Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. यह शून्यकों को नहीं बदलता/It does not change the zeros
Explanation
Simple Explanation
यदि हम \(p(x)=3(x+4)(x-2)\) के शून्य खोजें तो शून्य वही होंगे जहाँ \((x+4)(x-2)=0\), अर्थात् \(x=-4\) और \(x=2\)। गैर-शून्य स्थिर गुणक (यहाँ \(3\)) को दोनों पक्षों से विभाजित करने पर समीकरण \(p(x)=0\) के हल नहीं बदलते। इसलिए शून्यकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। निकटतम भ्रम (विकल्प A): स्थिर गुणक केवल फलन के मानों को स्केल करता है, शून्यकारकों को नहीं। परीक्षा टिप: शून्य जानने के लिए सीधे \(p(x)=0\) रखें और कारकों को शून्य के बराबर मानें। / Zeros are solutions of \(p(x)=0\). For \(p(x)=3(x+4)(x-2)\), setting \(p(x)=0\) gives \((x+4)(x-2)=0\), so zeros are \(x=-4\) and \(x=2\). A nonzero constant multiplier (3) scales the polynomial values but does not change where it becomes zero. Why A is wrong: multiplying the polynomial by 3 does not multiply the roots. Exam tip: always set \(p(x)=0\) and solve the factor equation to find zeros quickly.
A. यह (x=1) पर स्पर्श करेगा/It will touch at (x=1)
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष (x)-अक्ष पर है इसलिए परवलय वहाँ स्पर्श करता है। टिप: शीर्ष का (y)-मान (0) हो तो स्पर्श की जाँच करें। / The vertex is on the (x)-axis, so the parabola touches there. Tip: if the vertex has (y=0), check for touching.
B. बीच में कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा/There is at least one x-axis intersection between them
Explanation
Simple Explanation
सही कारण: \(p(-1)>0\) से \(x=-1\) पर बहुपद का मान धन है और \(p(4)<0\) से \(x=4\) पर मान ऋण है। किसी निरंतर फलन के लिए मान का चिन्ह बदलना मध्य मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार उस बीच कम से कम एक बिंदु \(c\in(-1,4)\) पर \(p(c)=0\) होना दर्शाता है। क्योंकि बहुपद का ग्राफ निरंतर होता है, इसलिए आवश्यकतः कम से कम एक x-अक्ष पर प्रतिच्छेद होगा। निकटतम विचलन क्यों गलत है: A गलत है क्योंकि दिए हुए मान शून्य नहीं हैं; C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन के बावजूद कोई प्रतिच्छेद न होना असंभव है; D गलत है क्योंकि केवल y-अक्ष का कटान बताना प्रासंगिक नहीं है — यह x‑अक्ष पर शून्य के अस्तित्व को बदलता नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के प्रश्नों में संकेत बदलने पर तुरंत मध्य मान प्रमेय याद रखें और संंतिलित अंतराल चुनें। / Why correct: \(p(-1)>0\) means the polynomial's value at \(x=-1\) is positive and \(p(4)<0\) means it is negative at \(x=4\). For a continuous function, a sign change on an interval implies by the Intermediate Value Theorem that there exists at least one \(c\in(-1,4)\) with \(p(c)=0\). Thus the graph must cross the x-axis at least once between -1 and 4. Why other options fail: A is false because the given values are not zero; C is false because a sign change guarantees a root in the interval; D is irrelevant — cutting the y-axis does not prevent an x-axis intersection in the interval. Exam tip: For polynomials (continuous), a sign change over an interval is a quick indicator of at least one real root there (use the Intermediate Value Theorem).
C. (a) एक वास्तविक शून्यक है और इसकी बहुलकता सम (even) है/(a) is a real zero with even multiplicity
Explanation
Simple Explanation
जब ग्राफ \\(x\\)-अक्ष पर बिंदु \\((a,0)\\) पर छूता है तो बहुपद का मान वहाँ शून्य होता है, अर्थात् \\({p(a)=0}\\)। इसके अतिरिक्त, छूने का अर्थ है कि ग्राफ-अक्ष के दूसरी तरफ नहीं जाता — इसका मतलब उस शून्य की बहुलकता सम (even) होती है। इसलिए (a) वास्तविक शून्यक है और उसकी बहुलकता सम है। विकल्प B गलत है क्योंकि विषम (odd) बहुलकता पर ग्राफ़ अक्ष को काटता (cross) है, न कि केवल छूता। विकल्प A और D स्पष्ट रूप से गलत हैं क्योंकि छूने पर मान शून्य होता है और यह y-अक्ष से ही कटने का विवरण नहीं है। परीक्षाई टिप: किसी बिंदु पर "छूना" सूचित करता है कि शून्यक की बहुलकता सम है; "काटना" सूचित करता है कि बहुलकता विषम है। / If the graph of a polynomial touches the x-axis at \\((a,0)\\), then the polynomial has value zero there, i.e. \\({p(a)=0}\\). Touching (without crossing) indicates the root at a has even multiplicity, so (a) is a real zero with even multiplicity. Option B is incorrect because an odd multiplicity root causes the graph to cross the x-axis, not merely touch it. Options A and D are incorrect since touching implies a zero on the x-axis, not a non-zero or only a y-intercept. Exam tip: "touching" ⇨ even multiplicity; "crossing" ⇨ odd multiplicity — use this to decide root behaviour quickly.
