Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संघ के पूरक में दोनों से बाहर का भाग आता है, इसलिए (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c)। वेन आरेख से यह नियम आसानी से दिखता है। / The complement of a union is the region outside both sets, so (\(A\cup B\)^c=A^c\cap B^c). This rule is easy to see from a Venn diagram.
साझा भाग के बाहर का क्षेत्र \(A^c\cup B^c\) होता है। पूरक लेते समय संघ और प्रतिच्छेद आपस में बदल जाते हैं। / The region outside the common part is \(A^c\cup B^c\). While taking complements, union and intersection interchange.
पूरक (U) से घटाकर मिलता है, इसलिए (75-18=57)। यहां केवल साझा भाग का पूरक पूछा गया है। / The complement is found by subtracting from (U), so (75-18=57). Here the complement of only the common part is asked.
केवल एक विषय = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38। यह सिद्धांत वेंन आरेख और समावेशन–अपवाद (inclusion–exclusion) से आता है। विकल्प 58 गलत है क्योंकि यह n(A∪B)=36+42−20=58 है — यानी कम से कम एक विषय चुनने वाले छात्र; विकल्प 20 वे छात्र हैं जिन्होंने दोनों विषय चुने; 78 बस दोनों समूहों का कुल योग है जिसमें ओवरलैप को दो बार गिन लिया गया। परीक्षा टिप: वेंन आरेख बनाकर बीच में 20 रखें, किनारों से घटा कर केवल एक वाले हिस्से निकाले। / Exactly one = (36−20)+(42−20) = 16+22 = 38. This follows from a Venn diagram or the inclusion–exclusion idea: n(exactly one)=n(A)+n(B)−2n(A∩B). Option 58 is incorrect because it equals n(A∪B)=36+42−20=58 (students who chose at least one subject). Option 20 counts those who chose both; 78 is simply 36+42, double-counting the overlap. Exam tip: draw a Venn diagram, place 20 in the intersection and subtract it from each circle to get the only-one counts.
कम से कम एक (31+29-11=49) है, इसलिए कोई नहीं (65-49=16)। सर्वे प्रश्नों में पहले संघ निकालना उपयोगी है। / At least one is (31+29-11=49), so neither is (65-49=16). In survey questions, finding the union first is useful.
\(A\cup B\) में पूरा (A) और (B-A) शामिल है, इसलिए (46+26=72)। अतः साझा भाग पहले से (A) में है और अतिरिक्त मान (0) निकलता है। / \(A\cup B\) contains all of (A) and (B-A), so (46+26=72). Thus the common part is already inside (A), and the extra value is (0).
सार्वत्रिक समुच्चय सभी क्षेत्रों का योग है, इसलिए (18+12+22+8=60)। वेन आरेख में कोई क्षेत्र छोड़ना नहीं चाहिए। / The universal set is the sum of all regions, so (18+12+22+8=60). In a Venn diagram, no region should be missed.
संघ (14+9+17=40) है, इसलिए बाहर (55-40=15)। बाहर का क्षेत्र संघ का पूरक होता है। / The union is (14+9+17=40), so outside is (55-40=15). The outside region is the complement of the union.
तीन समुच्चयों के वेन आरेख में \(n(A\cap B)=12\), \(n(B\cap C)=13\), \(n(C\cap A)=10\) और \(n(A\cap B\cap C)=4\) दिए गए हैं। ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्व कुल कितने हैं?
ठीक दो समुच्चयों में आने वाले तत्त्वों के लिये प्रत्येक जोड़ी के केवल-जोड़ी वाले हिस्से (pair-only region) निकालें। उदाहरणतः A और B में केवल वही तत्त्व होंगे जो A∩B में हैं पर तीनों में नहीं हैं, यानी \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\)। इसी तरह B और C के लिये \(13-4=9\) और C तथा A के लिये \(10-4=6\)। इन्हें जोड़ने पर कुल \(8+9+6=23\) मिलता है, इसलिए उत्तर 23 है। निकटतम भ्रांत उत्तर 31 इसलिए गलत है क्योंकि वह समहित जोड़ीगण के योग \(35\) में से केवल एक बार त्रि-आवरण भाग \(4\) घटा देता है (\(35-4=31\)) जबकि त्रि-आवरण को हर जोड़ी से घटाना आवश्यक है। परीक्षा सुझाव: पहले तीनों में आने वाले (केन्द्र) को लिखें और फिर प्रत्येक जोड़ी के लिए (जोड़ी का इंटरसेक्शन) − (त्रि-आवरण) निकालें ताकि डबल-काउंटिंग न हो। / Count the elements that lie in exactly two sets by computing each pair-only region: for A∩B only compute \(n(A\cap B)-n(A\cap B\cap C)=12-4=8\); for B∩C only \(13-4=9\); for C∩A only \(10-4=6\). Summing gives \(8+9+6=23\). The common wrong answer 31 arises from subtracting the triple-overlap only once from the total pairwise sum \(12+13+10=35\), i.e. \(35-4=31\), which is incorrect because the triple-overlap is included in each pair and must be removed from each pair separately. Exam tip: mark the central (three-way) region first, then compute each pair-only region as (pair intersection) − (central) to avoid double-counting.
यदि (n(A)=25), (n(B)=22), (n(C)=19), (n\(A\cap B\)=7), (n\(B\cap C\)=6), (n\(C\cap A\)=5), (n\(A\cap B\cap C\)=2) और (n(U)=60) है, तो किसी भी समुच्चय में नहीं आने वाले कितने हैं?
संघ (25+22+19-7-6-5+2=50) है, इसलिए कोई नहीं (60-50=10)। तीन समुच्चयों में अंतिम साझा भाग वापस जोड़ें। / The union is (25+22+19-7-6-5+2=50), so none is (60-50=10). In three sets, add back the final common part.
