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B. कम रेखाओं से स्पष्ट और प्रभावी अर्थ देना/Giving clear and effective meaning with few lines
Explanation
Simple Explanation
न्यूनतम रेखा चयन और अर्थ पर आधारित होती है। परीक्षा में कम साधन अधिक प्रभाव याद रखें। / Minimal line is based on selection and meaning. Exam tip: remember more impact with fewer means.
D. वे अनुपात और व्यवस्था सुधारने की गुंजाइश देती हैं/They allow correction of proportion and placement
Explanation
Simple Explanation
हल्की खोज रेखाएं संरचना तय करने में मदद करती हैं। परीक्षा में प्रारंभिक रेखा को योजना समझें। / Light searching lines help decide structure. Exam tip: understand initial line as planning.
D. जब तनाव, ऊर्जा या दृश्य रुचि बढ़ानी हो/When tension, energy, or visual interest is to be increased
Explanation
Simple Explanation
दिशा विरोध रचना में ऊर्जा और आकर्षण जोड़ता है। परीक्षा में विरोध को नकारात्मक ही न मानें। / Directional contrast adds energy and attraction. Exam tip: do not treat contrast only as negative.
B. दोनों का दृश्य भार अलग तरीके से संतुलित हो सकता है/Their visual weights can balance in different ways
Explanation
Simple Explanation
दृश्य भार केवल लंबाई नहीं, मोटाई और स्थिति से भी बनता है। परीक्षा में कई गुण साथ देखें। / Visual weight comes not only from length but also thickness and placement. Exam tip: consider multiple qualities together.
D. लय में छोटे बदलाव और अनुपातिक अंतर देकर/By adding small rhythm changes and proportional variation
Explanation
Simple Explanation
नियंत्रित विविधता सजावट को जीवंत रखती है। परीक्षा में पैटर्न में बदलाव का महत्व लिखें। / Controlled variety keeps decoration lively. Exam tip: write the importance of variation in pattern.
A. क्योंकि हर वास्तविक विवरण रखने से रचना बोझिल हो सकती है/Because keeping every real detail can make composition heavy
Explanation
Simple Explanation
अमूर्तन में आवश्यक रेखाएं चुनकर अर्थ बनाया जाता है। परीक्षा में चयन को रचनात्मक निर्णय मानें। / In abstraction, meaning is made by selecting essential lines. Exam tip: treat selection as a creative decision.
C. रेखा भार, दिशा और खाली स्थान को संतुलित करके/By balancing line weight, direction, and empty space
Explanation
Simple Explanation
असममित संतुलन में दृश्य भार का नियंत्रण महत्वपूर्ण होता है। परीक्षा में संतुलन को केवल समानता न मानें। / In asymmetrical balance, control of visual weight is important. Exam tip: do not treat balance only as equality.
A. रेखा घनता, ओवरलैप और दिशा से/Line density, overlap, and direction
Explanation
Simple Explanation
रेखा व्यवस्था स्थानिक संकेत दे सकती है। परीक्षा में गहराई को कई दृश्य संकेतों से समझें। / Line arrangement can give spatial cues. Exam tip: understand depth through multiple visual cues.
D. दिशा, लय, तनाव और संतुलन के संबंधों से/Through relations of direction, rhythm, tension, and balance
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
A. यह रेखाओं को पढ़ने योग्य बनाता है/It makes lines readable
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
B. दूरी में जाती रेखाओं को संगठित करना/Organizing lines receding into distance
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प रेखा के दृश्य कार्य को स्पष्ट करता है। परीक्षा में रेखा को केवल सीमा नहीं, अभिव्यक्ति और संरचना का साधन मानें। / The correct option clarifies the visual function of line. Exam tip: treat line not only as boundary but as expression and structure.
बराक नदी पूर्वोत्तर भारत में असम की बराक घाटी से जुड़ी है। परीक्षा में ब्रह्मपुत्र और बराक घाटी को अलग याद रखें। / Barak River is associated with the Barak Valley of Assam in Northeast India. For exams remember Brahmaputra Valley and Barak Valley separately.
B. क्योंकि यह धारा परिवर्तन और अधिक गाद से प्रभावित होती है/Because it is affected by channel shifting and heavy silt
Explanation
Simple Explanation
कोसी अधिक गाद और धारा परिवर्तन के कारण बाढ़ के लिए जानी जाती है। परीक्षा में कोसी को गंगा तंत्र की हिमालयी सहायक नदी याद रखें। / Kosi is known for floods due to heavy silt and channel shifting. For exams remember Kosi as a Himalayan tributary of the Ganga system.
