Practice focused topic-wise MCQs with answers and explanations for quick revision and exam preparation.
Difficulty select karke sirf is topic ke focused MCQs practice karein. Score, timer aur explanations student-friendly flow me milenge.
Showing 371-380 of 417 questions.
A. (A=B)
(18) के धनात्मक भाजक (1,2,3,6,9,18) हैं। सूची रूप में बदलकर सदस्य मिलाना सबसे अच्छा तरीका है। / The positive divisors of (18) are (1,2,3,6,9,18). Converting to roster form is the best way to compare elements.
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If \(A=\{1,2,3,4,5\}\), how many subsets contain (2) and do not contain (4)?
B. (8)
(2) निश्चित है, (4) बाहर है और (1,3,5) स्वतंत्र हैं। इसलिए \(2^3=8\) उपसमुच्चय बनेंगे। / Element (2) is fixed, (4) is excluded, and (1,3,5) are free. Hence \(2^3=8\) subsets are possible.
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If ({2,a}={5,2}), what is the value of (a)?
C. (5)
दोनों समुच्चयों में (2) पहले से समान है, इसलिए दूसरा सदस्य (5) होना चाहिए। समुच्चय में क्रम का महत्व नहीं होता। / Both sets already share (2), so the other element must be (5). Order does not matter in sets.
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If \(A=\{1,1,2,2,3\}\) and \(B=\{3,2,1\}\), which statement is true?
A. \(A = B\)
समुच्चयों में किसी सदस्य की पुनरावृत्ति मायने नहीं रखती; प्रत्येक तत्व केवल एक बार गिना जाता है। इसलिए \(A\) के अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं और \(B\) के भी अलग-अलग सदस्य \(\{1,2,3\}\) हैं। दो समुच्चय तब समान होते हैं जब प्रत्येक का हर तत्व दूसरे में भी हो — यह यहाँ सत्य है, इसलिए \(A=B\)। विकल्प (B) और (C) — "proper subset" तब होता यदि एक समुच्चय दूसरे का सख्त उपसमुच्चय हो (यानि दूसरे में अतिरिक्त तत्व हों), पर यहाँ कोई अतिरिक्त तत्व नहीं हैं; इसलिए वे गलत हैं। विकल्प (D) भी गलत है क्योंकि दोनों समुच्चय समान हैं। परीक्षात्मक सुझाव: किसी समुच्चय को लिखते समय पुनरावृत्तियों को हटाकर सूची बनाएं और तत्वों की तुलना उसी से करें। / In set theory repeated listing of an element does not change the set; elements are considered without multiplicity. So the distinct elements of \(A\) are \(\{1,2,3\}\), which equals the distinct elements of \(B\). Two sets are equal iff every element of one is an element of the other; that condition holds, hence \(A=B\). Options (B) and (C) assert a proper subset relation, which would require one set to have strictly fewer elements than the other — not true here. Option (D) is false because the sets are identical. Exam tip: remove repeated entries and compare the resulting distinct-element sets.)
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If \(A=\{p,q\}\) and \(B=\{p,q,r,s\}\), how many subsets \(X\) satisfy \(A\subset X\subseteq B\)?
B. 3
क्यों सही: \(A\subset X\subseteq B\) का अर्थ है कि \(X\) में कम-से-कम \(p,q\) हों और \(X\) केवल \(B\) के तत्व ही ले सकता है। बचे हुए स्वतंत्र तत्व हैं \(r\) और \(s\) — हर एक को शामिल/न शामिल करने के दो विकल्प हैं, यानी कुल \(2^2=4\) संभाव्य समुच्चय जो \(A\) को शामिल करते हैं। परन्तु सही होना चाहिए कि \(X\neq A\), इसलिए उस एक स्थिति (जब ना \(r\) और ना \(s\) लिया गया) को हटाना होगा। अतः कुल = \(2^2-1=3\)। नज़दीकी भ्रम: 4 चुनने वालों की गलती यह है कि वे \(X=A\) को भी गिन लेते हैं। परीक्षा टिप: "मुक्त तत्वों" की संख्या निकालें और \(2^n\) में से आवश्यकतः बराबरता की स्थिति घटाएँ। / Why correct: \(A\subset X\subseteq B\) means every \(X\) must contain \(p\) and \(q\) and may include each of the remaining elements \(r,s\) independently. That gives \(2^2=4\) choices for including/excluding \(r,s\). Since \(X\) must be a proper superset of \(A\), exclude the case where neither \(r\) nor \(s\) is chosen. So total = \(2^2-1=3\). Closest trap: 4 counts \(X=A\) as well. Exam tip: Count choices for elements outside \(A\) (here \(n=2\)), compute \(2^n\) and subtract 1 if a proper superset is required.
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If (A) has (5) elements, how many three-element subsets does (A) have?
B. (10)
तीन सदस्य चुनने की संख्या \(\binom{5}{3}=10\) है। उपसमुच्चय में क्रम नहीं गिना जाता। / The number of ways to choose three elements is \(\binom{5}{3}=10\). Order is not counted in subsets.
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If (A) has (4) elements, how many elements will (\mathcal{P}(A)) have?
C. (16)
घात समुच्चय में सभी उपसमुच्चय होते हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। (A) के सदस्य और (\mathcal{P}(A)) के सदस्य अलग सोचें। / A power set contains all subsets, so the number is \(2^4=16\). Think separately about elements of (A) and elements of (\mathcal{P}(A)).
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If \(A=\{0,{0}\}\), which is an element of (\mathcal{P}(A))?
A. ({0})
({0}) समुच्चय (A) का उपसमुच्चय है, इसलिए यह (\mathcal{P}(A)) का सदस्य है। घात समुच्चय के सदस्य हमेशा उपसमुच्चय होते हैं। / ({0}) is a subset of (A), so it is an element of (\mathcal{P}(A)). Elements of a power set are always subsets.
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If \(A={\emptyset,2}\), which is both an element of (A) and a subset of (A)?
A. \(\emptyset\)
\(\emptyset\) (A) का सदस्य है और हर समुच्चय का उपसमुच्चय भी है। सदस्यता और उपसमुच्चय दोनों जांचें। / \(\emptyset\) is an element of (A) and also a subset of every set. Check both membership and subset relation.
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If \(A={\emptyset,{\emptyset},3}\), which is a subset of (A) but not an element of (A)?
A. ({3})
({3}) का सदस्य (3) (A) में है, इसलिए यह उपसमुच्चय है। लेकिन ({3}) (A) में सदस्य के रूप में नहीं दिया है। / ({3}) is a subset because \(3\in A\). But ({3}) is not listed as an element of (A).
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