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वेन आरेख में पूरा आयत (U) को दर्शाता है। परीक्षा में बाकी सभी समुच्चय इसी (U) के अंदर माने जाते हैं। / In a Venn diagram, the whole rectangle represents (U). In exams, all other sets are considered inside this (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (18+20-6=32) मिलता है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (18+20-6=32). Subtract the common part once to avoid double counting.
दो वृत्तों का साझा भाग \(A\cap B\) होता है। याद रखें कि साझा भाग का मतलब प्रतिच्छेद है। / The shared part of two circles is \(A\cap B\). Remember that common part means intersection.
न (A) न (B) वाला क्षेत्र (\(A\cup B\)') है, इसलिए संख्या (45-29=16) होगी। यह दोनों वृत्तों के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग है। / The region neither in (A) nor in (B) is (\(A\cup B\)'), so the number is (45-29=16). It is outside both circles but inside (U).
\(A\cup B\) में (A) और (B) के सभी क्षेत्र आते हैं। परीक्षा में संघ के लिए दोनों वृत्तों का पूरा भाग लें। / \(A\cup B\) includes all regions of (A) and (B). In exams, take the complete area of both circles for union.
केवल (A) का अर्थ (A-B) है, इसलिए (B) के (4,5) हटाने पर ({1,2,3}) बचता है। वेन आरेख में केवल वाला भाग साझा क्षेत्र के बाहर होता है। / Only (A) means (A-B), so after removing (4,5) of (B), ({1,2,3}) remains. In a Venn diagram, the only region is outside the common part.
B. (A) के बाहर लेकिन (U) के अंदर का भाग/Part outside (A) but inside (U)
Explanation
Simple Explanation
(A') में (U) के वे अवयव आते हैं जो (A) में नहीं हैं। पूरक हमेशा (U) के सापेक्ष लिया जाता है। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A). Complement is always taken with respect to (U).
सूत्र (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)) से (12+9-4=17) मिलता है। साझा भाग को एक बार घटाना जरूरी है। / Using (n\(A\cup B\)=n(A)+n(B)-n\(A\cap B\)), we get (12+9-4=17). The common part must be subtracted once.
(n\(A\cap B\)=20+15-28=7) होगा। दो समुच्चयों में प्रतिच्छेद निकालने के लिए संघ को घटाएं। / (n\(A\cap B\)=20+15-28=7). To find intersection of two sets, subtract the union from the sum.
(n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19)। वेन आरेख में (A') का अर्थ (A) के बाहर का भाग है। / (n(A')=n(U)-n(A)=30-11=19). In a Venn diagram, (A') means the part outside (A).
असंबद्ध समुच्चयों में कोई साझा अवयव नहीं होता, इसलिए \(A\cap B=\varnothing\)। वेन आरेख में इनके वृत्त अलग-अलग दिखते हैं। / Disjoint sets have no common element, so \(A\cap B=\varnothing\). In a Venn diagram, their circles appear separate.
\(A\subseteq B\) का अर्थ है कि (A) का हर अवयव (B) में है। इसलिए (A) का वृत्त (B) के अंदर बनेगा। / \(A\subseteq B\) means every element of (A) is in (B). So the circle of (A) is drawn inside (B).
केवल (A) में वे अवयव होते हैं जो (A) में हैं पर (B) में नहीं हैं, इसलिए क्षेत्र (A-B) है। इसे \(A\cap B'\) भी लिख सकते हैं। / Only (A) contains elements that are in (A) but not in (B), so the region is (A-B). It can also be written as \(A\cap B'\).
केवल (A) की संख्या (n(A)-n\(A\cap B\)=18-6=12) है। कुल (A) से साझा भाग घटाएं। / The number only in (A) is (n(A)-n\(A\cap B\)=18-6=12). Subtract the common part from total (A).
केवल (B) की संख्या (14-5=9) होगी। वेन आरेख में (B) से बीच वाला भाग घटाएं। / The number only in (B) is (14-5=9). In the Venn diagram, subtract the middle part from (B).
(A) में केवल (A) और साझा भाग दोनों आते हैं, इसलिए (n(A)=7+3=10)। वृत्त (A) के सभी हिस्से जोड़ें। / Set (A) includes only (A) and the common part, so (n(A)=7+3=10). Add all parts of circle (A).
(B) में केवल (B) और साझा भाग आते हैं, इसलिए (n(B)=8+4=12)। वेन आरेख में पूरे (B) वृत्त को गिनें। / Set (B) includes only (B) and the common part, so (n(B)=8+4=12). Count the whole (B) circle in the Venn diagram.
