मान रखने पर ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)) मिलते हैं। ऐसे प्रश्न में हर (a) के लिए संभावित (b) व्यवस्थित रूप से जांचें। / By checking values, we get ((1,2),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2)). In such questions, check possible (b) values for each (a) systematically.
क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है। स्वसम जांच में केवल सभी आत्म युग्म देखें। / Because for every \(a \in A\), \((a,a) \in R\). For reflexive check, look only for all self-pairs.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Explanation
Simple Explanation
समान parity वाले तत्व जुड़े हैं, इसलिए संबंध स्वसम, सममित और संकर्मक है। परीक्षा में इसे सम और विषम वर्गों में बांटकर जांचें। / Elements with the same parity are related, so the relation is reflexive, symmetric, and transitive. In exams, check it by splitting into even and odd classes.
हर \((a,b) \in R\) के साथ \((b,a) \in R\) भी है। सममितता में उल्टा युग्म अवश्य जांचें। / For every \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) is also present. In symmetry, always check the reverse pair.
A. क्योंकि \((2,1) \notin R\)/Because \((2,1) \notin R\)
Explanation
Simple Explanation
अलग तत्वों के लिए उल्टा युग्म साथ में नहीं है। प्रत्यासममित में ((a,b)) और ((b,a)) दोनों हों तो (a=b) होना चाहिए। / The reverse pair for distinct elements is not present. In antisymmetry, if ((a,b)) and ((b,a)) both occur, then (a=b) must hold.
हर संख्या स्वयं को भाग देती है और भाग देने का गुण संकर्मक होता है। पर यह सममित नहीं होता जैसे \(1 \mid 2\) पर \(2 \nmid 1\)। / Every number divides itself and divisibility is transitive. But it is not symmetric since \(1 \mid 2\) while \(2 \nmid 1\).
R में (a, b) तभी होगा जब a + b = 6 हो। तब b + a = 6 भी होगा, क्योंकि जोड़ क्रमविनिमेय है; इसलिए (b, a) भी R में होगा और R सममित है। यह स्वसम नहीं है, क्योंकि उदाहरण के लिए (1, 1) ∉ R। यह प्रत्यासममित भी नहीं है, क्योंकि (1, 5) और (5, 1) दोनों R में हैं, जबकि 1 ≠ 5। परीक्षा टिप: सममितता जाँचने के लिए प्रत्येक (a, b) के साथ (b, a) की उपस्थिति देखें। / A pair (a, b) belongs to R exactly when a + b = 6. In that case, b + a = 6 as well, by the commutative property of addition; hence (b, a) also belongs to R, so R is symmetric. It is not reflexive because, for example, (1, 1) ∉ R. It is not antisymmetric because both (1, 5) and (5, 1) belong to R although 1 ≠ 5. Exam tip: To test symmetry, check whether every pair (a, b) is accompanied by (b, a).
क्योंकि \(A \times A\) में (9) युग्म हैं और संबंध उसका कोई भी उपसमुच्चय है। सूत्र \(2^{n^2}\) याद रखें। / Because \(A \times A\) has (9) pairs and a relation is any subset of it. Remember the formula \(2^{n^2}\).
(4) आत्म युग्म अनिवार्य हैं और बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। इसलिए संख्या \(2^{12}\) है। / The (4) self-pairs are compulsory and the remaining (16-4=12) pairs are free. Hence the number is \(2^{12}\).
(3) आत्म युग्म और (3) अन unordered जोड़े स्वतंत्र हैं। कुल स्वतंत्र चुनाव (3+3=6) हैं। / There are (3) self-pairs and (3) unordered off-diagonal pair choices. Total free choices are (3+3=6).