A. पश्चिमी और पूर्वी घाट का मिलन/Meeting of Western and Eastern Ghats
Explanation
Simple Explanation
नीलगिरि दक्षिण भारत में पश्चिमी और पूर्वी घाट के संपर्क क्षेत्र से जुड़ी हैं। परीक्षा में दक्षिणी पर्वतों का मानचित्र देखें। / Nilgiri is linked with the contact zone of Western and Eastern Ghats in South India. For exams see the map of southern hills.
A. राजनीतिक स्वायत्तता के साथ वैश्विक आर्थिक न्याय की मांग/Demand for global economic justice along with political autonomy
Explanation
Simple Explanation
गुटनिरपेक्ष आंदोलन ने विकास और आर्थिक समानता के मुद्दे उठाए। परीक्षा में राजनीति और अर्थव्यवस्था साथ पढ़ें। / The Non Aligned Movement raised issues of development and economic equality. For exams study politics and economy together.
A. जबरन श्रम से बागान उत्पादन और यूरोपीय लाभ बढ़े/Forced labour increased plantation production and European profits
Explanation
Simple Explanation
दास व्यापार ने श्रम को लाभ कमाने के साधन में बदल दिया। परीक्षा में इसे बागान अर्थव्यवस्था से जोड़ें। / Slave trade turned labour into a tool of profit. For exams connect it with plantation economy.
A. वह इसका संस्थापक शासक था/He was its founding ruler
Explanation
Simple Explanation
कुबलाई खान ने चीन में मंगोल युआन राजवंश की स्थापना की। परीक्षा में उसे चीन और मंगोल शासन से जोड़ें। / Kublai Khan founded the Mongol Yuan dynasty in China. Exam tip: connect him with China and Mongol rule.
A. भूख अस्थिरता बढ़ा सकती है और खाद्य सहायता तनाव घटा सकती है/Hunger can increase instability and food aid can reduce tension
Explanation
Simple Explanation
खाद्य सुरक्षा मानवीय और शांति दोनों दृष्टि से महत्त्वपूर्ण है। परीक्षा में डब्ल्यू एफ पी को भूख राहत से जोड़ें। / Food security is important from both humanitarian and peace perspectives. Exam tip: link WFP with hunger relief.
A. हैती ने अधिकार और समानता के विचारों को दासता विरोधी संघर्ष में लागू किया/Haiti applied ideas of rights and equality to an anti slavery struggle
Explanation
Simple Explanation
फ्रांसीसी क्रांति के अधिकारों के विचार हैती में दासता विरोधी संघर्ष से जुड़े। परीक्षा में विचारों के प्रसार को याद रखें। / Ideas of rights from the French Revolution connected with anti slavery struggle in Haiti. For exams remember the spread of ideas.
A. इसमें पश्चिमी मोर्चा खोलने पर मित्र राष्ट्रों की सहमति मजबूत हुई/It strengthened Allied agreement to open a Western Front
Explanation
Simple Explanation
तेहरान में सोवियत दबाव और पश्चिमी उतराई योजना महत्वपूर्ण थी। परीक्षा में सम्मेलनों को सैन्य अभियानों से जोड़ें। / At Tehran Soviet pressure and the western landing plan were important. For exams connect conferences with military campaigns.
A. यह जापान के निकट आपात और सहायक वायु अड्डे के रूप में उपयोगी था/It was useful as an emergency and support air base near Japan
Explanation
Simple Explanation
इवो जीमा जापान के निकट वायु अभियानों में सामरिक महत्व रखता था। परीक्षा में द्वीपों को केवल भूमि नहीं बल्कि अड्डों के रूप में देखें। / Iwo Jima had strategic value for air operations near Japan. For exams see islands not only as land but as bases.
कार्थेज फोनीशियाई उपनिवेश के रूप में विकसित हुआ। परीक्षा में कार्थेज को समुद्री व्यापार और फोनीशियाई परंपरा से जोड़ें। / Carthage developed as a Phoenician colony. For exams connect Carthage with maritime trade and Phoenician tradition.
