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A. समुद्री मार्गों ने व्यापार सैन्य पहुंच और क्षेत्रीय दावे आसान किए/Sea routes made trade military access and territorial claims easier
Explanation
Simple Explanation
समुद्री शक्ति से यूरोपीय देशों ने दूरस्थ क्षेत्रों पर नियंत्रण बढ़ाया। परीक्षा में नौसंचालन व्यापार और साम्राज्यवाद को साथ पढ़ें। / Maritime power helped European states expand control over distant regions. For exams study navigation trade and imperialism together.
D. क्रीट के महलों और एजियन संपर्कों से/Through Cretan palaces and Aegean contacts
Explanation
Simple Explanation
मिनोअन सभ्यता एजियन सागर के व्यापारिक संपर्कों से समृद्ध हुई। परीक्षा में क्रीट को समुद्री नेटवर्क से जोड़ें। / The Minoan civilization prospered through trade contacts in the Aegean Sea. For exams connect Crete with maritime networks.
राष्ट्रीय समुद्री दिवस 5 अप्रैल को मनाया जाता है। इसे भारतीय समुद्री व्यापार और जहाजरानी इतिहास से जोड़ें। / National Maritime Day is observed on 5 April. Link it with Indian maritime trade and shipping history.
राष्ट्रीय समुद्री दिवस 5 अप्रैल को मनाया जाता है। इसे भारतीय समुद्री व्यापार और जहाजरानी इतिहास से जोड़ें। / National Maritime Day is celebrated on 5 April. Link it with Indian maritime trade and shipping history.
राजेंद्र चोल प्रथम ने दक्षिण पूर्व एशिया की ओर समुद्री अभियान किए। परीक्षा में चोलों को नौसैनिक शक्ति के रूप में याद रखें। / Rajendra Chola I carried maritime campaigns toward Southeast Asia. For exams, remember the Cholas as a naval power.
पहला अंतर (12-5=7) और दूसरा (26-19=7) है। समान अंतर समांतर श्रेढ़ी की पुष्टि करता है। / The first difference is (12-5=7), and the second is (26-19=7). Equal differences confirm an arithmetic progression.
नए अनुक्रम में दो-दो मूल पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (2d) है। परीक्षा में पद-संख्या की छलांग को (d) से गुणा करें। / The new sequence jumps two original terms each time, so the difference is (2d). In exams, multiply (d) by the term-number jump.
उलटने पर हर कदम का अंतर विपरीत चिन्ह वाला हो जाता है। परीक्षा में उलटा क्रम (d) को (-d) कर देता है। / Reversing changes each step to the opposite sign. In exams, reverse order changes (d) to (-d).
नए अनुक्रम में हर बार तीन पदों की छलांग है, इसलिए अंतर (3d=12) है। परीक्षा में चुने गए पदों के बीच की दूरी गिनें। / The new sequence jumps three original terms each time, so its difference is (3d=12). In exams, count the gap between selected term numbers.
\(\frac{1}{3}\) से गुणा करने पर अंतर (-9) से (-3) हो जाता है, और (5) जोड़ने से अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में जोड़ और गुणन के प्रभाव अलग करें। / Multiplying by \(\frac{1}{3}\) changes the difference from (-9) to (-3), and adding (5) does not change it. In exams, separate the effects of addition and multiplication.
पदों को (2) से गुणा करने पर अंतर भी (2) गुना हो जाता है, इसलिए (8)। परीक्षा में जोड़ना-घटाना अंतर नहीं बदलता, गुणा बदलता है। / Multiplying terms by (2) multiplies the difference by (2), so it becomes (8). In exams, adding or subtracting a constant does not change the difference, but multiplication does.
पहले अनुक्रम का (d=4) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-6=-2)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=4) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=4-6=-2). In termwise difference, take the difference of common differences.
तीसरा पद (63) और चौथा (57) है इसलिए अंतर (57-63=-6) है। अंतर निकालते समय अगला पद घटा पिछला पद करें। / The third term is (63) and the fourth is (57), so the difference is (57-63=-6). While finding difference subtract the previous term from the next term.
तीसरा पद (36) और चौथा (33) है इसलिए (33-36=-3)। अंतर निकालते समय बाद वाला पद घटा पहले वाला पद करें। / The third term is (36) and the fourth is (33), so (33-36=-3). While finding the difference subtract the previous term from the next term.
