Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(n(A)=50\), \(n(A\cap B)=21\), \(n(A\cap C)=19\) और \(n(A\cap B\cap C)=8\) हैं, तो केवल A में कितने तत्त्व हैं (अर्थात A में हैं पर B या C में नहीं)?
केवल A के तत्त्वों की संख्या निकालने के लिए शामिल‑अपवाद का सिध्दान्त लागू करें। केवल A = \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)। यहाँ हिसाब यह है: \(50-21-19+8=18\)। कारण: जो तत्त्व A∩B और A∩C दोनों में आते हैं, उन्हें दोनों उपसर्गों से दो बार घटा दिया गया होता है, इसलिए त्रि‑इंटरसेक्शन को एक बार जोड़ना आवश्यक है। सामान्य भूल: त्रि‑इंटरसेक्शन \(+8\) जोड़ना भूल जाने पर परिणाम \(50-21-19=10\) (विकल्प A) आ जाएगा — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: प्रश्न पढ़ते समय Venn आरेख बनाकर हर क्षेत्र को चिह्नित करें और शामिल‑अपवाद का छोटा सूत्र याद रखें। / Use the inclusion–exclusion idea restricted to elements of A. The number only in A equals \(n(A)-n(A\cap B)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C)\). Substituting gives \(50-21-19+8=18\). Explanation: elements in both A∩B and A∩C were subtracted twice, so the triple intersection must be added back once. Common mistake: forgetting the +8 yields 10 (option A). Exam tip: draw a three‑circle Venn diagram and label the three intersection regions to avoid sign errors and double counting.
केवल (A) और (B) के लिए (24-9=15) होगा। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद में तीनों का साझा भाग शामिल रहता है। / For only (A) and (B), (24-9=15). A pairwise intersection includes the common part of all three.
C. (A-B) और (B-A) का संयुक्त भाग/Combined part of (A-B) and (B-A)
Explanation
Simple Explanation
\(A\triangle B\) में वे तत्व आते हैं जो ठीक एक समुच्चय में हों। इसलिए साझा भाग शामिल नहीं होता। / \(A\triangle B\) contains elements that are in exactly one set. Therefore the common part is not included.
सममित अंतर (A-B) और (B-A) का योग है, इसलिए (64-27=37)। साझा भाग इसमें नहीं आता। / The symmetric difference is the sum of (A-B) and (B-A), so (64-27=37). The common part is not included.
दो समुच्चयों में "ठीक एक" तत्वों की संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है: \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). यहाँ \(n(A)+n(B)=39+44=83\)। इसलिए \(83-2\,n(A\cap B)=51\)। इससे \(2\,n(A\cap B)=32\) और अतः \(n(A\cap B)=16\)। विकल्प A (12) गलत है क्योंकि यदि \(n(A\cap B)=12\) होता तो ठीक एक = \(83-2\times12=59\) होता, जो दिया गया 51 से मेल नहीं खाता। परीक्षा-सूत्र: एक सरल वेन-आरेख बनाकर मध्य भाग (इंटरसेक्शन) को \(x\) मानें और बाहर के दो हिस्सों को क्रमशः \(39-x\) और \(44-x\) लिखकर कुल "ठीक एक" जोड़ लें—यह जल्दी और त्रुटि-रहित तरीका है। / For two sets the number of elements in exactly one set is given by \(\text{exactly one}=n(A)+n(B)-2\,n(A\cap B)\). Here \(n(A)+n(B)=39+44=83\). So \(83-2\,n(A\cap B)=51\), giving \(2\,n(A\cap B)=32\) and \(n(A\cap B)=16\). Option A (12) is wrong because substituting 12 gives \(83-2\times12=59\), not 51. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram, label the intersection as \(x\) and express the two outer regions as \(39-x\) and \(44-x\); summing the outer regions equals the "exactly one" count and avoids algebraic sign mistakes.
कम से कम एक (34+31-13=52) है, इसलिए कोई नहीं (72-52=20)। पहले संघ निकालना आसान तरीका है। / At least one is (34+31-13=52), so neither is (72-52=20). Finding the union first is the easy method.
केवल चाय वाले उन लोगों की संख्या है जो चाय पसंद करते हैं पर कॉफी नहीं। कुल चाय में से दोनों पसंद करने वालों को घटाएँ: \(45-15=30\)। इसलिए केवल चाय पसंद करने वाले 30 हैं। विकल्प (66) गलती से 'चाय या कॉफी' (यूनियन) निकालने पर मिलता है: \(45+36-15=66\), जो प्रश्न का उत्तर नहीं है। परीक्षा युक्ति: हल में एक सरल वैन-आंकड़ा बनाइए — प्रत्येक वृत्त का सिर्फ़ वह भाग लें जो दूसरे वृत्त से ओवरलैप नहीं होता। / Only-tea means tea-likers who do not like coffee. Subtract the overlap from total tea: \(45-15=30\). Thus 30 people like only tea. Option 66 is a common mistake — it equals the union (tea or coffee) computed as \(45+36-15=66\), not 'only tea'. Exam tip: draw a two-circle Venn diagram and subtract the intersection from the tea circle to find 'only tea'.
क्योंकि (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), अतिरिक्त जानकारी से प्रतिच्छेद (0) नहीं निकलता बल्कि निर्धारित नहीं होता। दिए गए विकल्पों में यह प्रश्न जाल है और सही निष्कर्ष यह है कि (n\(A\cap B\)) निर्धारित नहीं किया जा सकता। / Since (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B-A)=63+34=97), the intersection is not found from this data. This is a trap question, and the correct conclusion should be that (n\(A\cap B\)) cannot be determined.
जब (A) पूरा (B) में होता है, तब संघ (B) ही होता है। उपसमुच्चय पहचानने से उत्तर जल्दी मिलता है। / When (A) is completely inside (B), the union is (B). Recognizing a subset helps answer quickly.
असंबद्ध होने पर हर तत्व ठीक एक समुच्चय में आता है, इसलिए (36+42=78)। साझा भाग शून्य है। / When sets are disjoint, every element belongs to exactly one set, so (36+42=78). The common part is zero.
