Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
कुल विकल्प \(5\times5\times5\times8=1000\) हैं। मिश्रित कोड में हर स्थान का विकल्प अलग लिखें। / Total choices are \(5\times5\times5\times8=1000\). In mixed codes, write choices for each position separately.
सिक्के के (2) और पासे के (6) परिणाम हैं इसलिए \(2\times6=12\)। दो प्रयोग साथ हों तो गुणन करें। / A coin has (2) outcomes and a die has (6), so \(2\times6=12\). Multiply when two experiments are performed together.
प्रत्येक सिक्के के दो संभावित परिणाम होते हैं: चित या पट। चूँकि सिक्के अलग-अलग हैं, पहले सिक्के के प्रत्येक परिणाम के साथ दूसरे सिक्के के 2 परिणाम जुड़ सकते हैं। अतः कुल परिणाम \(2\times2=4\) हैं: (चित, चित), (चित, पट), (पट, चित), (पट, पट)। विकल्प 2 में केवल एक सिक्के के परिणाम गिने गए हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग वस्तुओं के स्वतंत्र विकल्पों की संख्या गुणा करें। / Each coin has two possible outcomes: head or tail. Since the coins are distinct, each outcome of the first coin can be paired with 2 outcomes of the second coin. Hence, the total number of outcomes is \(2\times2=4\): (H, H), (H, T), (T, H), and (T, T). Option 2 counts the outcomes of only one coin. Exam tip: Multiply the numbers of independent choices for distinct objects.
पहले पासे के (6) और दूसरे के (6) परिणाम हैं इसलिए \(6\times6=36\)। क्रमित परिणाम में दोनों पासों की भूमिका अलग रहती है। / The first die has (6) outcomes and the second has (6), so \(6\times6=36\). In ordered outcomes, the roles of both dice are distinct.
प्रत्येक 4 रंगों के लिए 3 में से कोई भी एक आकार चुना जा सकता है। इसलिए मूल गणना सिद्धांत के अनुसार कुल डिज़ाइन \(4\times 3=12\) होंगे। विकल्प 7 रंगों और आकारों को जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ दोनों का एक-एक चयन मिलकर एक डिज़ाइन बनाता है, इसलिए गुणा किया जाता है। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों की संख्याओं का गुणन करें। / For each of the 4 colors, any one of the 3 shapes can be chosen. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of designs is \(4\times 3=12\). Option 7 results from adding the numbers of colors and shapes, but a design requires one choice of each, so the numbers must be multiplied. Exam tip: For successive independent choices, multiply the number of available choices at each step.
पहले चरण में (3) और दूसरे में (4) विकल्प हैं इसलिए \(3\times4=12\)। पासवर्ड के स्थानों को क्रम से भरें। / The first stage has (3) choices and the second has (4), so \(3\times4=12\). Fill password positions in order.
केवल एक विषय चुनना है इसलिए (5+6=11)। विकल्प समूह अलग हों और साथ नहीं चुने जाते हों तो जोड़ें। / Only one topic is to be chosen, so (5+6=11). Add when option groups are separate and not chosen together.
स्थान संग्रहालय या पार्क में से होगा इसलिए (3+4=7)। “या” वाले अलग चयन में योग का नियम लगाएँ। / The place will be a museum or a park, so (3+4=7). Use the addition rule for separate “or” choices.
हर भाषा के लिए 2 थीम चुनी जा सकती हैं। अतः 4 भाषा विकल्पों के लिए कुल चयन \(4\times2=8\) होंगे। \(6\) जोड़ने से मिलता है, पर यहाँ भाषा और थीम का एक-एक विकल्प मिलकर एक जोड़ी बनाते हैं, इसलिए गुणा का नियम लागू होगा। परीक्षा टिप: क्रमिक स्वतंत्र विकल्पों की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए उनके विकल्पों को गुणा करें। / For each language, there are 2 possible theme choices. Therefore, for 4 language options, the total number of selections is \(4\times2=8\). Adding to get \(6\) is incorrect because one language and one theme form a pair, so the multiplication principle applies. Exam tip: Multiply the numbers of choices when independent selections are made in sequence.
बैग चुनने के 2 तरीके हैं। प्रत्येक बैग के लिए पानी की बोतल चुनने के 5 तरीके और प्रत्येक ऐसी जोड़ी के लिए टिफिन चुनने के 3 तरीके हैं। अतः गुणन के मूल सिद्धांत से कुल तरीके \(2\times5\times3=30\) होंगे। 10 केवल \(2\times5\) है, इसमें टिफिन के विकल्प शामिल नहीं हैं। परीक्षा टिप: अलग-अलग श्रेणियों से एक-एक चयन हो, तो विकल्पों की संख्याओं का गुणा करें। / There are 2 choices for the bag. For each bag, there are 5 choices for the water bottle, and for every such pair, there are 3 choices for the lunch box. Therefore, by the fundamental principle of counting, the total number of ways is \(2\times5\times3=30\). The value 10 is only \(2\times5\) and ignores the lunch-box choices. Exam tip: When one item is chosen from each independent category, multiply the numbers of choices.
दो अंक स्थानों के (10) और (10) विकल्प तथा अक्षर के (5) विकल्प हैं। कुल \(10\times10\times5=500\) हैं। / The two digit positions have (10) and (10) choices, and the letter has (5) choices. Total ways are \(10\times10\times5=500\).
प्रत्येक स्थान के (6) विकल्प हैं इसलिए \(6^4=1296\)। समान विकल्प बार-बार हों तो घात का प्रयोग तेज होता है। / Each position has (6) choices, so \(6^4=1296\). When the same choices repeat, using powers is faster.