दूसरा पद (10) और तीसरा पद (14) है इसलिए अंतर (14-10=4) है। यह (d) के बराबर है। / The second term is (10) and the third term is (14), so the difference is (14-10=4). It equals (d).
सार्व अंतर (90-100=-10) है। घटते अनुक्रम में उत्तर का चिह्न जरूर देखें। / The common difference is (90-100=-10). In a decreasing sequence carefully check the sign.
पहला पद (20) है और (15-20=-5) है। क्रमशः पूछे जाने पर क्रम का ध्यान रखें। / The first term is (20) and (15-20=-5). When asked respectively keep the order in mind.
A. समुद्री यात्रा सुरक्षा और शिंतो अनुष्ठान/Maritime safety and Shinto rituals
Explanation
Simple Explanation
ओकिनोशिमा जापान में समुद्री मार्गों और शिंतो पवित्र परंपरा से जुड़ा है। परीक्षा में पवित्र द्वीप याद रखें। / Okinoshima in Japan is linked with sea routes and Shinto sacred tradition. For exams remember sacred island.
A. मलक्का जलडमरूमध्य व्यापार और बहु सांस्कृतिक नगर/Strait of Malacca trade and multicultural towns
Explanation
Simple Explanation
ये नगर एशियाई और यूरोपीय व्यापारिक संपर्क से विकसित हुए। परीक्षा में मलक्का जलडमरूमध्य याद रखें। / These towns developed through Asian and European trading contacts. For exams remember Strait of Malacca.
D. दक्षिण पूर्व एशिया में बहु सांस्कृतिक बंदरगाह व्यापार/Multicultural port trade in Southeast Asia
Explanation
Simple Explanation
होय आन वियतनाम का ऐतिहासिक बंदरगाह था जहां एशियाई व्यापारिक संस्कृतियां मिलीं। परीक्षा में व्यापारिक नगर याद रखें। / Hoi An was a historic port of Vietnam where Asian trading cultures met. For exams remember trading town.
A. अटलांटिक बंदरगाह और अठारहवीं सदी की नियोजित किलेबंदी/Atlantic port and eighteenth century planned fortification
Explanation
Simple Explanation
एस्सौइरा मोरक्को का अटलांटिक व्यापारिक बंदरगाह और नियोजित किलेबंद नगर है। परीक्षा में समुद्री व्यापार याद रखें। / Essaouira is Morocco's Atlantic trading port and planned fortified town. For exams remember maritime trade.
A. फोनीशियाई पुनिक शक्ति और रोमन संघर्ष/Phoenician Punic power and Roman conflict
Explanation
Simple Explanation
कार्थेज पुनिक समुद्री शक्ति और रोम के साथ संघर्ष के लिए प्रसिद्ध है। परीक्षा में पुनिक युद्ध याद रखें। / Carthage is famous for Punic maritime power and conflict with Rome. For exams remember Punic Wars.
A. लाल सागर व्यापार और हज मार्ग/Red Sea trade and Hajj route
Explanation
Simple Explanation
जेद्दा लाल सागर का व्यापारिक बंदरगाह और मक्का जाने वाले यात्रियों का द्वार था। परीक्षा में हज द्वार याद रखें। / Jeddah was a Red Sea trading port and gateway for pilgrims to Mecca. For exams remember gateway to Hajj.
A. काला सागर तटीय नगर और बीजान्टिन चर्च परंपरा/Black Sea coastal town and Byzantine church tradition
Explanation
Simple Explanation
नेसेबार काला सागर तट पर बहु कालीन नगर धरोहर है। परीक्षा में बुल्गारिया और बीजान्टिन चर्च याद रखें। / Nessebar is a multi period urban heritage site on the Black Sea coast. For exams remember Bulgaria and Byzantine churches.
A. स्वीडिश नौसैनिक योजना और सैन्य बंदरगाह/Swedish naval planning and military port
Explanation
Simple Explanation
कार्ल्सक्रोना स्वीडन की नियोजित नौसैनिक नगरी है। परीक्षा में समुद्री सैन्य धरोहर याद रखें। / Karlskrona is a planned naval city of Sweden. For exams remember maritime military heritage.
D. बास्क व्हेल शिकार और अटलांटिक समुद्री उद्योग/Basque whaling and Atlantic maritime industry
Explanation
Simple Explanation
रेड बे कनाडा में बास्क व्हेलिंग और प्रारंभिक समुद्री उद्योग से जुड़ा है। परीक्षा में अटलांटिक धरोहर याद रखें। / Red Bay in Canada is linked with Basque whaling and early maritime industry. For exams remember Atlantic heritage.
