Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
दो शून्यकों का औसत (5) है इसलिए दूसरा शून्यक (11) होगा। टिप: सममिति अक्ष शून्यकों के मध्य से गुजरता है। / The average of the two zeroes is (5), so the other zero is (11). Tip: the axis of symmetry passes through the midpoint of zeroes.
दूसरा शून्यक (8) है और औसत \(\frac{-10+8}{2}=-1\) है। टिप: सममिति अक्ष दो शून्यकों का औसत है। / The other zero is (8), and the average is \(\frac{-10+8}{2}=-1\). Tip: the axis of symmetry is the average of two zeroes.
A. दूसरा (7), कटान ((6,0)), ((7,0))/Other (7), intersections ((6,0)), ((7,0))
Explanation
Simple Explanation
द्विघात में शून्यकों का योग (13) है, इसलिए दूसरा शून्यक (7) है। टिप: शून्यक को ((x,0)) में बदलें। / In the quadratic, the sum of zeroes is (13), so the other zero is (7). Tip: convert a zero into ((x,0)).
A. \(\left(\frac{7}{6},0\right),\ \left(-\frac{7}{6},0\right)\)
Explanation
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समझ: x-अक्ष पर कटान वे बिंदु होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् p(x)=0। हल: \(36x^2-49=0\) → \((6x)^2-7^2=0\) यह भिन्न वर्गों का अन्तर है, अतः \((6x-7)(6x+7)=0\) से \(6x=\pm7\) और इसलिए \(x=\pm\frac{7}{6}\)। अतः x-अक्ष पर कटान \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) और \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\) हैं। क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: विकल्प B में 7 को सीधे x मान माना गया है (\(6\) से भाग करना भूल गया गया है), विकल्प C में संख्या उलटी ली गई है (\(\frac{6}{7}\) गलत)। सुझाव (टिप): पेपर में जब \(ax^2-b\) जैसा रूप दिखे तो इसे \((\sqrt{a}x)^2-b^2\) के रूप में देखकर फर्क का वर्ग लगा कर जल्दी हल करें। / Concept: x-axis intercepts are the zeros of the polynomial, i.e. solutions of p(x)=0. Solution: \(36x^2-49=0\) ⇒ \((6x)^2-7^2=0\), a difference of squares. Factor: \((6x-7)(6x+7)=0\) so \(6x=\pm7\) and \(x=\pm\frac{7}{6}\). Thus the intercepts are \(\left(\frac{7}{6},0\right)\) and \(\left(-\frac{7}{6},0\right)\). Why the nearest distractor is wrong: option B wrongly takes x=±7 (it omits dividing by 6), option C is the reciprocal \(\frac{6}{7}\) and therefore incorrect. Exam tip: recognize \(36x^2-49\) as \((6x)^2-7^2\) immediately to factor by difference of squares and avoid arithmetic errors.
ग्राफ x-अक्ष को (11,0) और (-6,0) पर छूता/काटता है, अतः बहुपद के शून्य 11 और −6 हैं। इनका गुणनफल 11×(−6)=−66 होता है। ध्यान दें कि किसी बिंदु पर स्पर्श होना भी शून्य है (स्वरूप में सममल प्रमेय: स्पर्श पर शून्य की घात द्विक होगी), पर यह मान 11 को बदलता नहीं है; गुणनफल में चिह्न का ध्यान रखना आवश्यक है। निकटतम गलत विकल्प 66 है — यह केवल मानों का गुणा लेकर चिह्न की उपेक्षा करने का परिणाम है। टिप: दो चर बिंदुओं के x-निर्देशांक सीधे शून्य हैं; गुणनफल निकालते समय संकेत (sign) का ध्यान रखें। / The zeros are x=11 and x=−6, so the product is 11×(−6)=−66. Note: a touch point is still a root (typically of even multiplicity) and a crossing point is a root of odd multiplicity, but multiplicity does not change the numerical value of the root — only whether the graph crosses or bounces. The distractor 66 is wrong because it ignores the negative sign of −6. Exam tip: take the x-coordinates of intercepts as the zeros and multiply them, keeping their signs.
शून्यक (root) वह मान होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी \(p(a)=0\)। यहाँ \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\) हैं, इसलिए \(-12,\;4,\;15\) शून्यक हैं। \(p(-2)=6\) शून्य नहीं है क्योंकि मान शून्य नहीं है। नज़दीकी भ्रमणकर्ता: "चार" तब गलत होगा जब किसी एक मान का मान शून्य न हो — यहाँ केवल तीन शून्यक हैं। टिप: परीक्षा में किसी भी मान को शून्य मानने से पहले हमेशा \(p(x)=0\) की शर्त जाँचें। / A zero (root) of a polynomial is an x-value where the polynomial equals zero, i.e. \(p(a)=0\). Given \(p(-12)=0,\; p(4)=0,\; p(15)=0\), the values \(-12,\;4,\;15\) are roots. \(p(-2)=6\) is not a root because its value is 6, not 0. Closest distractor: "four" is incorrect because one of the four given values does not satisfy \(p(x)=0\). Exam tip: always check the actual value of \(p(x)\) — only those equal to 0 are roots.
\(p(x)=x^2-hx\) को गुणनखण्डित करने पर \(p(x)=x(x-h)\) प्राप्त होता है। x-अक्ष के कटान उन x मानों पर होते हैं जहाँ \(p(x)=0\), अर्थात् \(x=0\) और \(x=h\)। इसलिए कटान बिंदु (0,0) और (h,0) हैं। नज़दीकी विचलन (option B) गलत है क्योंकि वह \(x=-h\) को शून्य मानता है — ऐसा केवल तब होगा जब मूल बहुपद में साइन उल्टा होता। परीक्षा टिप: x-अक्ष कटान पाने के लिए बहुपद को शून्य के बराबर कर के सामान्य कारक निकालें (common factor)। / Factorising \(p(x)=x^2-hx\) gives \(p(x)=x(x-h)\). The x-intercepts are the x-values for which \(p(x)=0\), i.e. \(x=0\) and \(x=h\). Hence the intercepts are (0,0) and (h,0). The closest distractor (option B) is wrong because it presumes \(x=-h\) is a root, which would only occur if the sign of the linear term were reversed. Exam tip: set the polynomial equal to zero and factor out the common x to find roots quickly.
शून्यक के रूप में हम केवल x-संयोजक लेते हैं: -4, 6, 16। माध्य = \frac{-4+6+16}{3} = \frac{18}{3} = 6। 16 केवल एक शून्यक है, न कि माध्य; 18 महज योग है जो विभाजन से पहले आता है। टिप: x-अक्ष पर कटान बिंदुओं से सीधे x‑मान पढ़ें और उनका औसत निकालें। / Take the x-coordinates of the intercepts: -4, 6, 16. Mean = \frac{-4+6+16}{3} = \frac{18}{3} = 6. Note that 16 is just one zero, not the mean, and 18 is the sum before dividing. Exam tip: read off the x-values of intercepts and compute their average (sum divided by count).
