Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(A={x\in\mathbb{Z}:|x-2|\le2}\) और \(B={y\in\mathbb{N}:y^2-5y+6=0}\), तो \(A\times B\) में (x+y) अभाज्य होने वाले क्रमित युग्मों की संख्या कितनी है?
यहां \(A=\{0,1,2,3,4\}\) और \(B=\{2,3\}\) हैं। जांचने पर (x+y) अभाज्य वाले (6) युग्म मिलते हैं, इसलिए पहले समुच्चय स्पष्ट करें। / Here \(A=\{0,1,2,3,4\}\) and \(B=\{2,3\}\). On checking, (6) pairs have (x+y) prime, so first write the sets clearly.
पहले स्थान पर आने वाले तत्व (1,4) हैं और दूसरे स्थान पर आने वाले तत्व (2,3) हैं। \(A\times B\) में क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The first coordinates are (1,4) and the second coordinates are (2,3). Order is very important in \(A\times B\).
(a=1,2,3,4) पर मान्य (b) की संख्याएं क्रमशः (4,4,1,0) हैं। कुल (9) युग्म हैं, इसलिए हर पहले घटक पर शर्त लगाएं। / For (a=1,2,3,4), the valid numbers of (b) are (4,4,1,0). Total is (9), so apply the condition for each first coordinate.
(n\(A\times B\)=3\cdot2=6) और फिर \(6\cdot4=24\)। युग्म का तत्व भी अगले कार्तीय गुणन में एक तत्व माना जाता है। / (n\(A\times B\)=3\cdot2=6) and then \(6\cdot4=24\). An ordered pair is treated as one element in the next Cartesian product.
केवल ((2,3)) और ((3,2)) के लिए (\operatorname{lcm}(a,b)=6) है। ध्यान रखें कि (6) दूसरे समुच्चय (B) में नहीं है। / Only ((2,3)) and ((3,2)) have (\operatorname{lcm}(a,b)=6). Remember that (6) is not in the second set (B).
(n\(A\times B\)=mn) और (n\(B\times A\)=nm), इसलिए दोनों बराबर हैं। बराबर संख्या का अर्थ बराबर समुच्चय होना जरूरी नहीं है। / (n\(A\times B\)=mn) and (n\(B\times A\)=nm), so they are equal. Equal cardinality does not necessarily mean equal sets.
यदि (A=B), तो दोनों गुणन में वही सभी क्रमित युग्म मिलते हैं। केवल तत्वों की संख्या बराबर होना पर्याप्त नहीं है। / If (A=B), both products contain exactly the same ordered pairs. Equal number of elements alone is not enough.
दोनों कार्तीय गुणनों में समान क्रमित युग्म केवल ((2,2)) है। क्रमित युग्म में ((1,2)) और ((2,1)) अलग होते हैं। / The only common ordered pair in both Cartesian products is ((2,2)). In ordered pairs, ((1,2)) and ((2,1)) are different.
\(B=\{2,3,5,7\}\) है; योग सम तब होगा जब दोनों की समता समान हो। कुल युग्म \(2\cdot1+3\cdot3=11\) नहीं, बल्कि (A) में सम (2) और विषम (3) से \(2\cdot1+3\cdot3=11\) मिलते हैं, इसलिए विकल्पों में त्रुटि जांचें। / \(B=\{2,3,5,7\}\); the sum is even when both have the same parity. Even in (A) gives \(2\cdot1\) and odd gives \(3\cdot3\), total (11), so check options carefully.
(a=1) पर (3), (a=2) पर (3), (a=3) पर (1), और (a=4) पर (1) युग्म मिलते हैं। कुल (8) है, इसलिए प्रत्येक पहले निर्देशांक को अलग जांचें। / For (a=1) there are (3), for (a=2) there are (3), for (a=3) there is (1), and for (a=4) there is (1). Total is (8), so test each first coordinate separately.