C. ब्रिटिश नौसैनिक अड्डा और कैरेबियाई रणनीति/British naval base and Caribbean strategy
Explanation
Simple Explanation
नेल्सन डॉकयार्ड ब्रिटिश नौसैनिक शक्ति और कैरेबियाई रक्षा से जुड़ा है। परीक्षा में नौसैनिक धरोहर याद रखें। / Nelson's Dockyard is linked with British naval power and Caribbean defense. For exams remember naval heritage.
B. ब्रिटिश कैरेबियाई बंदरगाह और सैन्य रक्षा/British Caribbean port and military defense
Explanation
Simple Explanation
ब्रिजटाउन बारबाडोस में ब्रिटिश औपनिवेशिक सैन्य और बंदरगाह संरचना दिखाता है। परीक्षा में गैरीसन याद रखें। / Bridgetown in Barbados shows British colonial military and port structure. For exams remember garrison.
C. डच औपनिवेशिक समुद्री किलेबंदी/Dutch colonial maritime fortification
Explanation
Simple Explanation
गॉल किला श्रीलंका में डच औपनिवेशिक बंदरगाह और किलेबंदी का उदाहरण है। परीक्षा में समुद्री व्यापार याद रखें। / Galle Fort in Sri Lanka is an example of Dutch colonial port and fortification. For exams remember maritime trade.
D. क्योंकि इसकी किलेबंदी और बंदरगाह एड्रियाटिक व्यापार से जुड़े हैं/Because its fortifications and port are linked with Adriatic trade
Explanation
Simple Explanation
दुब्रोवनिक एड्रियाटिक समुद्री व्यापार और किलेबंदी से जुड़ा है। परीक्षा में क्रोएशिया याद रखें। / Dubrovnik is linked with Adriatic maritime trade and fortification. For exams remember Croatia.
कार्थेज फिनीशियन और बाद के रोमन इतिहास से जुड़ा है। परीक्षा में ट्यूनीशिया और भूमध्यसागर याद रखें। / Carthage is linked with Phoenician and later Roman history. For exams remember Tunisia and Mediterranean.
दुब्रोवनिक क्रोएशिया का एड्रियाटिक तटीय दीवारबंद नगर है। परीक्षा में समुद्री व्यापार और किलेबंदी याद रखें। / Dubrovnik is a walled Adriatic coastal city of Croatia. For exams remember maritime trade and fortification.
A. इसने स्पेन और पुर्तगाल के बीच नए खोजे गए क्षेत्रों पर दावों की रेखा तय की/It drew a line of claims over newly discovered lands between Spain and Portugal
Explanation
Simple Explanation
टॉर्डेसिलास की संधि ने यूरोपीय खोज यात्राओं को उपनिवेशी दावों से जोड़ा। परीक्षा में इसे स्पेन पुर्तगाल और समुद्री विस्तार से जोड़ें। / The Treaty of Tordesillas linked European voyages with colonial claims. For exams connect it with Spain Portugal and maritime expansion.
A. इसने स्पेन और पुर्तगाल के बीच नए खोजे गए क्षेत्रों पर दावों की रेखा तय की/It drew a line of claims over newly discovered lands between Spain and Portugal
Explanation
Simple Explanation
टॉर्डेसिलास की संधि ने यूरोपीय खोज यात्राओं को उपनिवेशी दावों से जोड़ा। परीक्षा में इसे स्पेन पुर्तगाल और समुद्री विस्तार से जोड़ें। / The Treaty of Tordesillas linked European voyages with colonial claims. For exams connect it with Spain Portugal and maritime expansion.
B. पूर्वी व्यापार मार्गों पर दबाव ने नए समुद्री मार्गों की खोज को प्रेरित किया/Pressure on eastern trade routes encouraged search for new sea routes
Explanation
Simple Explanation
कॉन्स्टेंटिनोपल के पतन ने व्यापारिक विकल्पों की खोज को तेज किया। परीक्षा में इसे खोज यात्राओं की पृष्ठभूमि से जोड़ें। / The fall of Constantinople accelerated the search for trade alternatives. For exams connect it with the background of exploration.
