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दूसरे समीकरण को (2) से भाग देने पर (x+2y=6) मिलता है, जो पहले से समांतर है। समान बाएँ पक्ष और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Dividing the second equation by (2) gives (x+2y=6), which is parallel to the first. Same left side with different constants gives parallel lines.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=6), जबकि दूसरा (2x-2y=10) है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=6), while the second is (2x-2y=10). Hence the lines are parallel and have no solution.
B. वे समांतर और अलग हैं/They are parallel and distinct
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+6y=14), जबकि दूसरा (4x+6y=20) है। इसलिए रेखाएँ समांतर और अलग हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+6y=14), while the second is (4x+6y=20). Hence the lines are parallel and distinct.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=4) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=4), which is different from the second. Hence the lines are parallel and have no solution.
C. समांतर रेखाएँ और कोई हल नहीं/Parallel lines and no solution
Explanation
Simple Explanation
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (4x+10y=30) मिलता है, जो दूसरे से अलग है। समान गुणांक अनुपात और अलग नियतांक समांतर रेखाएँ देते हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (4x+10y=30), different from the second. Same coefficient ratio with different constant gives parallel lines.
C. जब दोनों रेखाएँ भिन्न और समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
ग्राफीय विधि में हल दोनों रेखाओं के सामान्य बिंदु से मिलता है। भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई सामान्य बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक हल होता है, जबकि संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा-युक्ति: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / In the graphical method, a solution is represented by a common point of the two lines. Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair has no solution. Lines intersecting at one point give one solution, whereas coincident lines have infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair.
पहले समीकरण को (3) से गुणा करने पर (3x-3y=21) मिलता है, जो (3x-3y=24) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (3) gives (3x-3y=21), which differs from (3x-3y=24). Therefore, the lines are parallel.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
दोनों ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं लेकिन उनके (x) मान अलग हैं। इसलिए वे समांतर हैं और नहीं मिलतीं। / Both are vertical lines but have different (x)-values. Therefore, they are parallel and do not meet.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ हैं। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, they are distinct parallel lines.
भिन्न समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता और रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं होता। इसके विपरीत, प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक हल और संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं। परीक्षा में याद रखें: भिन्न समांतर रेखाएँ असंगत युग्म को दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of linear equations has no solution. In contrast, intersecting lines give one solution, while coincident lines give infinitely many solutions. Exam tip: distinct parallel lines represent an inconsistent pair of equations.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर होंगी और कोई हल नहीं होगा। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. So the lines are parallel and have no solution.
C. जब दोनों रेखाएँ अलग-अलग समांतर होती हैं/When the two lines are distinct and parallel
Explanation
Simple Explanation
अलग-अलग समांतर रेखाएँ कभी एक-दूसरे को नहीं काटतीं, इसलिए उनका कोई साझा बिंदु नहीं होता और समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं मिलता। संपाती रेखाओं के अनंत हल होते हैं, जबकि प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं का एक अद्वितीय हल होता है। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में समान ढलान और अलग-अलग अवरोध वाली रेखाएँ no solution दर्शाती हैं। / Distinct parallel lines never intersect, so they have no common point and the pair of equations has no solution. Coincident lines have infinitely many solutions, while intersecting lines have one unique solution. Exam tip: lines with the same slope but different intercepts represent no solution.
पहले समीकरण को (2) से गुणा करने पर (2x-2y=12) मिलता है, जो (2x-2y=15) से अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं। / Multiplying the first equation by (2) gives (2x-2y=12), which differs from (2x-2y=15). Therefore, the lines are parallel.
दोनों क्षैतिज रेखाएँ अलग-अलग स्तरों पर हैं। वे समांतर हैं इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं है। / Both horizontal lines are at different levels. They are parallel, so there is no common point.
दोनों ऊर्ध्वाधर रेखाएँ हैं पर अलग-अलग (x) मान रखती हैं। इसलिए वे समांतर हैं और नहीं मिलतीं। / Both are vertical lines but have different (x)-values. Therefore, they are parallel and do not meet.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं पर नियतांक अलग हैं। इसलिए वे अलग-अलग समांतर रेखाएँ हैं। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, they are distinct parallel lines.
दो अलग-अलग समांतर रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं होता। ग्राफ पर उभयनिष्ठ बिंदु ही युग्म के हल को दर्शाता है, इसलिए ऐसे युग्म का कोई हल नहीं होता और यह असंगत युग्म कहलाता है। परीक्षा में याद रखें: प्रतिच्छेदी रेखाएँ—एक हल, संपाती रेखाएँ—अनंत हल, तथा अलग-अलग समांतर रेखाएँ—कोई हल नहीं। / Two distinct parallel lines have no common point. Since a common point on the graph represents a solution of the pair, such a pair has no solution and is called an inconsistent pair. Exam tip: intersecting lines give one solution, coincident lines give infinitely many solutions, and distinct parallel lines give no solution.
