिए हैं; ठीक एक समुच्चय में 84 तत्त्व हैं और तीनों में 10 तत्त्व हैं। ठीक दो समुच्चयों में कितने तत्त्व हैं?
तीन समुच्चयों के समुच्च्यक योग से कुल सदस्यताएँ मिलती हैं: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198। यदि x = ठीक दो समुच्चयों में तत्त्वों की संख्या हो, तो प्रत्येक ऐसा तत्त्व दो बार कुल योग में गिना जाता है और जो तत्त्व तीनों में हैं वे तीन बार गिने जाते हैं। अतः
\(198 = 84 + 2x + 3\times10\).
इसके से \(198=84+2x+30=114+2x\) और \(2x=84\) इसलिए \(x=42\)।
भ्रष्ट विकल्प का कारण: विकल्प C (52) तब आ सकता है जब तीन-समुच्चय के योगदान का गलत उपयोग कर के केवल एक बार घटाया जाए — लेकिन ठीक-दो के सदस्य कुल योग में दो-दो बार गिने जाते हैं।
परीक्षा-सूत्र: Venn आरेख बनाकर या inclusion–exclusion के रूप में "कुल सदस्यताएँ = ठीक एक + 2×(ठीक दो) + 3×(ठीक तीन)" याद रखें। / Sum of memberships gives total counts: n(A)+n(B)+n(C)=72+66+60=198. Let x be the number of elements in exactly two sets. Elements in exactly one set contribute once, those in exactly two sets contribute twice to the sum of sizes, and those in all three contribute three times. Thus
\(198 = 84 + 2x + 3\times10\).
So \(198=84+2x+30=114+2x\), hence \(2x=84\) and \(x=42\).
Why a common wrong answer appears: option C (52) can result from mishandling the triple intersection (for example subtracting it only once instead of accounting for how many times it's counted). Remember that exactly-two elements are counted twice in the sum of individual set sizes.
Exam tip: Draw a three-circle Venn or use the equation "total memberships = exactly one + 2×(exactly two) + 3×(exactly three)" to avoid double-counting errors.
पहले (n\(A\cap B\)=73+67-115=25)। फिर (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (150-25=125), अतः दिए गए विकल्पों में कोई सही नहीं है। / First (n\(A\cap B\)=73+67-115=25). Then (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (150-25=125), hence none of the given options is correct.
कभी-कभी संघ की कुल संख्या को अलग-अलग हिस्सों में बाँटकर देखा जाता है: कुल संघ = ठीक एक में होने वाले + ठीक दो में होने वाले + तीनों में होने वाले। यहाँ ठीक दो का मान दिया हुआ है (70) और तीनों का मान \(20\) है। इसलिए ठीक एक = \(180-70-20=90\)। निकटतम ग़लत विकल्प (110) वह त्रुटि दर्शाता है जहाँ केवल तीनों को न घटाकर (सिर्फ \(180-70\)) गलत परिणाम लिया गया हो। परीक्षा-सुझाव: तुरंत नंबर घटाने से पहले एक साधारण Venn आरेख बनाकर तीनों क्षेत्रों को लेबल कर लें—यह "ठीक दो" और "जोड़ा-बिंदु" (pairwise intersection) के बीच अंतर स्पष्ट करता है। / Split the union into disjoint regions: union = (exactly one) + (exactly two) + (all three). Here exactly-two = 70 and all-three = 20, so exactly-one = \(180-70-20=90\). The common error giving 110 comes from subtracting only the "exactly two" part (i.e. \(180-70\)) and forgetting to remove the triple-counted elements. Exam tip: draw a three-set Venn diagram and label the seven regions — it prevents confusion between "exactly two" and pairwise intersections like \(A\cap B\) which may include the triple overlap.
संघ के भागों से (x+2x+15=75), इसलिए (3x=60) और (x=20)। अज्ञात क्षेत्र को समीकरण से हल करें। / From the union regions, (x+2x+15=75), so (3x=60) and (x=20). Solve unknown regions by forming an equation.
पहले (n\(A\cup B\)=210-58=152), फिर (n\(A\cap B\)=96+88-152=32)। बाहर का भाग मिले तो पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=210-58=152), then (n\(A\cap B\)=96+88-152=32). If the outside part is given, find the union first.
पहले (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), इसलिए पूरक (190-144=46) है। बाहर का भाग निकालने से पहले संघ निकालें। / First (n\(A\cup B\)=91+87-34=144), so the complement is (190-144=46). Find the union before finding the outside region.
संघ के तीन अलग भाग होते हैं, इसलिए (n\(A\cap B\)=148-52-43=53)। अलग क्षेत्रों को केवल एक बार गिनें। / The union has three separate parts, so (n\(A\cap B\)=148-52-43=53). Count each separate region only once.
संघ में सममित अंतर और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (112+39=151)। \(A\triangle B\) में साझा भाग शामिल नहीं होता। / The union contains both the symmetric difference and the common part, so (112+39=151). \(A\triangle B\) does not include the common part.
ठीक एक समुच्चय में आने वाले विद्यार्थियों की संख्या का सूत्र है \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\)। इसे मानों में रखकर: \(98=86+78-2n(A\cap B)=164-2x\)। अतः \(2x=66\) और \(x=33\)। सबसे निकट वाला विकल्प 31 गलत है क्योंकि उससे \(164-2\times31=102\) मिलेगा, न कि 98। परीक्षा सुझाव: "ठीक एक" वाले छात्रों के लिए हमेशा \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\) का प्रयोग करें या Venn चित्र से ही निकालें। / The number in exactly one set equals \(n(A)+n(B)-2n(A\cap B)\). Substitute values: \(98=86+78-2x=164-2x\), so \(2x=66\) and \(x=33\). The closest distractor 31 is wrong because it would give \(164-2\times31=102\), not 98. Exam tip: remember the "exactly one" formula or derive it from the two-circle Venn diagram to avoid sign errors.
