Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (R) समतुल्यता संबंध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में सभी स्वयं युग्म होते हैं, इसलिए स्वपरकता है। / A universal relation contains all self-pairs, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उल्टा भी होता है, इसलिए सममितता है। / It also contains every reverse pair, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
सभी युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Since all pairs are present, transitivity also holds, making it an equivalence relation.
A. ((2,3)) का अभाव संक्रामकता तोड़ता है/absence of ((2,3)) breaks transitivity
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / All diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((1,3)) के उल्टे युग्म भी हैं, इसलिए सममितता है। / The reverses of ((1,2)) and ((1,3)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing; hence transitivity fails.
B. ((1,3)) और ((3,1)) का अभाव/absence of ((1,3)) and ((3,1))
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्तिता है। / Diagonal pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए गैर-विकर्ण युग्म अपने उल्टे युग्मों के साथ हैं, इसलिए सममितता है। / Each non-diagonal pair has its reverse, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए संक्रामकता टूटती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required but missing; hence transitivity fails.
(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए प्रतिवर्ती है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम हो तो (b+a) भी सम है, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाले दो संबंध जुड़ें तो पहला और तीसरा भी समान समता वाले होंगे, इसलिए संक्रामी है। / If two numbers have the same parity as a middle number, they have the same parity with each other, so it is transitive.
D. यह प्रतिवर्ती, सममित और संक्रामी होता है/it is reflexive, symmetric and transitive
Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध में \(A\times A\) के सभी युग्म होते हैं। / The universal relation contains every pair in \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए विकर्ण, विपरीत और संक्रामकता के लिए जरूरी युग्म सब मौजूद रहते हैं। / Therefore all diagonal, reverse, and transitivity-required pairs are present.
Step 3
Exam Tip
सभी युग्म होने का अर्थ यह नहीं कि यह कठिन है; गुण सीधे पूरे कार्तीय गुणनफल से मिलते हैं। / When all pairs are present, the relation automatically satisfies these three properties.
तीनों विकर्ण युग्म हैं, इसलिए प्रतिवर्ती है। / All three diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है, इसलिए सममितता बनी रहती है। / ((1,2)) is accompanied by ((2,1)), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है; इसलिए संक्रामी भी है। / From ((1,2)) and ((2,1)), ((1,1)) is required and present; hence transitivity also holds.
(a-a=0) संख्या (5) से विभाज्य है, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / (a-a=0) is divisible by (5), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) विभाज्य है तो (b-a) भी विभाज्य है, और दो ऐसे अंतर जोड़ने पर संक्रामकता मिलती है। / If (a-b) is divisible by (5), then (b-a) is also divisible by (5), and adding two such differences gives transitivity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले संबंधों में अक्सर समतुल्यता बनती है। / Remainder-based relations often form equivalence relations.
A. यह तुल्यता संबंध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं इसलिए सभी विकर्ण युग्म भी होते हैं। / The universal relation contains all possible pairs, so it contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उलटा और संचारीता के लिए जरूरी युग्म भी मौजूद होता है। / Every reverse pair and every pair required for transitivity is also present.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Therefore it is an equivalence relation.