A. नई समुद्री खोजों का युग/Age of New Maritime Discoveries
Explanation
Simple Explanation
नई समुद्री खोजों के युग ने यूरोपीय व्यापार और उपनिवेश विस्तार को बढ़ाया। परीक्षा में पुर्तगाल और स्पेन को शुरुआती शक्तियों के रूप में याद रखें। / The Age of New Maritime Discoveries increased European trade and colonial expansion. For exams, remember Portugal and Spain as early powers.
B. भूमध्यसागर में व्यापारिक उपनिवेशों का प्रसार/Spread of trading colonies in the Mediterranean
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियाई समुद्री व्यापार ने भूमध्यसागर में उपनिवेश और बाजार बनाए। परीक्षा में उन्हें व्यापारी नाविक के रूप में याद रखें। / Phoenician sea trade created colonies and markets in the Mediterranean. For exams remember them as trading sailors.
कार्थेज को फोनीशियाई उपनिवेश परंपरा से जोड़ा जाता है। बाद में यह भूमध्य सागर की बड़ी शक्ति बना। / Carthage is linked with the Phoenician colonial tradition. Later it became a major Mediterranean power.
A. व्यापारी संपर्कों से लिपि अलग क्षेत्रों में पहुंची/Merchant contacts carried the script to different regions
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियन व्यापारी दूर तक गए और लिपि का प्रभाव फैलाया। परीक्षा में व्यापार को सांस्कृतिक प्रसार से जोड़ें। / Phoenician traders travelled widely and spread the script's influence. Link trade with cultural diffusion in exams.
A. लिपि और वस्तुओं को अलग क्षेत्रों तक पहुंचाया/It carried script and goods to different regions
Explanation
Simple Explanation
फोनीशियन व्यापार नेटवर्क से वर्णमाला और वस्तुओं का प्रसार हुआ। परीक्षा में समुद्री व्यापार को सांस्कृतिक संपर्क से जोड़ें। / Phoenician trade networks spread the alphabet and goods. Link maritime trade with cultural contact in exams.
D. वह गोदी जैसी संरचना और व्यापारिक स्थिति से जुड़ा है/It is linked with a dock-like structure and trading location
Explanation
Simple Explanation
लोथल को गोदी जैसी संरचना और व्यापारिक संपर्कों से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे हड़प्पाई समुद्री व्यापार से याद रखें। / Lothal is linked with a dock-like structure and trading contacts. Remember it with Harappan maritime trade.
कार्थेज फोनीशियन समुद्री व्यापार परंपरा से जुड़ा था। इसे भूमध्य सागर के व्यापारिक नेटवर्क से याद रखें। / Carthage was linked with Phoenician maritime trade. Remember it with Mediterranean trading networks.
कार्थेज फोनीशियन समुद्री व्यापार परंपरा से जुड़ा था। परीक्षा में इसे भूमध्य सागर के व्यापारिक नगर के रूप में याद रखें। / Carthage was linked with the Phoenician maritime trade tradition. In exams, remember it as a trading city of the Mediterranean Sea.
A. समुद्र मार्ग से राजकीय आगमन/Royal arrival by sea route
Explanation
Simple Explanation
गेटवे ऑफ इंडिया मुंबई बंदरगाह पर औपनिवेशिक राजकीय आगमन का प्रतीक था। परीक्षा में इसे किंग जॉर्ज पंचम से जोड़ें। / Gateway of India symbolized colonial royal arrival at Mumbai harbour. In exams connect it with King George V.
A. चोल प्रभाव समुद्री क्षेत्रों तक फैला/Chola influence spread to maritime regions
Explanation
Simple Explanation
राजेंद्र चोल प्रथम समुद्री अभियानों के लिए प्रसिद्ध थे। इन्हें चोल साम्राज्य के विस्तार से जोड़ें। / Rajendra Chola I was famous for naval expeditions. Link them with the expansion of the Chola Empire.
A. समुद्री व्यापार पर अनुमति-पत्र द्वारा नियंत्रण रखना/To control maritime trade through permits
Explanation
Simple Explanation
कार्ताज समुद्री यात्रा पर पुर्तगाली नियंत्रण का साधन था। परीक्षा में इसे हिंद महासागर व्यापार से जोड़ें। / Cartaz was a tool of Portuguese control over sea travel. Exam tip is to link it with Indian Ocean trade.
