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दूसरा घटक (2) निश्चित है और पहला घटक (A) के (2) तत्वों में से कोई भी हो सकता है। निश्चित दूसरे घटक पर संख्या (n(A)) होती है। / The second component (2) is fixed and the first component can be any of the (2) elements of (A). With a fixed second component, the count is (n(A)).
A. दोनों में (3) युग्म हैं पर युग्मों का क्रम अलग है/Both have (3) pairs but the order of components is different
Explanation
Simple Explanation
दोनों की संख्या \(3\times 1=3\) है, पर घटकों का क्रम उल्टा है। समान संख्या का अर्थ समान समुच्चय नहीं होता। / Both have count \(3\times 1=3\), but the order of components is reversed. Equal count does not mean equal sets.
क्रमित युग्म में स्थान बदलने से युग्म बदल जाता है। केवल समान स्थानों पर समान घटक हों तो युग्म बराबर होते हैं। / Changing positions changes an ordered pair. Ordered pairs are equal only when corresponding components are equal.
A. हां, क्योंकि \(5\in A\) और \(5\in B\)/Yes, because \(5\in A\) and \(5\in B\)
Explanation
Simple Explanation
पहला (5) (A) में और दूसरा (5) (B) में है, इसलिए युग्म सही है। समान घटक होना गलती नहीं है। / The first (5) is in (A) and the second (5) is in (B), so the pair is correct. Equal components are not an error.
कार्तीय गुणनफल में क्रमित त्रिकों की संख्या प्रत्येक समुच्चय की तत्व-संख्या के गुणनफल के बराबर होती है। यहाँ \(n(A)=2\), \(n(B)=2\) और \(n(C)=1\), इसलिए \(n(A\times B\times C)=2\times2\times1=4\)। अतः सही उत्तर B है। ध्यान रखें कि कार्तीय गुणनफल में संख्याएँ जोड़ी नहीं, बल्कि गुणा की जाती हैं। / The number of ordered triples in a Cartesian product equals the product of the cardinalities of the individual sets. Here, \(n(A)=2\), \(n(B)=2\), and \(n(C)=1\), so \(n(A\times B\times C)=2\times2\times1=4\). Therefore, option B is correct. Exam tip: multiply the number of elements in each set; do not add them.
((1,0)) में \(1\notin A\) और \(0\notin B\), इसलिए यह \(A\times B\) में नहीं है। दोनों घटकों की सदस्यता जांचें। / In ((1,0)), \(1\notin A\) and \(0\notin B\), so it is not in \(A\times B\). Check membership of both components.
(A) का हर तत्व (B) में है, इसलिए \(A\times D\) का हर युग्म \(B\times D\) में होगा। उपसमुच्चय वाले प्रश्न में संबंधित घटक देखें। / Every element of (A) is in (B), so every pair of \(A\times D\) will be in \(B\times D\). In subset questions, check the related component.
A. \(A\times B=\{(6,9)\}\) और \(B\times A=\{(9,6)\}\)/\(A\times B=\{(6,9)\}\) and \(B\times A=\{(9,6)\}\)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणनफल में क्रम महत्वपूर्ण होता है। \(A\times B\) में पहला अवयव \(A\) से और दूसरा \(B\) से लिया जाता है, इसलिए \(A\times B=\{(6,9)\}\)। इसी प्रकार \(B\times A=\{(9,6)\}\)। विकल्प B गलत है क्योंकि \((6,9)\) और \((9,6)\) अलग क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: \(X\times Y\) में हर क्रमित युग्म का पहला अवयव \(X\) और दूसरा अवयव \(Y\) से होता है। / Order matters in a Cartesian product. In \(A\times B\), the first element comes from \(A\) and the second from \(B\), so \(A\times B=\{(6,9)\}\). Similarly, \(B\times A=\{(9,6)\}\). Option B is incorrect because \((6,9)\) and \((9,6)\) are different ordered pairs. Exam tip: In \(X\times Y\), the first component comes from \(X\) and the second from \(Y\).
हर क्रमित युग्म एक बिंदु जैसा माना जा सकता है और कुल \(3\times 2=6\) युग्म हैं। निर्देशांक प्रश्नों में भी वही गिनती नियम प्रयोग करें। / Each ordered pair can be treated as a point and there are \(3\times 2=6\) pairs. Use the same counting rule in coordinate questions.
नाश्ते के (3) और पेय के (2) विकल्प हैं, इसलिए \(3\times 2=6\) संयोजन बनेंगे। वास्तविक जीवन के चुनाव कार्तीय गुणन से गिने जा सकते हैं। / There are (3) breakfast options and (2) drink options, so \(3\times 2=6\) combinations are formed. Real-life choices can be counted using Cartesian product.