संघ में तीनों क्षेत्र आते हैं, इसलिए (6+5+4=15)। वेन आरेख में ओवरलैप को दो बार न जोड़ें। / The union includes all three regions, so (6+5+4=15). In a Venn diagram, do not add the overlap twice.
न तो (A) न (B) में संख्या (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14) है। यह आयत में दोनों वृत्तों के बाहर का भाग है। / The number in neither (A) nor (B) is (n(U)-n\(A\cup B\)=40-26=14). It is the part outside both circles inside the rectangle.
\(A'\cap B'\) का अर्थ है (A) में नहीं और (B) में नहीं। यह (\(A\cup B\)') के बराबर होता है। / \(A'\cap B'\) means not in (A) and not in (B). It is equal to (\(A\cup B\)').
डी मॉर्गन नियम के अनुसार (A'\cup B'=\(A\cap B\)') होता है। पूरक वाले प्रश्नों में यह नियम उपयोगी है। / By De Morgan's law, (A'\cup B'=\(A\cap B\)'). This rule is useful in complement questions.
केवल (A) की संख्या (25-10=15) है। कुल (A) में से साझा भाग घटाना होता है। / The number only in (A) is (25-10=15). Subtract the common part from total (A).
केवल (B) की संख्या (22-7=15) है। वेन आरेख में (B) वृत्त का साझा भाग अलग कर दें। / The number only in (B) is (22-7=15). In the Venn diagram, separate the common part of circle (B).
संघ की संख्या (13+17-5=25) है। साझा भाग को दो बार गिनने से बचने के लिए एक बार घटाएं। / The number in the union is (13+17-5=25). Subtract the common part once to avoid double counting.
पहले (n\(A\cup B\)=20+16-6=30)। फिर न (A) न (B) में (50-30=20) होंगे। / First (n\(A\cup B\)=20+16-6=30). Then neither (A) nor (B) has (50-30=20) elements.
(\(A\cup B\)') में (U) के वे अवयव हैं जो \(A\cup B\) में नहीं हैं, इसलिए (60-45=15)। यह दोनों वृत्तों के बाहर का क्षेत्र है। / (\(A\cup B\)') contains elements of (U) not in \(A\cup B\), so (60-45=15). It is the region outside both circles.
(\(A\cap B\)') में साझा भाग को छोड़कर (U) के सभी अवयव आते हैं, इसलिए (32-9=23)। पूरक के लिए (U) से घटाएं। / (\(A\cap B\)') contains all elements of (U) except the common part, so (32-9=23). For complement, subtract from (U).
यदि किसी कक्षा में (30) विद्यार्थी हैं, (18) क्रिकेट खेलते हैं, (12) फुटबॉल खेलते हैं और (5) दोनों खेलते हैं, तो कम से कम एक खेल खेलने वाले विद्यार्थी कितने हैं?
कम से कम एक खेल (18+12-5=25) है। वेन आरेख में दोनों खेलने वालों को दो बार न गिनें। / At least one game is (18+12-5=25). In a Venn diagram, do not count students who play both twice.
कम से कम एक पसंद करने वाले (22+18-7=33) हैं। इसलिए कोई भी नहीं पसंद करने वाले (40-33=7) हैं। / People who like at least one are (22+18-7=33). Therefore, people who like neither are (40-33=7).
केवल हिंदी पढ़ने वाले (16-6=10) हैं। किसी एक वृत्त से साझा भाग घटाएं। / Those who read only Hindi are (16-6=10). Subtract the common part from that circle.
केवल नृत्य पसंद करने वाले (13-4=9) हैं। वेन आरेख में नृत्य वृत्त का साझा भाग हटाएं। / Those who like only dance are (13-4=9). In the Venn diagram, remove the common part from the dance circle.
दोनों समुच्चयों में (3) और (4) समान हैं, इसलिए \(A\cap B={3,4}\)। प्रतिच्छेद में केवल साझा अवयव आते हैं। / The common elements of both sets are (3) and (4), so \(A\cap B={3,4}\). Intersection contains only common elements.
(A-B) में (A) के वे अवयव हैं जो (B) में नहीं हैं, इसलिए केवल (6) बचेगा। अंतर में क्रम का ध्यान रखें। / (A-B) contains elements of (A) that are not in (B), so only (6) remains. Be careful about order in difference.