चार स्थानों के विकल्प (4,3,2,1) हैं इसलिए \(4\times3\times2\times1=24\)। सभी अंक उपयोग हों तो विकल्प क्रम से घटते हैं। / The four positions have (4,3,2,1) choices, so \(4\times3\times2\times1=24\). If all digits are used, choices decrease step by step.
सम संख्या के इकाई अंक के लिए केवल 0 या 2 हो सकता है। यदि इकाई अंक 0 है, तो सैकड़ों के स्थान के लिए 1, 2, 3 में से 3 विकल्प और दहाइयों के लिए 2 विकल्प हैं: \(3\times2=6\)। यदि इकाई अंक 2 है, तो सैकड़ों के स्थान पर 0 नहीं आ सकता, इसलिए 1 या 3 में से 2 विकल्प और दहाइयों के लिए 2 विकल्प हैं: \(2\times2=4\)। अतः कुल \(6+4=10\) संख्याएँ बनेंगी। 8 वाला विकल्प तब मिलता है जब 0 को गलत ढंग से सैकड़ों के स्थान पर भी अनुमति दे दी जाती है। परीक्षा टिप: बहु-अंकीय संख्या में सबसे बायाँ अंक 0 नहीं हो सकता। / For an even number, the units digit can only be 0 or 2. If the units digit is 0, there are 3 choices (1, 2, 3) for the hundreds digit and 2 choices for the tens digit: \(3\times2=6\). If the units digit is 2, 0 cannot be in the hundreds place, so there are 2 choices (1, 3) for it and 2 choices for the tens digit: \(2\times2=4\). Hence, the total is \(6+4=10\). Option 8 results from an incorrect treatment of 0 in the hundreds place. Exam tip: the first digit of a multi-digit number cannot be 0.
केवल एक पेय चुनना है इसलिए (3+4+2=9)। एक ही श्रेणी नहीं बल्कि वैकल्पिक समूह हों तो जोड़ें। / Only one drink is chosen, so (3+4+2=9). Add when the groups are alternatives, not simultaneous choices.
रंग और आकार दोनों चुनने हैं इसलिए \(5\times4=20\)। उत्पाद की अलग विशेषताएँ स्वतंत्र हों तो गुणा करें। / Both color and size are to be selected, so \(5\times4=20\). Multiply when product features are independent.
तीनों चरण स्वतंत्र हैं इसलिए \(3\times2\times4=24\)। डिज़ाइन प्रश्नों में हर फीचर को एक चरण मानें। / The three stages are independent, so \(3\times2\times4=24\). In design questions, treat each feature as one stage.
छात्र को ऑनलाइन या ऑफलाइन में से केवल एक कोर्स चुनना है। ये दोनों विकल्प परस्पर अलग हैं, इसलिए जोड़ का नियम लागू होगा: \(6+3=9\)। अतः कुल 9 चयन संभव हैं। \(18\) तब होता यदि प्रत्येक ऑनलाइन कोर्स को प्रत्येक ऑफलाइन कोर्स के साथ चुनना होता; वह गुणा का नियम है। परीक्षा टिप: “या” और केवल एक चयन होने पर सामान्यतः विकल्पों को जोड़ें। / The student must choose only one course, either online or offline. These are mutually exclusive choices, so apply the addition rule: \(6+3=9\). Hence, there are 9 possible choices. \(18\) would result if one online course and one offline course had to be chosen together; that would use the multiplication rule. Exam tip: For “or” with exactly one choice, usually add the numbers of alternatives.
एक चित्र और एक संदेश दोनों चाहिए इसलिए \(4\times5=20\)। संयुक्त चयन में गुणा सिद्धांत लागू होता है। / One picture and one message are both needed, so \(4\times5=20\). The multiplication principle applies to combined selection.
रंग चुनने के 3 तरीके हैं और प्रत्येक रंग के लिए क्षमता चुनने के 4 तरीके हैं। अतः गुणन सिद्धांत से कुल मॉडल \(3\times4=12\) होंगे। 7 प्राप्त करने के लिए विकल्पों को जोड़ना गलत है, क्योंकि हर रंग को हर क्षमता के साथ जोड़ा जा सकता है। परीक्षा टिप: जब दो स्वतंत्र चयन मिलकर एक परिणाम बनाते हैं, तो उनके विकल्पों की संख्या गुणा करें। / There are 3 choices of colour, and for each colour there are 4 choices of capacity. Therefore, by the multiplication principle, the total number of models is \(3\times4=12\). Adding the choices to get 7 is incorrect because every colour can be paired with every capacity. Exam tip: multiply the numbers of choices when independent selections combine to form one outcome.
दो अलग पद भरने हैं इसलिए \(4\times3=12\)। अलग पदों के चयन को क्रमबद्ध चरण मानें। / Two different posts are to be filled, so \(4\times3=12\). Treat selections for different posts as ordered stages.
पहले (5) और फिर (2) विकल्प हैं इसलिए \(5\times2=10\)। क्रम से होने वाली यात्रा में चरणों को गुणा करें। / There are (5) choices first and (2) choices next, so \(5\times2=10\). Multiply the stages in a sequential journey.
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं इसलिए \(3\times6=18\)। प्रोफाइल सेटअप में हर अनिवार्य चयन को गुणा करें। / Both choices are independent, so \(3\times6=18\). In profile setup, multiply every required selection.
कुल अवतार \(2\times4\times3=24\) होंगे। तीन स्वतंत्र फीचर हों तो सभी विकल्पों को गुणा करें। / Total avatars are \(2\times4\times3=24\). When there are three independent features, multiply all choices.
