विकल्प C में दशमलव प्रसार अनंत है और किसी निश्चित खंड की पुनरावृत्ति नहीं होती; शून्यों की संख्या लगातार बढ़ती है। इसलिए यह अपरिमेय है। A समाप्त होता है और B आवर्ती है, अतः दोनों परिमेय हैं। परीक्षा-युक्ति: अनंत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / In option C, the decimal continues forever without repeating a fixed block; the number of zeros keeps increasing. Hence it is irrational. A terminates and B repeats, so both are rational. Exam tip: a non-terminating, non-repeating decimal represents an irrational number.
B. इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है, इसलिए यह अपरिमेय है।/Its decimal expansion is non-terminating and non-repeating, so it is irrational.
Explanation
Simple Explanation
लगातार आने वाले 1 के बीच शून्यों की संख्या बढ़ती जाती है, इसलिए कोई निश्चित आवर्ती खंड नहीं बनता। अनंत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय होता है। परीक्षा में अंकों के प्रकार नहीं, आवर्तन जाँचें। / The number of zeros between successive 1s keeps increasing, so no fixed block repeats. A non-terminating, non-repeating decimal is irrational. Exam tip: check for repetition, not just the digits used.
\(0.272727\ldots\) अनंत है, पर इसमें 27 बार-बार आता है, इसलिए यह आवर्ती दशमलव और परिमेय है। यदि \(x=0.272727\ldots\), तो \(100x-x=27\), अतः \(x=3/11\)। परीक्षा में अनंत-अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय पहचानें। / \(0.272727\ldots\) is non-terminating but repeats 27, so it is rational. If \(x=0.272727\ldots\), then \(100x-x=27\), giving \(x=3/11\). Exam tip: only non-terminating, non-repeating decimals are irrational.
संख्या \(0.101001000100001\ldots\) में दो क्रमिक 1 के बीच शून्यों की संख्या हर बार एक बढ़ती है। एक विद्यार्थी कहता है कि यह केवल 0 और 1 अंकों से बनी है, इसलिए परिमेय है। उसके तर्क का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
A. यह अपरिमेय है, क्योंकि इसका दशमलव प्रसार अनंत और अनावर्ती है।/It is irrational because its decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Explanation
Simple Explanation
सही विकल्प A है। 1 के बीच शून्यों के समूह लगातार बड़े होते हैं, इसलिए कोई निश्चित अंक-खंड बार-बार नहीं दोहरता। परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या आवर्ती होता है। परीक्षा टिप: अंकों की किस्म नहीं, आवर्तन जाँचें। / Option A is correct. The blocks of zeros between 1s keep increasing, so no fixed block repeats periodically. A rational number has a terminating or recurring decimal expansion. Exam tip: check periodic repetition, not merely the digits used.