संघ में दोनों समुच्चयों के सभी अलग-अलग अवयव आते हैं, इसलिए \(A\cup B={a,b,c,d,e}\)। दोहराए अवयव एक बार लिखें। / Union contains all distinct elements of both sets, so \(A\cup B={a,b,c,d,e}\). Write repeated elements only once.
(A') में (U) के वे अवयव होंगे जो (A) में नहीं हैं, यानी ({1,3,4})। पूरक निकालते समय (U) जरूर देखें। / (A') contains the elements of (U) that are not in (A), namely ({1,3,4}). Always check (U) while finding complement.
\(A\cap B\cap C\) में तीनों समुच्चयों के साझा अवयव होते हैं। वेन आरेख में यह बीच का सामान्य क्षेत्र होता है। / \(A\cap B\cap C\) contains elements common to all three sets. In a Venn diagram, it is the central common region.
C. तीनों वृत्तों के साझा भाग में/In the common part of all three circles
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\cap C\) तीनों वृत्तों का साझा भाग है, इसलिए (4) बीच में लिखा जाएगा। तीन समुच्चयों में सबसे पहले बीच का भाग भरना अच्छा रहता है। / \(A\cap B\cap C\) is the common part of all three circles, so (4) is written in the center. For three sets, it is good to fill the central part first.
तीन समुच्चयों का सूत्र देने पर (10+8+6-3-2-1+0=18) मिलता है। जोड़ी वाले प्रतिच्छेद घटाएं और तीनों का साझा भाग जोड़ें। / Using the three-set formula gives (10+8+6-3-2-1+0=18). Subtract pairwise intersections and add the common part of all three.
केवल (A=9-2=7) और केवल (B=7-2=5), इसलिए कुल (12) है। साझा भाग अलग करने के बाद ही जोड़ें। / Only (A=9-2=7) and only (B=7-2=5), so the total is (12). Add only after separating the common part.
असंबद्ध समुच्चयों में साझा भाग (0) होता है, इसलिए (n\(A\cup B\)=6+11=17)। अलग-अलग वृत्तों को सीधे जोड़ें। / For disjoint sets, the common part is (0), so (n\(A\cup B\)=6+11=17). Add separate circles directly.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cup B=B\), इसलिए संख्या (12) है। वेन आरेख में छोटा वृत्त बड़े के अंदर होता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cup B=B\), so the number is (12). In the Venn diagram, the smaller circle is inside the bigger one.
जब \(A\subseteq B\), तब \(A\cap B=A\), इसलिए संख्या (4) है। अंदर वाला पूरा समुच्चय साझा भाग बनता है। / When \(A\subseteq B\), \(A\cap B=A\), so the number is (4). The entire inner set becomes the common part.
(A-B) का अर्थ (A) में होना और (B) में न होना है, इसलिए \(A\cap B'\) है। यह केवल (A) क्षेत्र है। / (A-B) means being in (A) and not in (B), so it is \(A\cap B'\). This is the only (A) region.
(B-A) का अर्थ (B) में होना और (A) में न होना है, इसलिए \(A'\cap B\) है। इसे केवल (B) क्षेत्र भी कहते हैं। / (B-A) means being in (B) and not in (A), so it is \(A'\cap B\). It is also called the only (B) region.
A. \(A\cap B\) में केवल साझा अवयव होते हैं/\(A\cap B\) contains only common elements
Explanation
Simple Explanation
\(A\cap B\) दोनों समुच्चयों का साझा भाग है। प्रतिच्छेद को पहचानना वेन आरेख का मूल कौशल है। / \(A\cap B\) is the common part of both sets. Identifying intersection is a basic Venn diagram skill.
(U) में वेन आरेख के सभी क्षेत्र आते हैं, इसलिए (9+4+6+5=24)। पूरे आयत की संख्या सभी क्षेत्रों का योग है। / (U) includes all regions of the Venn diagram, so (9+4+6+5=24). The number in the whole rectangle is the sum of all regions.
साझा भाग (70-12-18-20=20) होगा। वेन आरेख में अज्ञात क्षेत्र पाने के लिए कुल से ज्ञात क्षेत्र घटाएं। / The common part is (70-12-18-20=20). To get an unknown region in a Venn diagram, subtract known regions from the total.
संघ में केवल (A), साझा भाग और केवल (B) आते हैं, इसलिए साझा भाग (36-14-11=11) है। संघ के तीन क्षेत्रों को याद रखें। / The union contains only (A), the common part, and only (B), so the common part is (36-14-11=11). Remember the three regions of a union.
