Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि तीन समुच्चयों में ठीक एक समुच्चय में 71 तत्व हैं, ठीक दो समुच्चयों में 46 तत्व हैं और तीनों समुच्चयों में 15 तत्व हैं, तो \(n(A\cup B\cup C)\) कितना होगा?
समुच्चयों का संयुक्त समुच्चय उन सभी तत्वों को रखता है जो ठीक एक क्षेत्र, ठीक दो-क्षेत्रों या तीनों में मौजूद हैं। यहाँ दिए गए मान "ठीक एक", "ठीक दो" और "तीनوں" के लिए हैं, अतः कुल = 71 + 46 + 15 = 132। विकल्प B (117) उस त्रि-आवरण (15) को छोड़ देता है इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: प्रश्न में "exactly/ठीक" शब्दों का अर्थ समझ कर ही जोड़ें — यदि मान "exactly" दिए हों तो उन्हें सीधे जोड़ना होता है। / The union contains all elements that lie in exactly one region, exactly two regions, or in all three. Since the counts are given for "exactly one", "exactly two" and "all three", the total is 71 + 46 + 15 = 132. Option B (117) omits the 15 elements that are in all three, so it is incorrect. Exam tip: pay attention to the word "exactly" — when counts are for exactly k sets, the union is the sum of those counts (no further inclusion–exclusion adjustment needed).
समुच्चयों के संयुक्त में तत्त्वों को तीन परस्पर भिन्न वर्गों में बाँटा जा सकता है: ठीक एक में, ठीक दो में और तीनों में। इसलिए \(n(A\cup B\cup C)=\text{(ठीक एक)}+\text{(ठीक दो)}+\text{(तीनों)}\). यहाँ \(128=63+x+11\) जिससे \(x=128-63-11=54\)। सामान्य गलती: कुछ लोग तीनों में आने वाले 11 को बार-बार घटा देते हैं (उदा. \(128-63-22=43\))—यह गलत है क्योंकि तीनों के हिस्से को केवल एक बार घटाना चाहिए। परीक्षा टिप: यूनियन को सीधे तीन विसंयोजित भागों में बाँटकर समस्या तुरंत हल हो जाती है। / Partition the union into three disjoint classes: elements in exactly one set, exactly two sets, and all three. So \(n(A\cup B\cup C)=\text{(exactly one)}+\text{(exactly two)}+\text{(all three)}\). Here \(128=63+x+11\), giving \(x=128-63-11=54\). Common mistake: subtracting the triple-intersection twice (e.g. \(128-63-22=43\)) which double-counts the triple-region; you should subtract it only once. Exam tip: think in terms of disjoint regions (exactly 1, exactly 2, exactly 3) rather than manipulating pairwise counts directly.
कुल सदस्यता (82+76+70=228) है। यह ठीक एक \(+2\times54+3\times18\) के बराबर है, इसलिए ठीक एक (228-108-54=66)। / Total memberships are (82+76+70=228). This equals exactly one \(+2\times54+3\times18\), so exactly one is (228-108-54=66).
पहले (n(B-A)=104-37-26=41), फिर (n(B)=41+26=67)। (B) में केवल (B) और साझा भाग दोनों जोड़ें। / First (n(B-A)=104-37-26=41), then (n(B)=41+26=67). Add only (B) and the common part to get (B).
(A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), इसलिए (160-125=35)। डी मॉर्गन नियम से बाहर का क्षेत्र पहचानें। / (A^c\cap B^c=\(A\cup B\)^c), so (160-125=35). Use De Morgan's law to identify the outside region.
डी मॉर्गन से (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए इसका मान (170-44=126) होना चाहिए। (146) मिलने से आंकड़े असंगत हैं। / By De Morgan's law, (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so its value should be (170-44=126). Since (146) is given, the data are inconsistent.
\(A^c\) में (B-A) और बाहर का भाग आएगा, इसलिए (30+15=45)। (A) के बाहर के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। / \(A^c\) includes (B-A) and the outside region, so (30+15=45). Add all regions outside (A).
(A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), इसलिए (120-22=98)। साझा भाग का पूरक पूरे (U) से साझा भाग घटाकर मिलता है। / (A^c\cup B^c=\(A\cap B\)^c), so (120-22=98). The complement of the common part is found by subtracting it from (U).
वितरण नियम से (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A)। क्योंकि \(B\cap B^c=\varnothing\)। / By distributive law, (\(A\cup B\)\cap\(A\cup B^c\)=A\cup\(B\cap B^c\)=A). This is because \(B\cap B^c=\varnothing\).
तीन अंदरूनी भागों का योग (33+27+18=78) है, इसलिए बाहर (110-78=32)। चार क्षेत्र मिलकर पूरा (U) बनाते हैं। / The sum of the three inside regions is (33+27+18=78), so outside is (110-78=32). The four regions together form the whole (U).