लिनियर बी माइसीनियाई यूनानी प्रशासन से जुड़ी लिपि सिद्ध हुई। परीक्षा में इसे एजियन कांस्य युग से जोड़ें। / Linear B proved to be linked with Mycenaean Greek administration. For exams connect it with the Aegean Bronze Age.
A. प्रशासनिक और आर्थिक रिकॉर्ड/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी अभिलेख महल प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देते हैं। परीक्षा में स्रोत के प्रकार को पहचानें। / Linear B records provide information about palace administration and economy. Identify the type of source in exams.
A. प्रशासनिक और आर्थिक अभिलेख/Administrative and economic records
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था बताती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets show Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. वे प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी देते हैं/They provide administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं माइसीनियन प्रशासन और अर्थव्यवस्था की जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets give information about Mycenaean administration and economy. Connect them with Bronze Age Greece.
A. प्रशासनिक और आर्थिक जानकारी/Administrative and economic information
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी पट्टिकाएं प्रशासन और अर्थव्यवस्था से जुड़ी जानकारी देती हैं। परीक्षा में इन्हें कांस्य युगीन यूनान से जोड़ें। / Linear B tablets provide administrative and economic information. Connect them with Bronze Age Greece.
C. यह प्राचीन यूनानी भाषा के प्रशासनिक अभिलेखों से जुड़ी है/It is linked with administrative records in ancient Greek
Explanation
Simple Explanation
लिनियर बी को माइसीनियन प्रशासनिक अभिलेखों और प्राचीन यूनानी से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे कांस्य युगीन यूनान से याद रखें। / Linear B is linked with Mycenaean administrative records and ancient Greek. Remember it with Bronze Age Greece.
लिनियर बी को प्राचीन यूनानी भाषा से जोड़ा जाता है। परीक्षा में इसे माइसीनियन प्रशासनिक रिकॉर्ड से याद रखें। / Linear B is linked with Ancient Greek. In exams, remember it with Mycenaean administrative records.
A. भारत में प्रारंभिक पुर्तगाली उपस्थिति/Early Portuguese presence in India
Explanation
Simple Explanation
सेंट फ्रांसिस चर्च भारत में प्रारंभिक यूरोपीय और पुर्तगाली उपस्थिति से जुड़ा है। इसे कोच्चि और समुद्री व्यापार इतिहास के साथ याद रखें। / St Francis Church is linked with early European and Portuguese presence in India. Remember it with Kochi and maritime trade history.
A. स्वर्ण मुद्राओं पर कुमारदेवी का उल्लेख/Mention of Kumaradevi on gold coins
Explanation
Simple Explanation
चंद्रगुप्त प्रथम और कुमारदेवी की मुद्राएं लिच्छवि संबंध दिखाती हैं। परीक्षा में इसे गुप्त उदय का महत्वपूर्ण संकेत मानें। / Coins of Chandragupta I and Kumaradevi show the Lichchhavi connection. In exams treat it as a key sign of Gupta rise.
B. यह उनके सिख साम्राज्य की राजधानी थी/It was the capital of his Sikh Empire
Explanation
Simple Explanation
महाराजा रणजीत सिंह की राजधानी लाहौर थी। उन्हें पंजाब और सिख साम्राज्य से जोड़कर याद करें। / Lahore was the capital of Maharaja Ranjit Singh. Remember him with Punjab and the Sikh Empire.
A. वह बौद्ध धर्म के संरक्षण और सभा से जुड़ा माना जाता है/He is associated with patronage of Buddhism and a council
Explanation
Simple Explanation
कनिष्क कुषाण शासक था और बौद्ध धर्म के संरक्षण के लिए प्रसिद्ध था। उसे चौथी बौद्ध सभा से भी जोड़ा जाता है। / Kanishka was a Kushan ruler famous for patronage of Buddhism. He is also associated with the Fourth Buddhist Council.
A. गुप्त काल में शिक्षा का विकास/Development of education in the Gupta period
Explanation
Simple Explanation
नालंदा की स्थापना कुमारगुप्त प्रथम से जोड़ी जाती है। इसे गुप्त काल की शिक्षा परंपरा से याद करें। / The founding of Nalanda is associated with Kumaragupta I. Remember it with the educational tradition of the Gupta period.
