Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
अंदर का संघ (24+13+26=63) है, इसलिए बाहर (88-63=25) है। बाहरी क्षेत्र हमेशा (U) से अंदर का भाग घटाकर मिलता है। / The inside union is (24+13+26=63), so outside is (88-63=25). The outside region is always found by subtracting the inside part from (U).
क्योंकि (A) पूरा (B) के अंदर है, इसलिए (n(B-A)=73-28=45)। उपसमुच्चय में छोटा वृत्त बड़े वृत्त के अंदर बनता है। / Since (A) lies completely inside (B), (n(B-A)=73-28=45). In subset cases, the smaller circle lies inside the larger circle.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (33+41=74)। \(A\cap B=\varnothing\) दिखे तो घटाने वाला भाग शून्य है। / Disjoint sets have common part (0), so (33+41=74). When \(A\cap B=\varnothing\), the subtracted part is zero.
"ठीक एक" समुच्चय के तत्व वे होते हैं जो केवल A में हों या केवल B में हों, लेकिन दोनों में साथ में नहीं। संघ \(n(A\cup B)\) में "ठीक एक" और "दोनों में" दोनों शामिल होते हैं। इसलिए "ठीक एक" = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\)। विकल्प A (117) उस मात्रा का संकेत देता है जो \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\) के बराबर होती है—यहाँ प्रश्न इसका नहीं पूछ रहा। परीक्षा टिप: दो ओवरलैपिंग सर्किल बनाकर तीन हिस्सों (A सिर्फ, B सिर्फ, दोनों) पर संख्या लिखें; फिर संघ में से अन्तर्मिलन घटा दें। / Elements in exactly one set are those in A only or B only (not in both). The union \(n(A\cup B)\) counts both the "exactly one" regions and the "both" region. Thus exactly one = \(n(A\cup B)-n(A\cap B)=86-31=55\). Option A (117) corresponds to \(n(A)+n(B)=n(A\cup B)+n(A\cap B)\), which is not asked here. Exam tip: draw two overlapping circles, label the three regions (A only, B only, both) and use union minus intersection to get the "exactly one" count quickly.
सममित अंतर में केवल (A) और केवल (B) वाले भाग आते हैं, इसलिए (29+17=46)। साझा भाग इसमें शामिल नहीं होता। / The symmetric difference includes only (A) and only (B), so (29+17=46). The common part is not included.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (105-37=68)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (105-37=68). Here the complement of only the common part is asked.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग तत्व लिखे जाते हैं। दोहराए गए तत्वों को केवल एक बार लिखें। / The union contains all distinct elements of both sets. Write repeated elements only once.
(A-B) में (A) के वे तत्व रहते हैं जो (B) में नहीं हैं। (6,8,12) साझा हैं, इसलिए हट जाते हैं। / (A-B) keeps elements of (A) that are not in (B). (6,8,12) are common, so they are removed.
तीन समुच्चयों का संघ (35+32+29-12-10-9+4=69) है। अंतिम साझा भाग को वापस जोड़ना जरूरी है। / The union of three sets is (35+32+29-12-10-9+4=69). Adding back the final common part is necessary.
तीन समुच्चयों के लिए दिया गया है \(n(A\cap B)=18\), \(n(B\cap C)=16\), \(n(C\cap A)=14\) तथा \(n(A\cap B\cap C)=6\)। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्वों की संख्या कितनी है?
कोर विचार: किसी भी जोड़ी (उदा. A∩B) के उन तत्वों को जो ठीक उसी दो समुच्चयों में हैं प्राप्त करने के लिए उसी जोड़ी के आंतर से तीनों का साझा भाग घटाएँ: \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)\)। इसलिए ठीक दो समुच्चयों में आने वाले कुल तत्व होंगे
\((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\).
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B (42) तब आ जाता है जब त्रिकोणीय साझा भाग \(6\) को केवल एक बार घटा दिया जाए (\(18+16+14-6=42\)) — यह गलत है क्योंकि वे 6 तत्व प्रत्येक जोड़ी के आंतर में गिने गए थे और हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। विकल्प C (48) तब होगा जब कोई घटाव न किया जाए (तीनों में आने वाले तत्वों को शामिल कर लिया गया है), और विकल्प D (36) किसी गलत आंशिक घटाव का परिणाम है। परीक्षात्मक सुझाव: "ठीक दो" के लिए हर जोड़ी का आंतर लें और उससे \(n(A\cap B\cap C)\) घटाएँ, फिर जोड़ों का योग करें। / Core idea: For each pair, elements that belong to exactly that pair = n(pair) - n(triple). So compute
\((18-6)+(16-6)+(14-6)=12+10+8=30\), which is the required count.
Why other choices fail: option B (42) comes from subtracting the triple intersection only once (\(18+16+14-6\)) — incorrect because the 6 elements were counted in each pair and must be removed from each pair. Option C (48) ignores the triple overlap entirely; option D (36) is another incorrect partial subtraction. Exam tip: For "exactly two" always subtract the triple intersection from each pairwise intersection, then add the results.