दोनों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं लेकिन नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और कोई हल नहीं है। / Both have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Hence, the lines are parallel and have no solution.
दोनों रेखाएँ (y)-अक्ष के समांतर हैं और अलग-अलग (x) मान रखती हैं। इसलिए वे समांतर हैं और नहीं मिलेंगी। / Both lines are parallel to the (y)-axis and have different (x)-values. Therefore, they are parallel and will not meet.
दो रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने का अर्थ है कि वे समांतर और भिन्न हैं, इसलिए समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है। ऐसा युग्म असंगत कहलाता है। इसके विपरीत, आश्रित युग्म में दोनों रेखाएँ संपाती होती हैं और अनंत हल मिलते हैं। परीक्षा-युक्ति: ग्राफ में कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हो, तो युग्म असंगत होता है। / If two lines have no common point, they are distinct parallel lines, so the pair of equations has no solution. Such a pair is called inconsistent. In contrast, a dependent pair represents coincident lines and has infinitely many solutions. Exam tip: No point of intersection on the graph means an inconsistent pair.
दोनों समीकरणों में (x) और (y) के गुणांक समान हैं, पर नियतांक अलग हैं। इसलिए रेखाएँ समांतर और असंगत होंगी। / Both equations have the same coefficients of (x) and (y), but different constants. Therefore, the lines are parallel and inconsistent.
समांतर अलग-अलग रेखाएँ कभी प्रतिच्छेद नहीं करतीं, इसलिए कोई सामान्य बिंदु नहीं होता। परीक्षा में ऐसी रेखाओं को असंगत मानें। / Distinct parallel lines never intersect, so there is no common point. In exams, such lines are inconsistent.
जड़ों का योग (\frac{2(m-1)}{m+1}) है। इसे (2) रखने पर (m-1=m+1) आता है, जो असंभव है। / The sum of roots is (\frac{2(m-1)}{m+1}). Setting it equal to (2) gives (m-1=m+1), which is impossible.
a = 3 रखने पर a − 3 = 0 और a² − 9 = 9 − 9 = 0 हो जाता है। अतः समीकरण 11 = 0 प्राप्त होता है, जो असत्य और विरोधाभासी कथन है। इसका कोई हल नहीं है। परीक्षा-युक्ति: गुणांक शून्य होने पर पहले जाँचें कि बचा हुआ कथन सत्य है या असत्य; असत्य स्थिर कथन का कोई हल नहीं होता। / Substituting a = 3 gives a − 3 = 0 and a² − 9 = 9 − 9 = 0. Therefore, the equation reduces to 11 = 0, which is a false and contradictory statement, so it has no solution. Exam tip: When the coefficients of the variable terms become zero, check whether the remaining constant statement is true or false; a false statement has no solution.
C. विरोधाभासी कथन (कोई हल नहीं)/Contradictory statement (no solution)
Explanation
Simple Explanation
\(a=2\) रखने पर \((2-2)x^2+(2^2-4)x+5=0\), अर्थात \(0x^2+0x+5=0\) या \(5=0\) प्राप्त होता है। यह कथन असत्य है और किसी भी \(x\) के लिए संतुष्ट नहीं होता, इसलिए यह विरोधाभासी कथन है। यह न तो रैखिक समीकरण है, क्योंकि \(x\) का गुणांक भी शून्य है, और न ही सदैव सत्य कथन। परीक्षा-युक्ति: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद सबसे पहले उच्चतम घात वाले पद और परिणामी स्थिर कथन की जाँच करें। / Substituting \(a=2\) gives \((2-2)x^2+(2^2-4)x+5=0\), or \(0x^2+0x+5=0\), which reduces to \(5=0\). This statement is false and is satisfied by no value of \(x\), so it is a contradictory statement. It is not linear because the coefficient of \(x\) is also zero, and it is not always true. Exam tip: After substituting a parameter value, check the highest non-zero power and whether the resulting constant statement is true or false.
जब \\(a=-1\\) रखा जाता है, तब \\(a+1=0\\) और \\(a^2-1=1-1=0\\) हो जाते हैं। इसलिए समीकरण \\(0x^2+0x+2=0\\), अर्थात् \\(2=0\\), बनता है। यह असत्य और विरोधाभासी कथन है, इसलिए इसका कोई हल नहीं है। इसे रैखिक समीकरण नहीं कहा जाएगा, क्योंकि \\(x\\) का गुणांक भी शून्य है। परीक्षा में पैरामीटर वाले समीकरण में पहले \\(x^2\\), \\(x\\) और अचर पद के गुणांकों को अलग-अलग जाँचें। / Substituting \\(a=-1\\) gives \\(a+1=0\\) and \\(a^2-1=1-1=0\\). Hence the equation becomes \\(0x^2+0x+2=0\\), or \\(2=0\\). This is a false, contradictory statement and has no solution. It is not a linear equation because the coefficient of \\(x\\) is also zero. In parameter-based equations, first check the coefficients of \\(x^2\\), \\(x\\), and the constant term separately.