B. उसने बृहदीश्वर मंदिर बनवाया/He built the Brihadeeswarar Temple
Explanation
Simple Explanation
राजराज चोल प्रथम ने तंजावुर का बृहदीश्वर मंदिर बनवाया। यह चोल स्थापत्य का उत्कृष्ट उदाहरण है। / Rajaraja Chola I built the Brihadeeswarar Temple at Thanjavur. It is an excellent example of Chola architecture.
A. ह्वेनसांग ने हर्ष काल के भारत का विवरण दिया/Xuanzang described India during Harsha's period
Explanation
Simple Explanation
ह्वेनसांग हर्षवर्धन के समय भारत आया था। उसका विवरण सातवीं शताब्दी के भारत की जानकारी देता है। / Xuanzang visited India during the time of Harshavardhana. His account gives information about seventh-century India.
A. बौद्ध उच्च शिक्षा का राजकीय संरक्षण/Royal patronage of Buddhist higher learning
Explanation
Simple Explanation
धर्मपाल से विक्रमशिला महाविहार की स्थापना जोड़ी जाती है। परीक्षा में पालों को शिक्षा संरक्षण से जोड़ें। / Vikramashila Mahavihara is associated with Dharmapala. For exams, connect the Palas with educational patronage.
A. भारतीय बौद्ध विद्या का अंतरराष्ट्रीय प्रसार/International spread of Indian Buddhist learning
Explanation
Simple Explanation
अतीश दीपंकर ने भारतीय बौद्ध ज्ञान को तिब्बत तक पहुंचाने में भूमिका निभाई। परीक्षा में विद्या के अंतरराष्ट्रीय संपर्क याद रखें। / Atisha Dipankara played a role in carrying Indian Buddhist learning to Tibet. For exams, remember international contacts of learning.
\(a_5-a_2=3d=15\), इसलिए (d=5)। परीक्षा में रैखिक रूप में भी पदों के अंतर से (d) निकाला जा सकता है। / \(a_5-a_2=3d=15\), so (d=5). In exams, even for a linear form, (d) can be found from term differences.
(n) का गुणांक (-5) है, इसलिए वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में रैखिक पद में (n) का गुणांक तुरंत देखें। / The coefficient of (n) is (-5), so it is the common difference. In exams, first check the coefficient of (n) in a linear term.
\(a_{n+1}-a_n=\alpha\), इसलिए सामान्य अंतर \(\alpha\) है। परीक्षा में यह रैखिक अनुक्रम का मुख्य शॉर्टकट है। / \(a_{n+1}-a_n=\alpha\), so the common difference is \(\alpha\). In exams, this is the key shortcut for a linear sequence.
(n) का गुणांक (-0.5) है। परीक्षा में दशमलव गुणांक को भी सामान्य अंतर की तरह लें। / The coefficient of (n) is (-0.5). In exams, treat a decimal coefficient as the common difference too.
(n) का गुणांक \(-\frac{2}{5}\) है, वही सामान्य अंतर है। परीक्षा में सूत्र को \(a_n=\alpha n+\beta\) जैसा पहचानें। / The coefficient of (n) is \(-\frac{2}{5}\), which is the common difference. In exams, identify the form \(a_n=\alpha n+\beta\).
लगातार पदों का अंतर (4) है। परीक्षा में रैखिक \(a_n\) में (n) का गुणांक ही सामान्य अंतर होता है। / The difference between consecutive terms is (4). In exams, for linear \(a_n\), the coefficient of (n) is the common difference.
सारणिक (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) चाहिए। / The determinant is (D=(y+1)(y-2)-10=y-2-y-12). For a unique solution, \(D\neq0\) is required.
तीनों अनुपात \(\frac{3}{5}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) से (t=12)। / All three ratios must be \(\frac{3}{5}\). Therefore, \(\frac{t}{20}=\frac{3}{5}\) gives (t=12).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) से (s=7) है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{s}{21}=\frac{4}{12}\) gives (s=7). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) चाहिए। इसलिए \(r\neq6\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{r}{9}\neq\frac{2}{3}\) is required. Hence \(r\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\) होता है। इसलिए (q=6) सही मान है। / For infinitely many solutions, \(\frac{q}{18}=\frac{11}{33}=\frac{22}{66}\). Therefore, (q=6) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) से (p=4) है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{p}{12}=\frac{-5}{-15}\) gives (p=4). The constant ratio is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) चाहिए। इससे (n=6) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{3}{5}=\frac{n}{10}=\frac{18}{30}\) is needed. This gives (n=6).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) होना चाहिए। इसलिए \(m\neq8\)। / For a unique solution, \(\frac{m}{16}\neq\frac{7}{14}\) must hold. Therefore, \(m\neq8\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) से (k=4) है। स्थिर पद अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{k}=\frac{3}{6}\) gives (k=4). The constant ratio is different.