A. पश्चिमी तट पर स्थायी यूरोपीय शक्ति केंद्र बनना/Creation of a permanent European power centre on the western coast
Explanation
Simple Explanation
1510 में गोवा पुर्तगालियों का प्रमुख समुद्री केंद्र बना। परीक्षा में इसे यूरोपीय समुद्री शक्ति के विस्तार से जोड़ें। / In 1510 Goa became a major Portuguese maritime centre. Exam tip is to link it with the expansion of European naval power.
गुजरात विजय से अकबर को सूरत जैसे व्यापारिक केंद्रों पर नियंत्रण मिला। मुगल विस्तार को आर्थिक कारणों से भी समझें। / The conquest of Gujarat gave Akbar control over trade centres such as Surat. Understand Mughal expansion through economic reasons too.
पत्तिनप्पालै पुहार या कावेरीपट्टनम के व्यापारिक जीवन को दर्शाता है। परीक्षा में संगम साहित्य को व्यापार स्रोत के रूप में पढ़ें। / Pattinappalai depicts the commercial life of Puhar or Kaveripattinam. For exams, read Sangam literature as a trade source.
घंटशाला आंध्र क्षेत्र में बौद्ध और समुद्री व्यापार संपर्कों से जुड़ा था। परीक्षा में तटीय आंध्र के प्राचीन केंद्र याद रखें। / Ghantasala was linked with Buddhist and maritime trade contacts in the Andhra region. For exams, remember ancient centres of coastal Andhra.
सातवाहन काल में पश्चिमी तट से समुद्री व्यापार महत्वपूर्ण था। परीक्षा में दक्कन और पश्चिमी तटीय व्यापार को साथ पढ़ें। / Maritime trade through the western coast was important in the Satavahana period. For exams study the Deccan with western coastal trade.
हर पद से समान संख्या घटाने पर अंतर नहीं बदलता। परीक्षा में समान घटाव को केवल पहला पद बदलने वाला समझें। / Subtracting the same number from every term does not change the difference. In exams, treat uniform subtraction as changing only the first term.
गुणन से सभी अंतर उसी गुणक से गुणा होते हैं, इसलिए नया अंतर (-3d) है। परीक्षा में रूपांतरण का असर अंतर पर लगाएं। / Multiplication scales all differences by the same factor, so the new difference is (-3d). In exams, apply the transformation to the difference.
चुना गया अनुक्रम \(5,19,33,\ldots\) होगा और इसका अंतर (14) है। हर दूसरा पद लेने पर नया (d) मूल (d) का (2) गुना होता है। / The selected sequence is \(5,19,33,\ldots\), and its difference is (14). Selecting every second term makes the new (d) twice the original (d).
मूल (d=5) है और (4n) का (d=4) है, इसलिए नया (d=1)। पद संख्या से जुड़े परिवर्तन में उसके अंतर को घटाएं। / The original (d=5), and (4n) has (d=4), so the new (d=1). In term-number changes, subtract its difference.
पहले अनुक्रम का (d=5) और दूसरे का (d=6) है, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=5-6=-1)। पद-दर-पद अंतर में सार्व अंतरों का अंतर लें। / The first sequence has (d=5) and the second has (d=6), so the difference sequence has (d=5-6=-1). In termwise difference, take the difference of common differences.
नए पद (a+3,a+d+6,a+2d+9) हैं और दोनों अंतर (d+3) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+3,a+d+6,a+2d+9), and both differences are (d+3). The difference of the added numbers is added to (d).
पहले से पांचवें पद तक (4) अंतर हैं, इसलिए (4d=-20) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक होता है। / From the first to the fifth term there are (4) gaps, so (4d=-20) and (d=-5). In a decreasing progression, (d) is negative.
(1.05-0.60=0.45) और (1.50-1.05=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना सुरक्षित है। / (1.05-0.60=0.45) and (1.50-1.05=0.45). Adding zeros makes decimal subtraction safer.
सभी पदों में समान संख्या जोड़ने से सार्व अंतर नहीं बदलता। मूल (d=20-24=-4) है, इसलिए नया (d=-4) ही रहेगा। / Adding the same number to all terms does not change the common difference. The original (d=20-24=-4), so the new (d) remains (-4).
\(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\) है। भिन्नों में समान हर होने पर अंशों का अंतर लें। / \(\frac{5}{8}-\frac{3}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}\). When denominators are equal, subtract the numerators.
नए पद (a+2, a+d+4, a+2d+6) हैं और दोनों अंतर (d+2) हैं। क्रमशः बढ़ते जोड़ का अंतर (2) भी (d) में जुड़ता है। / The new terms are (a+2, a+d+4, a+2d+6), and both differences are (d+2). The difference (2) of the added numbers is also added to (d).
