Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{x+4}\) बढ़ता हुआ फलन है और endpoints पर (0) तथा (4) देता है। परीक्षा में closed domain हो तो endpoint values शामिल करें। / \(\sqrt{x+4}\) is an increasing function and gives (0) and (4) at the endpoints. In exams include endpoint values for a closed domain.
इस domain पर denominator धनात्मक है और reciprocal घटता है। (x=3) से \(\frac{1}{2}\) और (x=9) से \(\frac{1}{8}\) मिलता है। / On this domain the denominator is positive and the reciprocal decreases. (x=3) gives \(\frac{1}{2}\) and (x=9) gives \(\frac{1}{8}\).
(x+2) की वैल्यू ([-4,-1]) में है, इसलिए reciprocal \([-1,-\frac{1}{4}]\) देता है। परीक्षा में ऋणात्मक denominator पर क्रम सावधानी से रखें। / The value of (x+2) lies in ([-4,-1]), so the reciprocal gives \([-1,-\frac{1}{4}]\). In exams handle the order carefully for negative denominators.
\(\frac{1}{x-9}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (4) output नहीं बन सकता। परीक्षा में vertical shift से excluded range value पहचानें। / \(\frac{1}{x-9}\) is never (0), so output (4) cannot occur. In exams identify the excluded range value after a vertical shift.
\(\frac{6}{x+5}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (-2) output नहीं मिलता। परीक्षा में reciprocal function की horizontal और vertical shift अलग पहचानें। / \(\frac{6}{x+5}\) is never (0), so output (-2) is not obtained. In exams identify horizontal and vertical shifts of reciprocal functions separately.
\(\frac{x}{x^2-9}\) में हर ((x-3)(x+3)) है, इसलिए \(x=\pm3\) हटते हैं। परीक्षा में rational function में denominator zero values हटाएं। / In \(\frac{x}{x^2-9}\), the denominator is ((x-3)(x+3)), so \(x=\pm3\) are removed. In exams remove denominator zero values in rational functions.
\(\frac{2}{x-1}\) कभी (0) नहीं होता, इसलिए (5) output नहीं मिल सकता। परीक्षा में reciprocal की vertical shift वाली range पहचानें। / \(\frac{2}{x-1}\) is never (0), so output (5) cannot occur. In exams identify the range of a vertically shifted reciprocal.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\) और रेंज \([5,\infty\))/Domain \(\mathbb{R}\) and range \([5,\infty\))
Explanation
Simple Explanation
क्योंकि \(x^2+25\ge25\), इसलिए (f(x)\ge5) और हर वास्तविक (x) स्वीकार्य है। परीक्षा में पहले अंदर की न्यूनतम वैल्यू देखें। / Since \(x^2+25\ge25\), (f(x)\ge5) and every real (x) is allowed. In exams first check the minimum value inside.
A. डोमेन \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\) है/Domain is \(\mathbb{R}\setminus{-4,4}\)
Explanation
Simple Explanation
हर \(x^2-16\) तब (0) होता है जब (x=-4) या (x=4)। परीक्षा में denominator को (0) बनाने वाली values हटाएं। / The denominator \(x^2-16\) becomes (0) when (x=-4) or (x=4). In exams remove values that make the denominator (0).
\(\sqrt{x+6}=4\) से (x+6=16), इसलिए (x=10)। परीक्षा में वर्ग करने के बाद उत्तर को मूल शर्त में जांचें। / \(\sqrt{x+6}=4\) gives (x+6=16), so (x=10). In exams check the answer in the original condition after squaring.
