Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
चूँकि \(|x-6|\geq 0\), इसलिए \(2|x-6|-1\geq -1\)। \(|x-6|=0\) जब \(x=6\) होता है, अतः \(f(6)=-1\) और यह न्यूनतम मान है। \(|x-6|\) के बढ़ने पर फलन का मान बिना ऊपरी सीमा के बढ़ता है। इसलिए रेंज \([-1,\infty)\) है। विकल्प B में \(-1\) का नीचे की ओर स्थानांतरण शामिल नहीं है। परीक्षा-टिप: \(a|x-h|+k\) में \(a>0\) होने पर न्यूनतम मान \(k\) होता है। / Since \(|x-6|\geq 0\), we have \(2|x-6|-1\geq -1\). At \(x=6\), \(|x-6|=0\), so \(f(6)=-1\), which is the minimum value. As \(|x-6|\) increases, the function increases without an upper bound. Therefore, the range is \([-1,\infty)\). Option B ignores the downward shift by 1. Exam tip: In \(a|x-h|+k\), if \(a>0\), the minimum value is \(k\).
क्योंकि \(|x+1|\ge0\), इसलिए \(9-3|x+1|\le9\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative coefficient से range की दिशा बदलती है। / Since \(|x+1|\ge0\), \(9-3|x+1|\le9\) and can go down without bound. In exams a negative coefficient changes the range direction.
\(\sqrt{x+12}\ge0\), इसलिए (f(x)\ge-7)। परीक्षा में बाहर घटाई गई संख्या वर्गमूल की रेंज को नीचे shift करती है। / \(\sqrt{x+12}\ge0\), so (f(x)\ge-7). In exams an outside subtraction shifts the square-root range downward.
\(\sqrt{x-5}\ge0\), इसलिए \(4-\sqrt{x-5}\le4\)। परीक्षा में वर्गमूल से पहले ऋण चिह्न हो तो output नीचे की ओर जाता है। / \(\sqrt{x-5}\ge0\), so \(4-\sqrt{x-5}\le4\). In exams if a minus sign is before the square root, outputs go downward.
ऋणात्मक अंतराल पर \(x^2\) की सबसे छोटी वैल्यू (9) और सबसे बड़ी (49) है। परीक्षा में interval में (0) न हो तो endpoints जांचें। / On the negative interval, the smallest value of \(x^2\) is (9) and the largest is (49). In exams check endpoints when (0) is not in the interval.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) है और (6) शामिल नहीं इसलिए (36) शामिल नहीं होगा। परीक्षा में खुले endpoint का असर रेंज पर देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0), and (6) is not included, so (36) is not included. In exams check how an open endpoint affects the range.
(5x-4) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। (x=-3) खुला है इसलिए (-19) खुला और (x=2) से (6) शामिल है। / (5x-4) is an increasing linear function. Since (x=-3) is open, (-19) is open, and (x=2) gives included (6).
फलन घटता है, (x=1) पर (3) और \(x\to5\) पर (-13) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में range का क्रम उलट जाता है। / The function is decreasing; at (x=1) it gives (3), and as \(x\to5\) it approaches (-13), not included. In exams the range order reverses for a decreasing function.
डोमेन में (x=5) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और दूर endpoint (12) से maximum (7) है। परीक्षा में modulus का zero point देखें। / The domain contains (x=5), so the minimum is (0), and the far endpoint (12) gives maximum (7). In exams check the zero point of modulus.
इस अंतराल में (x+3) ऋणात्मक है, इसलिए (|x+3|=-(x+3))। (x=-4) से (1) शामिल और (x=-8) से (5) खुला है। / In this interval, (x+3) is negative, so (|x+3|=-(x+3)). (x=-4) gives included (1) and (x=-8) gives open (5).