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-18) और (d=-6)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रहता है। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=-18) and (d=-6). In a decreasing progression, (d) remains negative.
तीसरे से सातवें पद तक (4) अंतर होते हैं, इसलिए (4d=28) और (d=7)। पदों की दूरी को अंतरालों की संख्या में बदलें। / From the third to the seventh term there are (4) gaps, so (4d=28) and (d=7). Convert term distance into number of gaps.
(-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}) और अगला अंतर भी \(\frac{3}{4}\) है। ऋणात्मक भिन्नों में घटाव सावधानी से करें। / (-1-\left\(-\frac{7}{4}\right\)=\frac{3}{4}), and the next difference is also \(\frac{3}{4}\). Be careful while subtracting negative fractions.
(2(2x+1)=13+(4x-5)) से (2=8) असंभव है। इसलिए ऐसा सामान्य अंतर नहीं होगा। / From (2(2x+1)=13+(4x-5)), we get (2=8), which is impossible. Therefore no such common difference exists.
सभी पद समान हों तो हर अंतर (0) होता है। स्थिर क्रम भी समांतर श्रेणी होता है। / When all terms are equal, every difference is (0). A constant sequence is also an arithmetic progression.
हर अगला पद पिछले से (4) कम है, इसलिए (d=-4). घटती समांतर श्रेणी में सामान्य अंतर ऋणात्मक होता है। / Each next term is (4) less than the previous one, so (d=-4). A decreasing arithmetic progression has a negative common difference.
पहले विकल्प में हर लगातार अंतर \(\frac{3}{4}\) है। भिन्नों में हर को समान बनाकर अंतर निकालना सुरक्षित तरीका है। / In the first option, every consecutive difference is \(\frac{3}{4}\). With fractions, using common denominators is the safer method.
अंतर (-x+8) और (-2x+16) हैं। बराबर करने पर (x=8), इसलिए (d=0) नहीं बल्कि (d=0) आता है। / The differences are (-x+8) and (-2x+16). Equating them gives (x=8), so (d=0), not (8).
हर अगला पद पिछले पद से (d) कम है। इसलिए सामान्य अंतर (-d) है। / Each next term is (d) less than the previous term. Therefore the common difference is (-d).
(2y=9+(2y+6)) से (0=15) नहीं, इसलिए यह कभी समांतर श्रेणी नहीं बनती। सही विकल्पों में ऐसा कोई सामान्य अंतर नहीं है। / From (2y=9+(2y+6)), we get (0=15), so it never forms an arithmetic progression. None of the listed values can be its common difference.
(20,16,12,8) में हर बार (4) घटता है, इसलिए (d=-4). केवल घटते क्रम को देखकर नहीं, बराबर अंतर भी जांचें। / In (20,16,12,8), (4) is subtracted each time, so (d=-4). Do not just see decreasing order; check equal differences too.
पहले (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) से (p=8) मिलता है। तब सामान्य अंतर ((2p+1)-(p-4)=13) है। / First, (2(2p+1)=(p-4)+(4p-2)) gives (p=8). Then the common difference is ((2p+1)-(p-4)=13).
A. (d=-1) वाली अंकगणितीय श्रेणी/Arithmetic progression with (d=-1)
Explanation
Simple Explanation
पहले (d=4) और दूसरे (d=5) हैं, इसलिए अंतर अनुक्रम का (d=4-5=-1)। दो अंकगणितीय श्रेणियों का पद-दर-पद अंतर भी अंकगणितीय श्रेणी होता है। / The first has (d=4) and the second has (d=5), so the difference sequence has (d=4-5=-1). The termwise difference of two arithmetic progressions is also an arithmetic progression.
नए पद (a+1, a+d+2, a+2d+3) हैं और दोनों अंतर (d+1) हैं। क्रमशः बढ़ती हुई जोड़ से (d) में (1) जुड़ता है। / The new terms are (a+1, a+d+2, a+2d+3), and both differences are (d+1). Adding increasing numbers respectively adds (1) to (d).
दोनों सार्व अंतर (3) और (5) हैं, इसलिए योग अनुक्रम का (d=3+5=8)। पद-दर-पद योग में सार्व अंतरों का योग होता है। / The two common differences are (3) and (5), so the sum sequence has (d=3+5=8). In termwise addition, common differences add.