(x-2-6x+9=(x-3)2) इसलिए स्पर्श बिंदु ((3,0)) है। टिप: पूर्ण वर्ग का शून्यक तुरंत पहचानें। / (x-2-6x+9=(x-3)2), so the touching point is ((3,0)). Tip: identify the zero of a perfect square quickly.
हर अलग कटान या स्पर्श बिंदु एक अलग वास्तविक शून्यक देता है। टिप: अलग बिंदुओं को गिनें। / Each distinct crossing or touching point gives a distinct real zero. Tip: count distinct points.
एक ही (x)-मान (4) दोहराया गया है इसलिए अलग शून्यक एक है। टिप: अलग शून्यक में दोहराव न गिनें। / The same (x)-value (4) is repeated, so there is one distinct zero. Tip: do not count repetition for distinct zeroes.
शून्यक वे बिंदु होते हैं जहाँ ग्राफ़ का y‑मान शून्य हो और समीकरण \(p(x)=0\) पूरा हो। \(p(x)=x^2-1\) के लिए \(p(\pm1)=1-1=0\), अतः बिंदु (-1,0) और (1,0) ग्राफ़ पर शून्यक हैं। परन्तु \(p(0)=0^2-1=-1\), अतः बिंदु (0,-1) में y = -1 है और यह शून्यक नहीं दर्शाता। निकटतम भ्रामक विकल्प D गलत है क्योंकि वह कहता है कि दोनों (-1,0) और (1,0) शून्यक नहीं हैं—वास्तव में दोनों शून्यक हैं। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a,b) की जाँचना हो तो p(a) निकालें; यदि p(a)=0 और b=0 हों तो वह शून्यक है। / Zeros (roots) occur where the graph has y = 0, i.e., where \(p(x)=0\). For \(p(x)=x^2-1\), \(p(\pm1)=1-1=0\), so (-1,0) and (1,0) are zeros. But \(p(0)=0^2-1=-1\), so (0,-1) has y = -1 and is not a zero. The closest distractor D is wrong because it claims both (-1,0) and (1,0) are not zeros, whereas both actually are. Exam tip: to test a point (a,b), compute p(a); if p(a)=0 (and b=0 on the graph) then it's a zero.
संख्या रेखा पर दायीं ओर स्थित संख्या बड़ी मानी जाती है। -2, -9 की तुलना में दायीं ओर है, इसलिए -2 बड़ा है। विकल्प -9 इस बहुपद का दूसरा शून्यक है इसलिए गलत; विकल्प 0 और 9 दिए गए शून्यक नहीं हैं। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्याओं में जो संख्या कम ऋणात्मक (अर्थात् absolute मान छोटा) होती है वह बड़ी होती है — सीधे संख्या रेखा पर सोचें। / On the number line a number to the right is greater. -2 lies to the right of -9, so -2 is greater. -9 is the other root and thus smaller; 0 and 9 are not the given zeroes. Exam tip: For negatives, the one with smaller absolute value (less negative) is larger—visualize on the number line.
x-अक्ष के परकीय बिंदु शून्यक होते हैं। यहाँ शून्यक -10 और 0 हैं। उनका गुणनफल (-10) × 0 = 0 होगा क्योंकि किसी भी संख्या का 0 से गुणनफल 0 होता है. निकटवर्ती विचलन: 100 विकल्प तब गलत है जब कोई |−10|×|−10| मानकर भूल कर देता है। परीक्षा टिप: यदि आलेख origin (0,0) पर कटता है तो 0 एक शून्यक जरूर है। / The x-intercepts are the zeros of the polynomial. Here the zeros are -10 and 0, so their product is (-10) × 0 = 0 because any number multiplied by 0 equals 0. Closest distractor: 100 is wrong; it would arise only if one mistakenly multiplied 10 by 10. Exam tip: if the graph passes through the origin (0,0), 0 is always one of the roots.
