Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. \(\left(\frac{5}{2},0\right),\ \left(-\frac{5}{2},0\right)\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर कटबिंदु बहुपद के शून्य (zeros) होते हैं। \(p(x)=4x^2-25=0\) से, यह अंतर वर्ग (difference of squares) के रूप में लिखा जा सकता है: \((2x)^2-5^2=0\) अर्थात् \((2x-5)(2x+5)=0\)। अतः \(2x-5=0\) या \(2x+5=0\) से \(x=\pm\frac{5}{2}\)। इसलिए कटबिंदु \(\left(\frac{5}{2},0\right)\) और \(\left(-\frac{5}{2},0\right)\) हैं। नज़दीकी भूल: विकल्प B तब होगा जब कोई \(2x\) को अनदेखा कर के सीधे \(x=\pm5\) ले लेता है — यह गलत है। परीक्षा सुझाव: \(4x^2-25\) को \((2x)^2-5^2\) समझकर तुरंत गुणनखंड करें या दोनों पक्ष का वर्गमूल लेते समय \(\pm\) याद रखें और \(x\) के गुणांक से भाग दें। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Set \(p(x)=4x^2-25=0\). Recognize a difference of squares: \((2x)^2-5^2=0\), so \((2x-5)(2x+5)=0\). Thus \(2x-5=0\) or \(2x+5=0\) giving \(x=\pm\tfrac{5}{2}\). Therefore the intercepts are \(\left(\tfrac{5}{2},0\right)\) and \(\left(-\tfrac{5}{2},0\right)\). Closest distractor B arises from forgetting the factor 2 (mistakenly taking \(x=\pm5\)). Exam tip: factor as a difference of squares or take square roots remembering the \(\pm\) and divide by the coefficient of \(x\).
((1,0)) दोहराया गया है, इसलिए अलग शून्यक (1) और (4) हैं। टिप: समान (x)-मान को एक बार गिनें। / ((1,0)) is repeated, so the distinct zeroes are (1) and (4). Tip: count the same (x)-value once.
शून्यक (-2) और (5) हैं, इसलिए बहुपद ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10) है। टिप: ग्राफ कटान से गुणनखंड बनाएं। / The zeroes are (-2) and (5), so the polynomial is ((x+2)(x-5)=x-2-3x-10). Tip: form factors from graph intersections.
वास्तविक शून्यक (x)-अक्ष कटानों से गिने जाते हैं, (y)-अक्ष कटान से नहीं। टिप: ((0,12)) शून्यक नहीं है। / Real zeroes are counted from (x)-axis intersections, not from the (y)-axis intercept. Tip: ((0,12)) is not a zero.
(x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)) है और वास्तविक शून्यक केवल \(\pm1\) हैं। टिप: \(x^2+1\) वास्तविक शून्यक नहीं देता। / (x-4-1=\(x^2-1\)\(x^2+1\)), and the real zeroes are only \(\pm1\). Tip: \(x^2+1\) gives no real zero.
तीन अलग वास्तविक शून्यकों के लिए घात कम से कम (3) होनी चाहिए। टिप: अलग शून्यकों की संख्या घात से अधिक नहीं हो सकती। / For three distinct real zeroes, the degree must be at least (3). Tip: the number of distinct zeroes cannot exceed the degree.
C. ग्राफ (x)-अक्ष को नहीं काटता/The graph does not cut the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
(x-2-2x+5=(x-1)2+4) है, इसलिए वास्तविक (x) पर शून्य नहीं बनेगा। टिप: हमेशा धनात्मक रूप कोई वास्तविक कटान नहीं देता। / (x-2-2x+5=(x-1)2+4), so it cannot be zero for real (x). Tip: an always positive form gives no real intersection.
(x-3-4x-2-5x=x(x-5)(x+1)), इसलिए शून्यक (0), (5), (-1) हैं। टिप: पहले (x) सामान्य गुणनखंड निकालें। / (x-3-4x-2-5x=x(x-5)(x+1)), so the zeroes are (0), (5), (-1). Tip: first take (x) as the common factor.
A. यह दोनों शून्यकों का मध्य है/It is the midpoint of the two zeroes
Explanation
Simple Explanation
\(5=\frac{2+8}{2}\), इसलिए यह दोनों शून्यकों का मध्य है। टिप: मध्य का शून्यक होना जरूरी नहीं। / \(5=\frac{2+8}{2}\), so it is the midpoint of the two zeroes. Tip: a midpoint need not be a zero.
(2x-2+12x+18=2(x+3)2), इसलिए (x=-3) पर स्पर्श होगा। टिप: बाहरी (2) शून्यक नहीं बदलता। / (2x-2+12x+18=2(x+3)2), so it touches at (x=-3). Tip: the outside (2) does not change the zero.