पहले तीन विकल्पों में (d=-8) है, लेकिन \(81,72,63,54,\ldots\) में (d=-9) है। विकल्पों में मान और चिह्न दोनों देखें। / The first three options have (d=-8), but \(81,72,63,54,\ldots\) has (d=-9). Check both value and sign in the options.
चौथे और पहले पद के बीच (3) अंतर हैं, इसलिए (3d=-15) और (d=-5)। घटती श्रेणी में (d) ऋणात्मक रखें। / There are (3) gaps between the fourth and first terms, so (3d=-15) and (d=-5). Keep (d) negative for a decreasing progression.
दूसरे से पांचवें पद तक (3) अंतर होते हैं, इसलिए (3d=18) और (d=6)। पदों की दूरी को अंतरों की संख्या में बदलें। / From the second to the fifth term there are (3) gaps, so (3d=18) and (d=6). Convert distance between terms into number of gaps.
(1.20-0.75=0.45) और (1.65-1.20=0.45) है। दशमलव में शून्य लगाकर घटाना बेहतर होता है। / (1.20-0.75=0.45) and (1.65-1.20=0.45). In decimals, adding zeros helps subtraction.
मूल सार्व अंतर (5) है, इसलिए (3) से गुणा करने पर नया (d=15) होगा। सभी पदों को समान गुणक से गुणा करने पर (d) भी उसी गुणक से गुणा होता है। / The original common difference is (5), so after multiplying by (3), the new (d=15). When all terms are multiplied by the same factor, (d) is multiplied by that factor too.
सभी पदों में समान (5) जोड़ने से (d) नहीं बदलता, इसलिए (d=-4) रहेगा। समान जोड़ या घटाव से सार्व अंतर अपरिवर्तित रहता है। / Adding the same (5) to all terms does not change (d), so (d=-4) remains. Equal addition or subtraction keeps the common difference unchanged.
दोनों अंतर बराबर रखने पर ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), जिससे पहचान समानता बनती है और (d=8-2x)। इसलिए यह हर (x) पर अंकगणितीय श्रेणी है, लेकिन (d) निश्चित नहीं है। / Equating differences gives ((3x+10)-(5x+2)=(x+18)-(3x+10)), which is an identity, so (d=8-2x). Therefore it is an arithmetic progression for every (x), but (d) is not fixed.
\(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) और \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\) है। भिन्नों में हर समान करना न भूलें। / \(\frac{7}{10}-\frac{2}{5}=\frac{3}{10}\) and \(1-\frac{7}{10}=\frac{3}{10}\). Do not forget to use common denominators in fractions.
सार्व अंतर ((8+s)-8=s) है। अक्षर वाले अनुक्रम में भी समान जोड़ा गया भाग देखें। / The common difference is ((8+s)-8=s). In algebraic sequences also look at the equally added part.
सार्व अंतर (1.9-1.4=0.5) है। दशमलव घटाते समय स्थान मान का ध्यान रखें। / The common difference is (1.9-1.4=0.5). In decimal subtraction pay attention to place value.
\(\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}\) और \(\frac{3}{2}-\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\) है। भिन्नों में हर समान करके घटाएं। / \(\frac{7}{6}-\frac{5}{6}=\frac{1}{3}\) and \(\frac{3}{2}-\frac{7}{6}=\frac{1}{3}\). For fractions subtract using common denominators.
(d=(4x+3)-4x=3) है। बीजगणितीय पदों में भी दूसरा पद घटा पहला पद करें। / (d=(4x+3)-4x=3). For algebraic terms also subtract the first term from the second term.
सार्व अंतर (7.5-7=0.5) है। दशमलव पदों में भी नियमित अंतर देखें। / The common difference is (7.5-7=0.5). For decimal terms also, check the regular difference.
सार्व अंतर (36-42=-6) है। घटती श्रेढ़ी में चिन्ह जरूर जाँचें। / The common difference is (36-42=-6). Always check the sign in a decreasing progression.
सार्व अंतर (13-8=5) है। हमेशा लगातार दो पदों का अंतर जाँचें। / The common difference is (13-8=5). Always check the difference of two consecutive terms.
सार्व अंतर ((5+s)-5=s) है। अक्षर वाले अनुक्रम में भी समान जोड़ा गया भाग देखें। / The common difference is ((5+s)-5=s). In algebraic sequences also look at the equal added part.
