Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संभव आकार-वितरण केवल ((2,2,1,1)) और ((2,2,2,0)) हैं। प्रत्येक वितरण-रूप के लिए दलों और परियोजनाओं की व्यवस्था गिनें। / The only possible size distributions are ((2,2,1,1)) and ((2,2,2,0)). Count team choices and project assignments for each pattern.
दो संभावित ढाँचे हैं, लड़का-लड़की से शुरू या लड़की-लड़का से शुरू। प्रत्येक ढाँचे में लड़के और लड़कियाँ अलग-अलग (5!) तरीकों से सजते हैं। / There are two possible patterns, starting with a boy or starting with a girl. In each pattern, boys and girls are arranged separately in (5!) ways.
पहले (A,B,C) के सापेक्ष क्रम के लिए (8!) को (3!) से भाग दें, फिर (D) के सिरों पर आने वाले मामले घटाएँ। सापेक्ष क्रम बराबर रूप से बँटते हैं। / First divide (8!) by (3!) for the relative order of (A,B,C), then subtract cases where (D) is at an end. Relative orders are equally distributed.
पहले ऐसे (6) अंकों के समूहों को देखें जिन्हें बराबर योग वाले दो (3)-अंकीय भागों में बाँटा जा सके, फिर दोनों भागों के क्रम गिनें। योग-समानता में पहले समूह और विभाजन सोचें। / First consider (6)-digit sets that can be split into two (3)-digit parts with equal sums, then count arrangements inside both parts. For equal-sum conditions, think of sets and partitions first.
पहले सही बैठने वाले (2) बच्चे चुनें, फिर बाकी (3) बच्चों को पूर्ण अव्यवस्था में बैठाएँ। ठीक सही स्थान की शर्त में अव्यवस्था का प्रयोग करें। / First choose the (2) children who sit correctly, then derange the remaining (3) children. Exact fixed-position conditions use derangements.
(3) एकों के आसपास बने (4) खाली स्थानों में (4) शून्य रखें और किसी स्थान पर (2) से अधिक शून्य न रखें। प्रतिबंधित लगातारपन को खाली स्थान सीमा से नियंत्रित करें। / Place the (4) zeros in the (4) gaps around the (3) ones, with no gap receiving more than (2) zeros. Control forbidden consecutiveness by gap limits.
(8) पुरुषों और (6) महिलाओं में से (6) सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें ठीक (3) महिलाएँ हों। समिति बनने के बाद अध्यक्ष और सचिव अलग-अलग चुने जाते हैं। कुल कितने तरीके होंगे?
पहले समिति \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) तरीकों से बनती है, फिर (6) में से (2) पद क्रम सहित चुने जाते हैं। समिति चयन और पद चयन अलग चरण हैं। / First form the committee in \(\binom{8}{3}\binom{6}{3}\) ways, then choose (2) distinct posts from (6) members in order. Committee selection and post selection are separate stages.
(8) अलग पुस्तकों को पंक्ति में सजाना है। दो निश्चित पुस्तकें साथ-साथ हों और तीसरी निश्चित पुस्तक पंक्ति के किसी सिरे पर हो। कुल कितनी व्यवस्थाएँ होंगी?
तीसरी पुस्तक के लिए (2) सिरों का चुनाव है, और दो साथ वाली पुस्तकों को ब्लॉक मानकर बाकी वस्तुएँ सजती हैं। ब्लॉक के भीतर (2!) क्रम भी गिनें। / The third book has (2) end choices, and the two adjacent books are treated as a block with the remaining objects. Count the (2!) internal orders of the block too.
(9) विद्यार्थियों में से (4) विद्यार्थियों की बहस-टीम और उसी टीम में से (2) वक्ता क्रम सहित चुनने हैं। एक निश्चित विद्यार्थी टीम में अवश्य हो लेकिन वक्ता नहीं बने। कुल कितने तरीके होंगे?
निश्चित विद्यार्थी के साथ बाकी (3) सदस्य (8) में से चुनें और वक्ता उन्हीं (3) में से क्रम सहित चुनें। अनिवार्य लेकिन निषिद्ध पद वाली शर्त को पहले स्थिर करें। / Choose the other (3) team members from (8), then choose the ordered speakers from those (3) members. Fix the compulsory but ineligible member first.
(6) अंकों का एक कोड बनाना है जिसमें पहले (2) स्थानों पर केवल विषम अंक और बाकी (4) स्थानों पर केवल सम अंक आ सकते हैं। यदि किसी भी अंक की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए तो कुल कितने कोड बनेंगे?
विषम अंकों के लिए (5) और (4) विकल्प हैं तथा सम अंकों के लिए (5,4,3,2) विकल्प हैं। स्थानों को क्रम से भरना परीक्षा में सबसे सुरक्षित तरीका है। / There are (5) and (4) choices for odd digits and (5,4,3,2) choices for even digits. Filling places one by one is the safest exam method.