तीनों अनुपात \(\frac{5}{7}\) होने चाहिए। इसलिए \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) से (j=10)। / All three ratios must be \(\frac{5}{7}\). Therefore, \(\frac{j}{14}=\frac{5}{7}\) gives (j=10).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) से (i=9) आता है। स्थिर पद अनुपात समान नहीं है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{6}{18}=\frac{i}{27}\) gives (i=9). The constant ratio is not equal.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) होना चाहिए। इसलिए \(h\neq8\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{h}{10}\neq\frac{12}{15}\) must hold. Hence \(h\neq8\) is correct.
अनंत हलों के लिए \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) होना चाहिए। इससे (g=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{g-1}{8}=\frac{10}{20}=\frac{15}{30}\) must hold. This gives (g=5).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) बनाने के लिए (f=5) चाहिए। स्थिर पद अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं होगा। / To make the coefficient ratio \(\frac{1}{4}\), (f=5) is required. The different constant ratio gives no solution.
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) चाहिए। अतः \(e\neq6\)। / For a unique solution, \(\frac{e}{18}\neq\frac{-4}{-12}\) is needed. Hence \(e\neq6\).
अनंत हलों में \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) होना चाहिए। इसलिए (d=5) सही है। / For infinitely many solutions, \(\frac{4}{12}=\frac{d}{15}=\frac{7}{21}\) must hold. So (d=5) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) से (c=3) आता है। स्थिर अनुपात \(\frac{5}{10}\) अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{c}{9}=\frac{6}{18}\) gives (c=3). The constant ratio \(\frac{5}{10}\) is different.
अनंत हलों के लिए \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) होना चाहिए। इससे (b=4) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{2}{b}=\frac{b}{8}=\frac{6}{24}\) must hold. This gives (b=4).
सारणिक \(D=a^2-8\) है। अद्वितीय हल के लिए \(D\neq0\) यानी \(a^2\neq8\)। / The determinant is \(D=a^2-8\). For a unique solution, \(D\neq0\), so \(a^2\neq8\).
अद्वितीय न होने के लिए ((z+2)(z-1)-18=0) होना चाहिए। इससे (z=4) या (z=-3) मिलता है। / For non-unique solutions, ((z+2)(z-1)-18=0) must hold. This gives (z=4) or (z=-3).
तीनों सारणिक शून्य होने पर समीकरण आश्रित हो सकते हैं। कक्षा (10) में इसे अनंत हल की स्थिति से जोड़कर देखें। / When all three determinants are zero, the equations may be dependent. In Class (10), link this with infinitely many solutions.
C. युग्म का अद्वितीय हल है/The pair has a unique solution
Explanation
Simple Explanation
सारणिक शून्य नहीं होने पर रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल होता है। / When the determinant is non-zero, the lines intersect at one point. Hence there is a unique solution.
B. \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}\)
Explanation
Simple Explanation
अलग समांतर रेखाओं में गुणांक अनुपात समान और स्थिर पद अनुपात अलग होता है। यही कोई हल नहीं की शर्त है। / For distinct parallel lines, coefficient ratios are equal and the constant ratio is different. This is the condition for no solution.
समान ढाल और समान अवरोध का अर्थ एक ही रेखा है। इसलिए ऐसे युग्म में अनंत हल होते हैं। / Same slope and same intercept mean the same line. Therefore, such a pair has infinitely many solutions.
तीनों अनुपात समान होने पर रेखाएँ संपाती होती हैं। इसलिए अनंत हल मिलते हैं। / When all three ratios are equal, the lines are coincident. Therefore, infinitely many solutions occur.
अद्वितीय हल तब मिलता है जब रेखाएँ एक बिंदु पर कटती हैं। इसका अनुपात रूप \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\) है। / A unique solution occurs when the lines intersect at one point. Its ratio form is \(\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}\).
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) से \(\gamma=3\) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{5}{25}=\frac{\gamma}{15}\) gives \(\gamma=3\). The constant ratio is different.
