Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(\sqrt{x+2}\ge0\), इसलिए \(6-\sqrt{x+2}\le6\) और नीचे अनंत तक जा सकता है। परीक्षा में negative sign रेंज की दिशा बदलता है। / \(\sqrt{x+2}\ge0\), so \(6-\sqrt{x+2}\le6\) and can decrease without bound. In exams a negative sign changes the direction of the range.
हर \(x^2+9\) की न्यूनतम वैल्यू (9) है, इसलिए अधिकतम आउटपुट \(\frac{1}{9}\) है। (0) केवल सीमा है, प्राप्त वैल्यू नहीं। / The denominator \(x^2+9\) has minimum value (9), so the maximum output is \(\frac{1}{9}\). (0) is only a limiting value, not an attained value.
\(\frac{4}{x^2+5}\) की रेंज ( \(0,\frac{4}{5}]\) है। इसमें (-1) जोड़ने पर (\(-1,-\frac{1}{5}]\) मिलता है। / The range of \(\frac{4}{x^2+5}\) is ( \(0,\frac{4}{5}]\). Adding (-1) gives (\(-1,-\frac{1}{5}]\).
(x-2+2x-8=(x+1)2-9), इसलिए न्यूनतम (-9) है। परीक्षा में quadratic को पूर्ण वर्ग में बदलें। / (x-2+2x-8=(x+1)2-9), so the minimum is (-9). In exams convert the quadratic into a perfect square.
((x+2)2\ge0), इसलिए (10-(x+2)2\le10)। परीक्षा में maximum तब आता है जब squared term (0) हो। / ((x+2)2\ge0), so (10-(x+2)2\le10). In exams the maximum occurs when the squared term is (0).
अंतराल ([-4,1]) में (0) शामिल है, इसलिए न्यूनतम (0) और अधिकतम (16) है। परीक्षा में endpoints के साथ vertex भी जांचें। / The interval ([-4,1]) contains (0), so the minimum is (0) and the maximum is (16). In exams check the vertex along with endpoints.
डोमेन \([-6,-2]\) में सभी मान ऋणात्मक हैं। फलन \(f(x)=x^2\) के लिए \(-6\) पर मान \(36\) और \(-2\) पर मान \(4\) मिलता है। चूँकि वर्गफल इस पूरे अंतराल में \(4\) से \(36\) तक सभी मान ग्रहण करता है, इसलिए रेंज \([4,36]\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(0\) प्राप्त करने के लिए \(x=0\) चाहिए, जो डोमेन में नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सतत फलन की रेंज ज्ञात करने के लिए अंतराल के सिरों और आवश्यक चरम मानों की जाँच करें। / Every value in the domain \([-6,-2]\) is negative. For \(f(x)=x^2\), the endpoint values are \(f(-6)=36\) and \(f(-2)=4\). Since squaring takes all intermediate values on this interval, the range is \([4,36]\). Option B is incorrect because obtaining \(0\) would require \(x=0\), which is not in the domain. Exam tip: For a continuous function on a closed interval, check the endpoint values and any relevant extreme values to determine the range.
(3x-2) बढ़ता हुआ रेखीय फलन है। खुले endpoint (-1) से (-5) खुलेगा और (5) से (13) शामिल होगा। / (3x-2) is an increasing linear function. The open endpoint (-1) gives open (-5) and (5) gives included (13).
फलन घटता है, इसलिए (x=1) पर (2) और \(x\to6\) पर (-8) मिलता है पर शामिल नहीं होता। परीक्षा में decreasing function में endpoints का क्रम बदलें। / The function is decreasing, so at (x=1) it gives (2) and as \(x\to6\) it approaches (-8), not included. In exams reverse endpoint order for a decreasing function.
डोमेन में (0) शामिल है, इसलिए minimum (0) है और सबसे बड़ा मापांक (7) है। परीक्षा में interval में (0) है या नहीं देखें। / The domain contains (0), so the minimum is (0) and the largest modulus is (7). In exams check whether the interval contains (0).