अनंत हलों में \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) होना चाहिए। इससे \(\beta=2\) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{9}{27}=\frac{\beta+4}{18}=\frac{15}{45}\) must hold. This gives \(\beta=2\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) चाहिए। इसलिए \(\alpha\neq5\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{\alpha-1}{8}\neq\frac{5}{10}\) is required. Hence \(\alpha\neq5\) is correct.
\(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\) है। गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) से \(\mu=4\)। / \(\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\). Equating coefficient ratios, \(\frac{\mu}{6}=\frac{2}{3}\) gives \(\mu=4\).
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{6}\) है। अनंत हलों के लिए \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\) इसलिए \(\lambda=8\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{6}\). For infinitely many solutions, \(\frac{\lambda}{48}=\frac{1}{6}\), so \(\lambda=8\).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) होना चाहिए। इसलिए \(w\neq4\) होगा। / For a unique solution, \(\frac{w}{16}\neq\frac{-6}{-24}\) must hold. Therefore, \(w\neq4\).
गुणांक अनुपात समान करने पर (v-2=3) मिलता है। इसलिए (v=5) और स्थिर अनुपात अलग होने से कोई हल नहीं। / Equating coefficient ratios gives (v-2=3). Thus (v=5), and the different constant ratio gives no solution.
अनंत हलों के लिए \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) चाहिए। इससे (u=1) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{u+3}{10}=\frac{8}{20}=\frac{16}{40}\) is needed. This gives (u=1).
\(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\) होने से रेखाएँ काटती हैं। इसलिए अद्वितीय हल मिलेगा। / Since \(\frac{12}{18}\neq\frac{-7}{-11}\), the lines intersect. Hence a unique solution is obtained.
तीनों अनुपात समान हैं। अतः रेखाएँ संपाती हैं और युग्म के अनंत हल हैं। / All three ratios are equal. Thus the lines are coincident and the pair has infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है लेकिन \(\frac{2}{7}\) अलग है। इसलिए दोनों अलग समांतर रेखाएँ हैं। / The coefficient ratio is equal but \(\frac{2}{7}\) is different. Hence both are distinct parallel lines.
यहाँ \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\) है। इसलिए रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं। / Here \(\frac{10}{20}\neq\frac{3}{9}\). Therefore, the lines meet at one point.
दूसरा समीकरण पहले का (2) गुना है। इसलिए दोनों रेखाएँ संपाती हैं और अनंत हल देती हैं। / The second equation is (2) times the first. So both lines are coincident and give infinitely many solutions.
गुणांक अनुपात समान है पर स्थिर पद का अनुपात अलग है। इसलिए रेखाएँ समांतर हैं और युग्म असंगत है। / Coefficient ratios are equal but the constant ratio is different. Hence the lines are parallel and the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) होना चाहिए। इससे (t=9) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{6}{14}=\frac{-t}{-21}=\frac{18}{42}\) must hold. This gives (t=9).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) होना चाहिए। अतः \(s\neq6\) सही है। / For a unique solution, \(\frac{11}{22}\neq\frac{3}{s}\) must hold. Hence \(s\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात समान करने पर \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) से (n=5) मिलता है। स्थिर अनुपात अलग है इसलिए युग्म असंगत है। / Equating coefficient ratios, \(\frac{2}{6}=\frac{n}{15}\) gives (n=5). The constant ratio is different, so the pair is inconsistent.
अनंत हलों के लिए \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) चाहिए। इससे (r=5) मिलता है। / For infinitely many solutions, \(\frac{5}{15}=\frac{r+1}{18}=\frac{11}{33}\) is needed. This gives (r=5).
अद्वितीय हल के लिए \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) होना चाहिए। इसलिए \(q\neq6\) सही शर्त है। / For a unique solution, \(\frac{q}{15}\neq\frac{4}{10}\) must hold. Hence \(q\neq6\) is correct.
गुणांक अनुपात \(\frac{1}{4}\) है। कोई हल नहीं के लिए \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\) इसलिए \(c\neq20\)। / The coefficient ratio is \(\frac{1}{4}\). For no solution, \(\frac{5}{c}\neq\frac{1}{4}\), so \(c\neq20\).
यहाँ \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\) है। अतः \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) से (a=4) होगा। / Here \(\frac{8}{20}=\frac{12}{30}\). Thus \(\frac{a}{10}=\frac{2}{5}\) gives (a=4).
